第1章 1.1 数列的概念(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

1.1　数列的概念 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）（数学抽象、数学运算）. 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②，他把这些数叫作正方形数，等等.一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列. 【问题】　（1）数列的有关概念是什么？ （2）数列可分为哪几类？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　数列的概念及分类 1.数列的概念 （1）数列：按一定　　　　排列的一列数叫作数列； （2）项：数列中的每一个数叫作这个数列的　　　　； （3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列　　　　，其中a1是数列的第1项，也叫数列的　　　　；an是数列的第n项，也叫数列的　　　　. 2.数列的分类 项数有限的数列称为　　　　　　，项数无限的数列称为　　　　　　. 　　提醒：（1）符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项；（2）在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 【想一想】 　a，b，c，d和b，c，a，d是相同的数列吗？ 知识点二　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成　　　　　　，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 　　提醒：（1）并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式；（2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝（－1）n可以写成an＝（－1）n＋2，还可以写成an＝k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（　　） （2）数列1，3，5，7，…的第10项是21.（　　） （3）按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.（　　） （4）每一个数列都有通项公式.（　　） 2.〔多选〕数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（　　） A.an＝1＋（－1）n＋1　　 B.an＝1－（－1）n C.an＝1＋（－1）n D.an＝1－cos nπ 3.若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝　　　，224是该数列的第　　　项. 题型一｜数列概念的辨析 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 数列概念理解的易错点 （1）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的，注意与数集的区别； （2）注意数列中的项与项的序号的区别； （3）注意有穷数列a1，a2，…，an与无穷数列a1，a2，…，an，…表示方法的区别. 【跟踪训练】 下列说法正确的是（　　） A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，… B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} 题型二｜用观察法求数列的通项公式 角度1　由数列的前几项求通项公式 【例2】　写出下列各数列的一个通项公式： （1），，，，，…； （2）－1，，－，，－，，…； （3），1，，，…. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法求解.具体注意以下几方面：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对值特征；（5）化异为同；（6）对于符号交替出现的情况，可用（－1）k或（－1）k＋1处理. 【跟踪训练】 1.数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝（　　） A.－　　　　　　　　B. C. D. 2.数列，，，，…的通项公式an＝　　　. 角度2　由图形信息，探究归纳数列的通项公式 【例3】　观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有　　　　 　小圆圈. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法　　首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后归纳、猜想出通项公式得解. 【跟踪训练】 黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地砖　　　　块. 题型三｜求解或判断数列中的项 【例4】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； （2）－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. 2.判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项. 【跟踪训练】 已知数列{an}的通项公式为an＝. （1）写出数列的前3项； （2）和是不是它的项？如果是，是第几项？ 1.已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N＋），则该数列的前4项依次为（　　） A.1，0，1，0　　　　　B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 2.数列1，3，5，7，9，11，…的一个通项公式an＝（　　） A.2n－1 B.n（n－1） C.n（n＋1） D.n2－n＋1 3.已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的（　　） A.第4项 B.第5项　C.第6项　D.第7项 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，….如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为　　　. 5.已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式是　　　，5是该数列的第　　　项. 提示：完成课后作业　第一章　§1　1.1 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ §1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念 【基础落实】 知识点一 1.（1）次序　（2）项　（3）{an}　首项 通项　2.有穷数列　无穷数列 想一想 　提示：不是. 知识点二 an＝f（n） 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.ABD　经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合. 3.99　15　解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项. 【典例研析】 【例1】　AD　根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.由无穷数列的概念知，D正确，故选A、D. 跟踪训练 　C　数列1，3，5，7，…，2n－1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；在C中，ak＝＝1＋，故C中说法正确；在D中，an＝2n－2，故D中说法错误. 【例2】　解：（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母小1，且分母依次为21，22，23，24，25，所以它的一个通项公式为an＝. （2）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为an＝ （3）将数列变形为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，可得分子的一个通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，可得分母的一个通项公式为cn＝n2＋1，所以原数列的一个通项公式为an＝（n∈N＋）. 跟踪训练 1.B　－＝（－1）×，＝（－1）2×，－＝（－1）3×，＝（－1）4×，所以其通项公式是an＝. 2.　解析：已知的前四项的变化规律是分子与其序号一一对应，分母是2的整数次幂，指数与其序号一一对应，则其通项公式为an＝. 【例3】　n2－n＋1　解析：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，…，故第n个图中小圆圈的个数为（n－1）·n＋1＝n2－n＋1. 跟踪训练 　4n＋2　解析：第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，第3个图案中有白色地砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地砖，由累加法可得第n个图案中有4n＋2块白色地砖. 【例4】　解：（1）根据an＝3n2－28n， 得a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. （2）令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0， 解得n＝7或n＝（舍）， ∴－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝，均不是正整数， ∴68不是该数列的项. 跟踪训练 　解：（1）数列的前3项：a1＝＝1， a2＝＝＝， a3＝＝＝. （2）令＝，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8， 注意到n∈N＋，故n＝－8舍去. 所以是数列的第5项. 令＝，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－， 注意到n∈N＋，所以不是此数列中的项. 随堂检测 1.B　把n＝1，2，3，4分别代入an＝中，依次得到0，1，0，1. 2.A　数列1，3，5，7，9，11，…是由正奇数按从小到大排列构成的，其一个通项公式为an＝2n－1，故选A. 3.A　设是数列中的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5，∵－5∉N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4. 4.22　解析：第一个五边形数为1，第二个五边形数为1＋4＝5，第三个五边形数为1＋4＋7＝12，故第四个五边形数为1＋4＋7＋10＝22. 5.an＝（n∈N＋）　19　解析：由给出的前几项可归纳出an＝（n∈N＋）.故由＝5＝，得4n－1＝75，所以n＝19，即5是该数列的第19项. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $