2.3导数的计算导学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版数学选择性必修第二册

§3　导数的计算 最新课程标准 学科核心素养 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数． 3．会使用导数公式表． 1.了解用定义求函数的导数．(数学运算) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算) 3．能利用基本初等函数的导数公式解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算) 导学 [教材要点] 要点一　几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝x f′(x)＝________ f(x)＝x2 f′(x)＝________ f(x)＝x3 f′(x)＝________ f(x)＝ f′(x)＝________ f(x)＝ f′(x)＝________ 要点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 总结　(1)几个基本初等函数导数公式的特点 ①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． ②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． ③对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． (2)函数与其导函数奇偶性的关系 ①常数的导数是0. ②奇函数的导函数为偶函数． ③偶函数的导函数为奇函数． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)′＝. (　　) (2)(log3x)′＝. (　　) (3)＝cos . (　　) (4)若y＝e3，则y′＝e3. (　　) 2．(多选题)下列导数运算正确的是(　　) A．(ln x)′＝x B．(ax)′＝xax-1 C．(sin x)′＝cos x D．(x-5)′＝－5x-6 3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x－y－2＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－2＝0 4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________． 导思 题型一　利用导数公式求函数的导数 例1　求下列函数的导数 (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝log3x；(4)y＝cos . 总结 求简单函数的导数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．　 跟踪训练1　(1)(多选题)下列求导运算不正确的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．′＝ln x C．′＝xax-1 D．′＝ (2)已知f(x)＝，则f′＝________． 题型二　利用导数公式求函数在某点处的导数 例2　质点的运动方程是s＝sin t， (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． 总结 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 跟踪训练2　(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在处的导数． 题型三　利用导数公式解决与曲线的切线有关的问题 例3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　) A． B． C．－2 D．2 (2)求曲线y＝在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积． 总结 求曲线方程或切线方程时的三点注意 1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； 2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率； 3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． 跟踪训练3　已知直线y＝kx是y＝ln x的一条切线，求k的值． 易错辨析　求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致误 例4　经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程． 解析：设切点为A(x0，y0)， ∴k＝y′|x＝＝3， 故所求的切线方程为：y－y0＝(x－x0)． 又∵A在曲线上， ∴y0＝， ∴切线方程为：y－(x－x0)． 把点(2，8)代入上式得8－(2－x0)， ∴＋4＝0， 即(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2. 当x0＝－1时，此时的切线方程为：y＋1＝3(x＋1)， 即3x－y＋2＝0. 当x0＝2时，此时的切线方程为：y－8＝12(x－2)， 即12x－y－16＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0. 【易错点】 出错原因 纠错心得 误把点(2，8)当作切点，易求的是在点(2，8)处的切线方程，导致漏解． 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2，8)不一定是切点，做题时要高度关注． [课时训练] 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝，则y′＝－ C．若y＝2x，则y′＝2x ln 2 D．若y＝3x，则y′＝3 2．若y＝sin x，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 3．函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为(　　) A． B． C．或 D．或 4．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是________． 5．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点． ] §3　导数的计算 导学 要点一 0　1　2x　3x2　－ 要点二 0　αxα-1　cos x　－sin x　ax ln a　ex　 [练习] 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．解析：由导数公式得C、D正确．故选CD. 答案：CD 3．解析：y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A(0，1)，故切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选C. 答案：C 4．解析：f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案：1 导思 题型一 例1　解析：(1)y′＝(x-2)′＝－2x-3＝－； (2)y′＝′＝′＝； (3)y′＝(log3x)′＝； (4)∵y＝cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x． 跟踪训练1　解析：(1)(cos x)′＝－sin x，A错误；′＝，B错误；′＝ax ln a，C错误；′＝，D正确．故选ABC. (2)f′(x)＝′＝， ∴f′. 答案：(1)ABC　(2) 题型二 例2　解析：　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos . 即质点在t＝时的速度为. (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t． 跟踪训练2　解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝ ∴f′(1)＝－. (2)∵f′(x)＝－sin x， ∴f′＝－sin . 题型三 例3　解析：(1)y′＝′＝′＝， 所以切线的斜率为k＝y′|x＝2＝， 由已知，得－a＝－2，即a＝2，故选D. (2)∵y′＝′＝， ∴y′|x＝1＝， ∴曲线y＝在(1，1)处的切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，围成的三角形面积为：. 答案：(1)D　(2)见解析 跟踪训练3　解析：设切点坐标为(x0，y0)． ∵y＝ln x，∴y′＝ 点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝ln x上 ∴把k＝代入①式得y0＝1， 再把y0＝1代入②式求得x0＝e， ∴k＝. [课时训练] 1．解析：A、C、D正确，B错误，因为y′＝′＝′＝，故选ACD. 答案：ACD 2．解析：∵y′＝(sin x)′＝cos x， ，故选A. 答案：A 3．解析：由题意知y′＝－＝－4 解得x＝± ∴y＝±2 即点P或，故选C. 答案：C 4．解析：曲线y＝ln x与x轴的交点为(1，0)． ∵y′＝(ln x)′＝， ∴y′|x＝1＝1， ∴所求切线方程为y＝x－1. 答案：y＝x－1 5．解析：设切点为. ∵y′＝2x， ∴解得 故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $