1.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦等比数列的性质及应用核心知识点，系统梳理等比中项的定义、等比数列"若s+t=p+q则a_s a_t=a_p a_q"等性质，以及常数乘积、绝对值、子数列公比等常用结论，作为等比数列定义与通项公式的深化，搭建从概念到应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础训练、等比中项应用（如例1等差与等比中项综合题）、性质解决乘积问题（如例2利用性质求a3+a5）、汽车贬值实际应用（例3）等环节，培养学生数学思维（推理、运算）和数学眼光（发现现实中等比关系），课中助教师分层教学，课后学生可通过例题与训练巩固，查漏补缺。

第2课时　等比数列的性质及应用 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解等比中项，掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题. 2.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 1.等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，=，G2=ab，G=±.我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的性质 一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则asat=apaq，特别地，如果2s=p+q，则=apaq. 3.等比数列的常用结论 （1）若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{can}（c为任一常数）是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{}（m为常数，n∈N+）是公比为qm的等比数列. （2）若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. 基础落实训练 1.若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是 （　　） A.{an+bn} B.{an-bn} C.{anbn} D.{an+5} 解析：选C　两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C. 2.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2-2x-6=0的两根，则a4·a7= （　　） A.-6 B.-2 C.2 D. 解析：选B　a4a7=a1a10==-2. 3.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10=27，则log3a2+log3a9等于 （　　） A.9 B.6 C.3 D.2 解析：选C　因为a2a9=a1a10=27，所以log3a2+log3a9=log327=3. 题型（一）　等比中项及其应用 [例1]　（1）等比数列{an}中，a4=48，a8=3，则a4与a8的等比中项为 （　　） A.12 B.-12 C.±12 D.30 解析：选C　记a4与a8的等比中项为G，则G2=a4a8=48×3=144，所以G=±12.故选C. （2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a5是a4与a8的等比中项，则= （　　） A.- B.- C. D. 解析：选A　因为a5是a4与a8的等比中项，所以=a4a8.又因为数列{an}为等差数列，公差为d（d≠0），所以（a1+4d）2=（a1+3d）（a1+7d），化简得2a1d=-5d2，即2a1=-5d，所以=-.故选A. 　　|思|维|建|模| 　　在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 　　[针对训练] 1.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则=　　　　　.  解析：由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴=a1a9.∴（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得a1=d， ∴==. 答案： 2.已知b是a，c的等比中项，求证：ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2=ac，且a，b，c均不为零，又（a2+b2）（b2+c2）=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2，（ab+bc）2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2，所以（ab+bc）2=（a2+b2）（b2+c2），由a，b，c均不为零，可得a2+b2≠0，b2+c2≠0，故ab+bc≠0，即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 题型（二）　等比数列的性质及应用 [例2]　已知{an}为等比数列， （1）若a2a4=，求a1a5； （2）若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5； （3）若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解：（1）等比数列{an}中，∵a2a4=， ∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=. （2）由等比中项，化简条件得+2a3a5+=25， 即（a3+a5）2=25，∵an>0，∴a3+a5=5. （3）由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2·…·a10）=log3[（a1a10）（a2a9）（a3a8）·（a4a7）（a5a6）]=log395=10. 　　[变式拓展] 1.本例（3）改为“a5+a6=3，a15+a16=6”，求a25+a26的值. 解：∵数列{an}为等比数列， ∴a5+a6，a15+a16，a25+a26也成等比数列， ∴a25+a26===12. 2.本例（1）条件变为“若a5a6a7=-27”，求a2a6+a2a10+a6a10的最大值. 解：法一　因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3，所以a2=<0， 所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27， 当且仅当-3a2=-，即a2=-3时取等号. 法二　因为数列{an}是等比数列， 所以a5a6a7==-27，所以a6=-3， 所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27，当且仅当a4=a8=-3时取等号. 　　|思|维|建|模| 等比数列的运算常用的两条思路 （1）根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； （2）利用性质巧解，其中m+n=k+l=2s（m，n，k，l，s∈N+）⇔am·an=ak·al=. 　　[针对训练] 3.（2025·北京高考）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10= （　　） A.-20 B.-18 C.16 D.18 解析：选C　设等差数列{an}的公差为d（d≠0）， 因为a3，a4，a6成等比数列，且a1=-2， 所以=a3a6，即（-2+3d）2=（-2+2d）（-2+5d），解得d=2或d=0（舍去）. 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 4.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20，a2a8=2，则+++的值为 （　　） A.20 B.10 C.5 D. 解析：选B　在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B. 题型（三）　等比数列的实际应用 [例3]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N+）年后这辆车的价值. （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：（1）从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1=13.5，a2=13.5（1-10%），a3=13.5（1-10%）2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9， ∴an=a1·qn-1=13.5×（0.9）n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×（0.9）n万元. （2）由（1）得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9（万元）， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 　　|思|维|建|模| 解等比数列应用题的步骤 （1）审题：解决数列应用题的关键是读懂题意； （2）建立数学模型：将实际问题转化为等比数列的问题； （3）解数学模型：注意隐含条件，数列中n的值是正整数； （4）还原：即最后转化为实际问题作出回答. 　　[针对训练] 5.某制糖厂2018年制糖5万吨，如果从2019年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该制糖厂的年制糖量开始超过30万吨？（结果保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079） 解：记该制糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1=5，=1.2（n≥2且n∈N+），从而an=5×1.2n-1，令an>30，故1.2n-1>6，即n-1>log1.26=≈≈9.85.故n=11. 即从2028年开始，该制糖厂年制糖量开始超过30万吨. 学科网（北京）股份有限公司 $