2.2.1 导数的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦导数的概念这一核心知识点，从平均变化率入手，逐步过渡到瞬时变化率，明确导数定义、记法及“函数局部性、极限值”等关键注意事项，通过基础训练与概念理解、某点导数计算、实际应用等题型构建学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，以“微点助解”强化概念细节，“思维建模”提炼解题步骤，结合利润计算、原油温度变化等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题的能力。课中助力教师分层授课，课后通过针对性训练帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

§2　导数的概念及其几何意义 2.1　导数的概念 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解导数概念的实际背景，掌握导数的概念.　2.会利用导数的概念求函数在某点处的导数. 1.导数的定义 设函数y=f（x），当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f（x0）变到f（x1），函数值y关于x的平均变化率为==. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率. 在数学中，称瞬时变化率为函数y=f（x）在点x0处的导数，通常用符号f'（x0）表示，f'（x0）还可以写成y'. 2.记法 f'（x0）==. |微|点|助|解| （1）函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在. （2）导数是一个局部概念，它只与函数y=f（x）在x=x0及其附近的函数值有关，与Δx无关. （3）导数的实质是一个极限值. 基础落实训练 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）f'（x0）表示f（x）在x=x0处的瞬时变化率. （　　） （2）函数y=f（x）在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. （　　） （3）设x=x0+Δx，则Δx=x-x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，所以f'（x0）==. （　　） 答案：（1）√　（2）√　（3）√ 2.若f（x）=，则f'（1）等于 （　　） A.1 B.-1 C. D.- 解析：选B　∵==， ∴f'（1）===-1. 3.[多选]下列各式正确的是 （　　） A.f'（x0）= B.f'（x0）= C.f'（x0）= D.f'（x0）= 解析：选AD　 = =f'（x0），故D正确.易知A正确. 题型（一）　导数的概念 [例1]　设f（x）在x0处可导，则等于 （　　） A.-4f'（x0） B.f'（x0） C.f'（x0） D.4f'（x0） 解析：选D　 =4=4f'（x0），故选D. 　　|思|维|建|模| 　　利用导数定义解题时，应充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同. 　　[针对训练] 1.设函数f（x）在x=x0处可导，以下有关的值的说法正确的是 （　　） A.与x0，h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0，h均无关 解析：选B　导数是一个局部概念，它只与函数y=f（x）在x0及其附近的函数值有关，与h无关. 2.若f'（x0）=-2，则= （　　） A.-12 B.-9 C.-6 D.-3 解析：选C　因为f'（x0）=-2， 所以 =3· =3 =3f'（x0）=-6. 题型（二）　求函数在某点处的导数 [例2]　根据导数的定义，求下列函数的导数. （1）求函数y=x2+3在x=1处的导数； （2）求函数y=在x=2处的导数. 解：（1）因为Δy=[（1+Δx）2+3]-（12+3）=2Δx+（Δx）2，所以==2+Δx. 所以f'（1）==（2+Δx）=2. （2）因为Δy=-，所以===. 所以f'（2）===. 　　|思|维|建|模| 求函数y=f（x）在x=x0处的导数的步骤 （1）求函数值的变化量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）； （2）求平均变化率=； （3）取极限，得导数f'（x0）= . 　　[针对训练] 3.已知y=f（x）=，且f'（m）=-，则m的值等于 （　　） A.-4 B.2 C.-2 D.±2 解析：选D　因为===， 所以f'（m）==-. 所以-=-，m2=4，解得m=±2. 4.求函数y=x-在x=1处的导数. 解：∵Δy=（1+Δx）--=Δx+，∴==1+.∴==2，从而当x=1时，y'=2. 题型（三）　导数在实际问题中的意义 [例3]　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为c（x）=-2x2+7 000x+600. （1）求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率； （2）求c'（1 000）与c'（1 500），并说明它们的实际意义. 解：（1）当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为=×（-2×1 5002+7 000×1 500+600+2×1 0002-7 000×1 000-600）=2 000（元/台）. （2）设x=1 000时产量的改变量为Δx1， 则= ==-2Δx1+3 000. 令Δx1→0，可得c'（1 000）=3 000. 设x=1 500时产量的改变量为Δx2， 则= ==-2Δx2+1 000. 令Δx2→0，可得c'（1 500）=1 000.c'（1 000）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获得3 000元；c'（1 500）的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获得1 000元. 　　|思|维|建|模|　认识瞬时变化率的关键点 （1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限. （2）函数y=f（x）在x=x0处的导函数f'（x0）反映了函数在x=x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 　　[针对训练] 5.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2-7x+15（0≤x≤8）.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的实际意义. 解：在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为 = ==（-3+Δx）=-3， 其实际意义表示当x=2 h时，原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度，也就是说，在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降. 在第6 h时，原油温度的瞬时变化率为 = ==（5+Δx）=5， 其实际意义表示当x=6 h时，原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度，也就是说，在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 学科网（北京）股份有限公司 $