1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式及性质这一核心知识点，承接等比数列定义与通项公式，通过公式推导、性质辨析、题型分类训练搭建学习支架，为后续综合应用奠定基础。 资料采用梯度进阶式教学，“微点助解”强调q=1等细节培养严谨思维，“思维建模”总结解题方法提升逻辑推理能力。基础与针对训练助学生用数学眼光发现问题、用数学语言表达解法，课中助力分层教学，课后辅助巩固查漏。

3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式；理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 1.等比数列的前n项和公式 |微|点|助|解| 　　一般地，使用等比数列求和公式时需注意： ①一定不要忽略q=1的情况. ②知道首项a1、公比q和项数n，可以用； 知道首尾两项a1，an和q，可以用. ③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个. 2.等比数列前n项和的性质 （1）数列{an}为公比不为-1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍构成等比数列. （2）若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N+）. （3）若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，=q； ②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==（q≠-1）.S奇=a1+qS偶. （4）若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A（A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N+），则数列{an}为等比数列，即Sn=Aqn-A（A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N+）⇔数列{an}为等比数列. |微|点|助|解| 　　当q=-1且n为偶数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…不是等比数列；当q=-1，且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…是等比数列. 基础落实训练 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. （　　） （2）若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn=na. （　　） （3）若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N+），则此数列一定是等比数列. （　　） 答案：（1）×　（2）√　（3）√ 2.等比数列{an}中，公比q=-2，S5=44，则a1的值为 （　　） A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析：选A　由S5==44，得a1=4. 3.数列{2n-1}的前99项和为 （　　） A.2100-1 B.1-2100 C.299-1 D.1-299 解析：选C　数列{2n-1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99==299-1. 4.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为 （　　） A.8 B.-2 C.4 D.2 解析：选D　设公比为q，由题意知S偶=qS奇，即2 024=1 012q，∴q=2. 题型（一）　等比数列前n项和的基本运算 [例1]　求下列等比数列前n项和： （1），，，…，求S8； （2）a1+a3=10，a4+a6=，求S5. 解：（1）因为a1=，q=， 所以S8==. （2）法一　由题意知 解得从而S5==. 法二　由（a1+a3）q3=a4+a6，得q3=，从而q=.又a1+a3=a1（1+q2）=10， 所以a1=8，从而S5==. 　　|思|维|建|模| 　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.（注意：q=1和q≠1的讨论） 　　[针对训练] 1.在等比数列{an}中，若Sn=189，q=2，an=96，求a1和n. 解：法一　∵an=96，q=2， ∴a1·2n=192.① 又∵Sn==189， 即a1-a1·2n=-189， ∴a1=a1·2n-189=192-189=3. 代入①式得n=6. 法二　由公式Sn=及已知，得189=， 解得a1=3. 又由an=a1qn-1，得96=3·2n-1， 解得n=6. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn. 解：设{an}的公比为q， 由题设得 解得或 当a1=3，q=2时，an=3×2n-1，Sn=3×（2n-1）； 当a1=2，q=3时，an=2×3n-1，Sn=3n-1. 题型（二）　等比数列前n项和的性质及应用 [例2]　（1）等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=48，S2n=60，则S3n= （　　） A.60 B.61 C.62 D.63 解析：选D　法一　∵S2n≠2Sn，∴公比q≠1， 由已知得 ②÷①得1+qn=，即qn=，③ ③代入①得=64， ∴S3n==64=63. 法二　∵{an}为等比数列，显然公比q≠-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴（S2n-Sn）2=Sn（S3n-S2n）， 即（60-48）2=48（S3n-60），∴S3n=63. 法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn， 即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. （2）一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为　　　　，项数为　　　　.  解析：设数列为{an}，其公比为q，项数为2n，则奇数项，偶数项分别组成以q2为公比的等比数列， 又a1=1，a2=q，q≠1，所以 ②÷①，得q=2，所以=85，4n=256， 故得n=4，故项数为8. 答案：2　8 　　[变式拓展] 　在例2（1）中，若把条件换为“Sn=2，S2n=6”，求S4n. 解：设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等比数列， Sn=2，S2n-Sn=4，故qn=2. 所以Sn==2，得-=2， 即=-2，S4n===-2×（1-16）=30. 　　|思|维|建|模| 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 （1）若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. （2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 　　[针对训练] 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于 （　　） A. B.- C. D. 解析：选C　由已知得S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，且S3=8，S6-S3=7-8=-1，∴S9-S6=（-1）×=，∴S9=S6+=7+=.故选C. 4.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n= （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选B　法一　因为等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，得到奇数项的和为1+q2+q4+…+q2n=1+q（q+q3+q5+…+q2n-1）=85，偶数项的和为q+q3+q5+…+q2n-1=42，整体代入得q=2，所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3.故选B. 法二　由S奇=a1+qS偶，得85=1+42q，所以q=2，所以前2n+1项的和为=85+42=127，解得n=3. 题型（三）　等比数列前n项和的综合应用 [例3]　已知等差数列{an}满足a3=7，a2+a6=20. （1）求{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1=a1，=a6，bn+1>bn，求满足Sn≤2 024的正整数n的最大值. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 则a3=a1+2d=7，a2+a6=2a1+6d=20， 解得a1=1，d=3，所以an=1+3（n-1）=3n-2. （2）设等比数列{bn}的公比为q. 由（1）知b1=a1=1，=a6=3×6-2=16. 因为=（b1q2）2，所以q=2或q=-2，又bn+1>bn，所以q=2，所以Sn==2n-1. 令2n-1≤2 024，得2n≤2 025， 又210<2 025<211， 所以满足题意的正整数n的最大值为10. 　　|思|维|建|模| 解决等比数列前n项和有关问题时应注意 （1）首先将题目问题转化为等比数列问题. （2）当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 　　[针对训练] 5.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn=1-Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）依题意，得2Sn=an+1-a1. 于是，当n≥2时，有 两式相减，得an+1=3an（n≥2）. 又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0， 所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此，an=a1·3n-1（n∈N+）. （2）存在.因为Sn==a1·3n-a1， 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n. 要使{bn}为等比数列，则1+a1=0， 故a1=-2. 学科网（北京）股份有限公司 $