1.3.1 第3课时 等比数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦等比数列综合问题，涵盖判定方法（定义法、等比中项法、通项公式法）、灵活设元技巧（对称设元）及等差等比综合应用。在掌握等比数列基础上，深化判定、设元及综合解题能力，为复杂数列问题提供学习支架。 采用习题讲评式教学，通过例题、变式拓展、思维建模及针对训练，培养学生推理能力与模型意识。如例1推导等比数列判定体现逻辑推理，例2多种设元方法培养灵活思维，课中助力教师高效授课，课后训练帮助学生查漏补缺。

第3课时　等比数列的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步理解等比数列，掌握等比数列的判定方法及灵活设元解决等比数列问题，能解决等差、等比数列的综合问题. 题型（一）　等比数列的判定或证明 [例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N+）.设bn=an+1-2an，求证：{bn}是等比数列. 证明：由Sn+1=4an+2（n∈N+），可得n=1时，S2=a1+a2=4a1+2，又a1=1，则a2=5；当n≥2时，an+1=Sn+1-Sn=4an+2-（4an-1+2）， 即an+1=4an-4an-1，故an+1-2an=2（an-2an-1），即bn=2bn-1.由b1=a2-2a1=3，可知bn≠0， 故=2，故{bn}是等比数列. 　　[变式拓展] 　若本例增加条件“cn=”，求证：{cn}是等比数列. 证明：由例题可得bn=3×2n-1， 故an+1-2an=3×2n-1， 所以-=， 即为等差数列，首项为，公差为， 所以=+（n-1）， 即an=（3n-1）×2n-2， 所以cn==2n-2， 则==2，故{cn}是等比数列. |思|维|建|模| 判定或证明等比数列的方法 （1）定义法：=q（n∈N+且n≥2，q为不为0的常数）. （2）等比中项法：=an-1an+1（n∈N+且n≥2，an≠0）. （3）通项公式法：an=a1qn-1=·qn=A·qn（A≠0）. 　　[针对训练] 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=n. （1）设cn=an-1，求证：{cn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为an+Sn=n　①， 所以an+1+Sn+1=n+1　②. ②-①得an+1-an+an+1=1，所以2an+1=an+1， 所以2（an+1-1）=an-1.又a1+a1=1， 所以a1=，所以a1-1=-≠0. 因为=，所以=.故{cn}是以c1=a1-1=-为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知cn=-×=-. 因为cn=an-1，所以an=1-. 题型（二）　灵活设项求解等比数列 [例2]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 解：法一　设第一个数为x，则第四个数为16-x；设第二个数为y，则第三个数为12-y. 根据题意，得 即 将①代入②，整理得y2-13y+36=0， 解得y=4或y=9. 当y=4时，x=0，这四个数分别为0，4，8，16； 当y=9时，x=15，这四个数分别为15，9，3，1. 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二　设这四个数依次为a-d，a，a+d，（a≠0）. 根据题意，得 解得或 当a=4，d=4时，这四个数分别为0，4，8，16； 当a=9，d=-6时，这四个数分别为15，9，3，1. 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1. 法三　设这四个数依次为-a，，a，aq（a≠0）. 根据题意，得 解得或 当a=8，q=2时，这四个数分别为0，4，8，16； 当a=3，q=时，这四个数分别为15，9，3，1. 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1. 　　[变式拓展] 　若将本例中“和是16”改为“积是-128”，将“和是12”改为“积是16”，如何求解？ 解：设这四个数依次为-aq，，aq，aq3（q≠0）. 则由已知得 由①得a2=16，∴a=4或a=-4. 由②得2a2q2-a2q4=-128. 将a2=16代入整理，得q4-2q2-8=0， 解得q2=4或q2=-2（舍去）， ∴q=2或q=-2. ∴所求四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32. 　　|思|维|建|模| 在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律 　　对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…（注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况），这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为简捷. 　　[针对训练] 2.三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可构成等比数列，这三个数的和为6，求这三个数. 解：由已知，可设这三个数为a-d，a，a+d，d≠0，则a-d+a+a+d=6，即a=2，这三个数可表示为2-d，2，2+d. ①若2-d为2和2+d的等比中项， 则（2-d）2=2（2+d）， 解得d=6或d=0（舍去），此时这三个数为-4，2，8. ②若2+d为2-d和2的等比中项， 则（2+d）2=2（2-d），解得d=-6或d=0（舍去），此时这三个数为8，2，-4. ③若2为2-d和2+d的等比中项， 则22=（2+d）（2-d），解得d=0（舍去）. 综上，这三个数为-4，2，8. 题型（三）　等差、等比数列的综合问题 [例3]　设{an}是公比大于1的等比数列，已知a1+a2+a3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=log2a3n+1，n=1，2，3，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）由已知得解得a2=2. 设数列{an}的公比为q，由a2=2可得a1=，a3=2q，由a1+a2+a3=7，可得+2+2q=7，即2q2-5q+2=0，解得q=2或q=，由题意得q>1，∴q=2，∴a1=1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1. （2）由于bn=log2a3n+1，由（1）得a3n+1=23n， ∴bn=log223n=3n.∵bn+1-bn=3， ∴{bn}是等差数列， ∴Tn=b1+b2+…+bn==. 　　[针对训练] 3.在等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，问a9是不是数列{bn}中的项？若是，求出是第几项；若不是，请说明理由. 解：（1）设数列{an}的公比为q， 则q4-1===8，得q=2， 所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n. （2）设等差数列{bn}的公差为d，b3=a3=23=8，b5=a5=25=32. 则d===12， 所以bn=b3+（n-3）d=8+12（n-3）=12n-28. 因为a9=29=512=12×45-28=b45， 所以a9是数列{bn}中的第45项. 学科网（北京）股份有限公司 $