第2章 4.2 导数的乘法与除法法则(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦“导数的乘法与除法法则”核心知识点，基于基本初等函数导数公式，通过具体函数f(x)=x²与g(x)=x的乘积导数探究问题导入，构建从具体实例到抽象法则的学习支架，为复杂函数求导奠定基础。 该资料以问题链驱动探究，如通过比较乘积导数与导数乘积是否相等培养数学眼光，例题分层设计（求导、求值、几何意义应用）发展数学思维，通性通法总结助学生用数学语言表达规律。课中辅助教师实施分层教学，课后练习题帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

4.2　导数的乘法与除法法则 【基础落实】 知识点 2.（1）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） （2），g（x）≠0 自我诊断 1.D　y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x. 2.1　解析：f'（x）＝＝，故f'（0）＝1. 【典例研析】 【例1】　解：（1）把函数的解析式整理变形可得： y＝＝＝1－， ∴y'＝－＝. （2）根据求导法则进行求导可得： y'＝（3xex）'－（2x）'＋e'＝（3x）'ex＋3x（ex）'－（2x）'＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝（3e）xln 3e－2xln 2. （3）利用求导的除法法则可得： y'＝ ＝＝. 跟踪训练 　解：（1）y'＝（cos x·ln x）'＝（cos x）'·ln x＋cos x·（ln x）'＝－sin x·ln x＋. （2）y'＝'＝ ＝＝. 【例2】　（1）1　（2）e　解析：（1）由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1. （2）由题意得f'（x）＝exln x＋ex·＝ex，则f'（1）＝e. 【例3】　解：（1）f'（x）＝ ＝＝， 因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以解得 则f（x）＝. （2）由（1）可得，f'（x）＝， 所以直线l的斜率k＝f'（x0）＝＝＝－4·＋. 设t＝，则t∈（0，1]， 所以k＝4（2t2－t）＝8（ t－）2－， 则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是［－，4］. 跟踪训练 　D　由题意知，点（1，－1）在曲线y＝上，又y'＝＝，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率k＝＝－2，故所求切线的方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1. 随堂检测 1.A　因为f'（x）＝sin x＋xcos x＋a，且f'＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0. 2.B　由题意，函数f（x）＝xex，可得f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，所以f'（2）＝3e2.故选B. 3.BD　对于选项A，'＝＝＝－，故A错误；对于选项B，（tan x）'＝（ ）'＝＝＝，故B正确；对于选项C，（2ln x）'＝，故C错误；对于选项D，（xln x）'＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋x·＝ln x＋1，故D正确.故选B、D. 4.　解析：∵f（x）＝，则f'（x）＝，其中x≠0，由f'（x0）＋f（x0）＝＋＝0，可得＋1＝0，解得x0＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　导数的乘法与除法法则 能利用基本初等函数的导数公式和导数的乘法与除法法则，求简单函数的导数（数学运算）. 　　设f（x）＝x2，g（x）＝x，计算[f（x）·g（x）]'与f'（x）g'（x）. 【问题】　（1）它们是否相等？ （2）f（x）与g（x）商的导数是否等于它们导数的商呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点　导数的乘法与除法法则 1.条件：函数f（x）和g（x）的导数分别是f'（x）和g'（x）. 2.结论：（1）[f（x）g（x）]'＝　　　　　　； （2）'＝　　　　　　　　　　　. 　　提醒：（1）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即[u（x）·v（x）·…·w（x）]'＝u'（x）·v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）·v（x）·…·w'（x）；（2）导数乘法、除法法则的特殊化公式：[kf（x）]'＝kf'（x），k∈R；'＝－（其中c为常数）. 1.函数y＝x2sin x的导数为（　　） A.y'＝2x＋cos x B.y'＝x2cos x C.y'＝2xcos x D.y'＝2xsin x＋x2cos x 2.设f（x）＝，则f'（0）＝　　　　. 题型一｜利用导数的乘法与除法法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝3xex－2x＋e； （3）y＝. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求函数的导数的策略 （1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数； （2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 【跟踪训练】 求下列函数的导数： （1）y＝cos x·ln x； （2）y＝. 题型二｜求导法则的应用 角度1　利用导数求值 【例2】　（1）设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝　　　　； （2）已知函数f（x）＝exln x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）＝　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　利用导数求值的关键 （1）对函数f（x）正确求导f'（x），若f（x）是由多个基本初等函数通过加、减、乘、除运算而得到的初等函数，要分析其结构形式，运用求导法则求解； （2）求得f'（x）后，再根据其他条件列方程（组）求解或代入求值. 角度2　与导数的几何意义有关的问题 【例3】　已知函数f（x）＝，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切. （1）求函数f（x）的解析式； （2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决与导数几何意义有关问题的一般思路 （1）利用导数的四则运算法则对函数f（x）正确求导，得f'（x）； （2）正确运用导数的几何意义，即函数在点（x0，f（x0））处的导数值f'（x0）等于f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率. 【跟踪训练】 曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（　　） A.y＝x－2　　　　　B.y＝－3x＋2 C.y＝2x－3 D.y＝－2x＋1 1.已知函数f（x）＝xsin x＋ax，且f'＝1，则a＝（　　） A.0　　 　B.1　 　　C.2　　　 D.4 2.已知f（x）＝xex，则f'（2）＝（　　） A.4e2 B.3e2 C.2e2 D.e2 3.〔多选〕下列求导运算正确的是（　　） A.'＝ B.（tan x）'＝ C.（2ln x）'＝ D.（xln x）'＝ln x＋1 4.已知f（x）＝，若f'（x0）＋f（x0）＝0，则x0的值为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　§4　4.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $