2.3 导数的计算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的计算核心知识点，系统梳理导函数定义及基本初等函数（常数、幂函数、指数、对数、三角函数）的导数公式，通过从定义推导到公式应用再到切线方程、实际问题求解的梯度学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 该资料采用梯度进阶式教学，“微点助解”以口诀（如“正余互换，正同余反”）简化公式记忆，培养数学语言表达能力。题型设计通过例题与思维建模（如切线问题分切点与非切点讨论），发展数学思维的逻辑推理。结合质点运动等实际问题，引导学生用数学眼光观察现实，课中助力分层教学，课后通过针对训练帮助学生查漏补缺。

§3　导数的计算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 1.导函数 一般地，如果一个函数y=f（x）在区间（a，b）的每一点x处都有导数f'（x）=，那么f'（x）是关于x的函数，称f'（x）为y=f（x）的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y'. 2.导数公式表 函数 导数 函数 导数 y=c （c是常数） y'=0 y=sin x y'=cos x y=xα （α是实数） y'=αxα-1 y=cos x y'=-sin x y=ax （a>0，a≠1） y'=axln a 特别地（ex）'=ex y=tan x y'= y=loga x （a>0，a≠1） y'= 特别地（ln x）'= — — |微|点|助|解| 关于几个基本初等函数导数公式的特点 （1）正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，（符号）正同余反”. （2）指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. （3）对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 基础落实训练 1.已知f（x）=cos 30°，则f'（x）的值为 （　　） A.- B. C.- D.0 解析：选D　∵f（x）=cos 30°=，因此，f'（x）=0. 2.若f（x）=，则f'（1）等于 （　　） A.0 B.- C.3 D. 解析：选D　因为f（x）=，则f'（x）=，所以f'（1）=. 3.已知函数f（x）=x3，f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x0）=12，则x0= （　　） A.2 B.-2 C.±2 D.± 解析：选C　依题意f'（x）=3x2，故3=12，解得x0=±2. 题型（一）　求基本初等函数的导数 [例1]　求下列函数的导数： （1）f（x）=10x；（2）f（x）=lox；（3）f（x）=；（4）f（x）=-1；（5）f（x）=3lg； （6）f（x）=2cos2-1. 解：（1）f'（x）=（10x）'=10xln 10. （2）f'（x）='==-. （3）f'（x）='='==. （4）∵f（x）=-1 =sin2+2sincos+cos2-1=sin x， ∴f'（x）=（sin x）'=cos x. （5）∵f（x）=3lg=lg x， ∴f'（x）=（lg x）'=. （6）∵f（x）=2cos2-1=cos x， ∴f'（x）=（cos x）'=-sin x. 　　|思|维|建|模| 求简单函数的导函数有两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂. （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 　　[针对训练] 1.求下列函数的导数： （1）f（x）=x14；（2）f（x）=6x；（3）f（x）=x2；（4）f（x）=sin. 解：（1）f'（x）=14x13. （2）f'（x）=（6x）'=6xln 6. （3）f'（x）=（x2）'=（）'==. （4）f'（x）=0. 2.已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1）在x=2处的导数为，求底数a的值. 解：f'（x）=（logax）'=，由题得f'（2）==，所以ln a=ln 2，得a=2. 题型（二）　利用导数公式求曲线的切线方程 [例2]　已知曲线y=ln x，点P（e，1）是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'=， 所以当x=e时，y'=， 即切线斜率为， 所以切线方程为y-1=（x-e）， 即x-ey=0. 　　[变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，求k的值. 解：设切点坐标为（x0，y0）， 由题意得y'==k， 又解得∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：因为点O（0，0）不在曲线上，所以设切点为Q（a，b），则切线斜率k=，又因为k=，且b=ln a，所以a=e，b=1，所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围. 解：问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件. 另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件. 因为y=mx的图象过（0，0）， 设切点为Q（a，b），则切线斜率m=， 又因为m=，且b=ln a，所以a=e，b=1，m=，即m的取值范围为（-∞，0]∪. 　　|思|维|建|模| 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 　　[针对训练] 3.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 （　　） A.e2 B.2e2 C.e2 D. 解析：选D　y'=ex，在点（2，e2）处的切线为y-e2=e2（x-2），截距分别为-e2，1，故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=. 4.在曲线y=f（x）=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P（x0，y0），f'（x0）=-2=tan 135°=-1，即-2=-1，∴x0= . 代入曲线方程得y0=， ∴点P的坐标为. 题型（三）　导数公式的实际应用 [例3]　质点的运动方程是s=sin t，则质点在t=时的速度为　　　　，质点运动的加速度为　　　　.  解析：v（t）=s'（t）=cos t，∴v=cos =，即质点在t=时的速度为.∵v（t）=cos t，∴加速度a（t）=v'（t）=（cos t）'=-sin t.a=-sin=-. 答案：　- 　　|思|维|建|模| 　　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 　　[针对训练] 5.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为y=，则在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为　　　　mm/min.  解析：因为y=f（t）==，所以f'（t）='=，所以f'（4）=×=，故在t=4 min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 mm/min. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $