1.1.1 数列的概念 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

1.1.1　数列的概念 [课时跟踪检测] 1.下列说法正确的是 （　　） A.数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7} B.数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列 C.数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 解析：选C　对A，{1，3，5，7}表示集合，不是数列；对B，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；对D，数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C. 2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么 （　　） A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 解析：选BC　分别令2n2-n的值为30，45，66，90，可知只有当2n2-n=45时，n=5或n=-（舍去）；当2n2-n=66时，n=6或n=-（舍去），故45，66是数列{an}的一项. 3.在数列{an}中，若an=则a4+a5的值为 （　　） A.17 B.23 C.25 D.41 解析：选A　依题意，a4+a5=23+（2×5-1）=17. 4.已知数列，，…，，，则是这个数列的 （　　） A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第23项 解析：选D　=，故是这个数列的第23项. 5.数列0，，，，…的通项公式可能是 （　　） A. B. C.n+ D.n- 解析：选D　对于A，当n=1时，=1≠0，故A错误；对于B，当n=2时，=≠，故B错误；对于C，当n=1时，n+=2≠0，故C错误；对于D，因为数列0，，，，…可以写成 1-，2-，3-，4-，…，故其通项公式可以写成an=n-，故D正确. 6.已知数列{an}的通项公式为an=a·3n-1，且a2=8，则a4= （　　） A.1 B.2 C.26 D.80 解析：选D　因为a2=8，代入通项公式可得a2=a·32-1=9a-1=8，解得a=1，所以an=3n-1，所以a4=34-1=80. 7.已知数列0，lg 2，lg 3，lg 4，…，根据该数列的规律，数列中小于1的项有 （　　） A.8项 B.9项 C.10项 D.11项 解析：选B　根据规律可得该数列的通项公式为an=lg n，由lg n<1得，n<10.∵n∈N+，∴该数列中小于1的项有9项. 8.已知数列{an}的通项公式an=（n∈N+），记f（n）=（1-a1）（1-a2）·…·（1-an），通过计算f（1），f（2），f（3），归纳出f（n）的表达式是 （　　） A.f（n）= B.f（n）= C.f（n）= D.f（n）= 解析：选C　由题意an=（n∈N+），则f（1）=1-a1=1-=，f（2）=（1-a1）（1-a2）===，f（3）=（1-a1）·（1-a2）（1-a3）==，可看出分子上的值为相应项的序号加2，分母为相应序号加1后的2倍.故归纳出f（n）的表达式是f（n）=. 9.已知数列{an}的通项公式为an=n2+b，且2和7是{an}中的两项，则b= （　　） A.-3 B.-2 C.1 D.3 解析：选B　设ak=k2+b=2，am=m2+b=7，其中k，m∈N+，且k<m，所以am-ak=m2-k2=（m-k）（m+k）=7-2=5.因为k，m∈N+，且k<m，则m-k，m+k∈N+，所以m-k，m+k为5的两个约数，显然m-k<m+k，所以解得则a2=4+b=2，解得b=-2. 10.（5分）已知数列，3， ，…， ，那么9是该数列的第　　　　项.  解析：令=9，解得n=14.由此可知9是该数列的第14项. 答案：14 11.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=，则a10=　　　　，若an=，则n=　　　　.  解析：∵an=，∴a10==. 由an==，得n2+2n-168=0，解得n=12或n=-14（舍去）. 答案：　12 12.（5分）根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有　　　　个点.  解析：观察图中5个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n个图中点的个数为（n-1）n+1. 答案：n2-n+1 13.（10分）分别写出下列数列的一个通项公式： （1）4，-，2，-，…；（2分） （2）1，1，，，，…；（2分） （3）-1，3，-5，7，-9，…；（3分） （4），3，，，3，….（3分） 解：（1）原数列可写成，-，，-，…，可得该数列的一个通项公式为an=（-1）n+1（n∈N+）. （2）原数列可写成，，，，，…，可得该数列的一个通项公式为an=（n∈N+）. （3）因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用（-1）n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1，3，5，7，9，为奇数，分数的分子是1，2，3，4，5，正好是序号，分母是4，9，16，25，36，正好是平方数， 这样我们可以归纳出数列的一个通项公式为 an=（-1）n（n∈N+）. （4）原数列可写成，，，，，…，可得该数列的一个通项公式为an=（n∈N+）. 14.（15分）已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30. （1）求数列的前三项，60是此数列的第几项；（6分） （2）n为何值时，an=0，an>0，an<0.（9分） 解：（1）由an=n2-n-30，得a1=1-1-30=-30，a2=22-2-30=-28，a3=32-3-30=-24. 设an=60，则60=n2-n-30， 解得n=10或n=-9（舍去）. ∴60是此数列的第10项. （2）令an=n2-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去）， ∴a6=0. 令n2-n-30>0，解得n>6或n<-5（舍去）， ∴当n>6（n∈N+）时，an>0. 令n2-n-30<0，解得0<n<6， ∴当0<n<6（n∈N+）时，an<0. 综上，当n=6时，an=0； 当n>6（n∈N+）时，an>0； 当0<n<6（n∈N+）时，an<0. 15.（15分）已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+. （1）写出它的第10项；（4分） （2）判断是不是该数列中的项；（6分） （3）求an+1及a2n.（5分） 解：（1）a10===. （2）令an==，当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0， 解得n=-或n=5， 因为n∈N+且n为偶数， 所以原方程无解；当n为奇数时， 因为n∈N+， 所以an<0，所以不是该数列中的项. 综上所述，不是该数列中的项. （3）an+1==；a2n==. 学科网（北京）股份有限公司 $