2.2.2 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦“导数的几何意义”核心知识点，先通过曲线切线定义（Δx趋于0时割线转化为切线，其斜率即导数）构建概念基础，再阐释导数几何意义（曲线在某点切线斜率），进而延伸至判断函数图象变化、求切线方程及切点坐标等应用，形成从概念到应用的学习支架。 该资料采用“拓展融通课——习题讲评式教学”，通过例1判断导函数单调与函数图象关系、例2及变式求切线方程等实例，结合“思维建模”提炼方法，培养学生用数学眼光观察函数变化、用数学思维推理问题的能力。课中助力教师系统授课，课后学生可通过针对训练巩固知识，有效查漏补缺。

2.2　导数的几何意义 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义，会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 1.曲线的切线定义 设函数y=f（x）的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y=f（x）趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f（x）在点A处的切线，或称直线l和曲线y=f（x）在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f（x）在x0处的导数f'（x0）. 2.导数的几何意义 函数y=f（x）在x0处的导数f'（x0），是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率.相应的切线方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）.函数y=f（x）在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 题型（一）　利用导数的几何意义判断函数的图象变化 [例1]　若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f（x）在区间[a，b]内的图象可能是 （　　） 解析：选A　函数y=f（x）的导函数y=f'（x）在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f（x）在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合. 　　|思|维|建|模| （1）曲线f（x）在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'（x0）>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'（x0）<0说明在x=x0附近曲线是下降的. （2）曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 　　[针对训练] 1.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 （　　） A.0<f'（2）<f'（3）<f（3）-f（2） B.0<f'（2）<f（3）-f（2）<f'（3） C.0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2） D.0<f（3）-f（2）<f'（2）<f'（3） 解析：选C　kAB==f（3）-f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2）. 题型（二）　导数的几何意义的应用 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P（2，4）处的切线方程. 解：∵P（2，4）在曲线y=x3+上， ∴曲线在点P（2，4）处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为 y-4=4（x-2），即4x-y-4=0. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，求曲线过点P（2，4）的切线方程. 解：设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A， 则切线的斜率为 k= =， ∴切线方程为y-=（x-x0）， 即y=x-+. ∵点P（2，4）在切线上， ∴4=2-+， 即-3+4=0. ∴+-4+4=0， ∴（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0， ∴（x0+1）（x0-2）2=0，解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解：设切点为（x0，y0）， 由变式拓展1可知切线的斜率为k=， 即=1，x0=±1， ∴切点为或（-1，1）， ∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1， 即3x-3y+2=0或x-y+2=0. 　　|思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 （1）如果所给点P（x0，y0）是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f（x）在点x0处的导数f'（x0），即得切线的斜率k=f'（x0），再根据点斜式得出切线方程. （2）如果所给点P不是切点，应先设出切点M（x0，y0），再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　（1）已知曲线f（x）=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= （　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析：选B　f'（1）===[（Δx）2+3Δx+3+a]=3+a. 又曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直， ∴f'（1）·=（3+a）·=-1， 解得a=1. （2）已知f（x）=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为　　　　.  解析：设切点坐标为（x0，y0），则Δy=[2（x0+Δx）2+1]-（2+1）=4x0·Δx+2（Δx）2，∴=4x0+2Δx，∴f'（x0）==4x0.又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=.∴y0=2×+1=，∴切点坐标为. 答案： 　　|思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 　　[针对训练] 2.直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x3-x2+1相切，则a的值为　 　　，切点坐标为　　　　.  解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），因为y'==3x2-2x，则y'=3-2x0=1，解得x0=1或x0=-.当x0=1时，y0=-+1=1. 又因为（x0，y0）在直线y=x+a上，将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去. 当x0=-时，y0=-+1=， 则切点坐标为， 将代入直线y=x+a中得a=. 答案：　 3.求函数f（x）=x2+1过点P（1，0）的切线方程. 解：设切点为Q（a，a2+1），==2a+Δx， =（2a+Δx）=2a. 所以所求切线的斜率为2a. 因此，=2a，解得a=1±， 所求的切线方程为（2+2）x-y-（2+2）=0或（2-2）x-y-（2-2）=0. 学科网（北京）股份有限公司 $