1.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

014 课堂检测固双基 1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列 3.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数 ( ) 为 ) A.是公差为2的等差数列 A.92 B.47 C.46 D.45 B.是公差为5的等差数列 4.已知等差数列{an}中，a1+a2=4,a1o=11,则 C.是首项为5的等差数列 012= D.是公差为n的等差数列 2.等差数列-3,1,5，…的第15项的值是( 夯基提能作业 A.40 B.53 C.63 D.76 请同学们认真完成练案[3] 第2课时 等差数列的性质及应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解等差数列通项与一次函数的关系，理 1.通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学 解公差d的几何意义 习，培养数学抽象素养 2.掌握等差数列的性质及应用. 2.借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养 3.掌握等差中项的概念及应用. 必备知识探新知 知识点一 等差数列的单调性与图象 (1)等差数列的图象 由an=dn+（a1-d),可知其图象是直线y=dx+(a-d)上的一些 ,其中 是该直线的斜率 (2)从函数角度研究等差数列的性质与图象 由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些 ,这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的 ,即自变量每增加1，函数值增 加d. 当d>0时，{an}为 ;当d<0时，{an}为 ;当d=0时，{an}为 [提醒]等差数列通项公式的变形及推广 Da,=dn+(a-d)(nEN"), ②an=am+(n-m)d(m,neN*）, ③d=0。-0(m,neN,且m≠n). n-m 其中①的几何意义是点(n,an)均在直线y=d+(a1-d)上. ②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a ●015 ③即斜率公式k=2一业，可用来由等差数列任两项求公差。 X2-X1 想一想： 已知等差数列{an}的两项am,an,如何用am,an表示公差d?并解释公差d的几何意义. 练一练： 1.思考辨析（正确的画“V”,错误的画“×”） ()若4=“士白，则a,1b成等差数列， (2)若{an}是等差数列，则an=am+（n-m)d. (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的， () 2.在等差数列{an}中，a3=5,a=1,则数列{an}的公差d=· 知识点二等差数列的性质 (1)等差中项 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成 那么A叫作a与b的等差中项，A= (2)如果{an}是等差数列，正整数m,n,p,9,t满足m+n=p+9=2t,则有am+an=ap+ag =2a [提醒]在一个等差数列中，从第2项起，每一项α（有穷数列的末项除外）都是它的前一项 an-1与后一项an+1的等差中项，即2an=an-1+an+1(n≥2). 练一练： 1.若等差数列{an}的公差为d,则{3a+2是 A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列 2.在等差数列{an}中，若a3=2,a=7,则a,=· 016 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一等差数列通项公式的推广an=am+(n-m)d的应用 例1.若a.1为等差数列，as=8,m=20,求a 规律方法： 若an}是等差数列， 则公差d--凸 P-9 p,q∈N；an=at d-az(n-p),p:q,n p-9 [规律方法]∈N. 》对点训练1 等差数列{an}中，a2=3,ag=6,则a10= 题型二用性质am+a.=a。+a,(m,n,p,9eN,且m+n=p+q)解题 例2(I)在等差数列1a.中，已知a,=3,4=6,则a= A.9 B.12 C.15 D.18 (2)设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7,a+b3=21,则 规律方法： 等差数列运算的两条 a5+b5=; 常用思路 (3)在等差数列{an中，若a3+a4+a5+a6+a7=750,则a2+ag= (1)根据已知条件， 列出关于a1,d的方程 A.150 B.160 C.200 D.300 （组)，确定a1,d, [分析](1)根据等差数列的性质得出2a,=a+a13,然后将值代入即 然后求其他量 可求出结果 (2)利用性质巧解 (2)方法一：求a5+b→各设出公差→利用通项公式； 观察等差数列中的项 方法二：求a5+b5→{an},{bn}都是等差数列→{an+bn}也构成等差 的序号，若满足m+n 数列. =p +q=2r(m,n,p, (3)求a2+ag的值→a3+a2=a4+a6=2a5→a5→a2+ag=2a5 q,r∈N),则am+an ap ag =2a,. 特别提醒：递增等差 戴列d>0,递减等差 裁列d<0,解题时要 注意数列的单调性对 d取值的限制. ·[规律方法] ●017 )】对点训练2 (1)在等差数列{an中，a1+a4+a,=58,a2+a5+ag=44,则a3+a6+g的值 为 () A.30 B.27 C.24 D.21 (2)已知等差数列{an}中，a1+3ag+a15=120,则2ag-a1o= 规律方法： 题型三等差数列中的对称设项 三个数或四个数成等 例3，成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这 差裁列时，设未知量 四个数 的技巧如下： (1)当等差裁列{an} [分析]已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知， 的项数n为奇数时 常常设为a-3d,a-d,a+d,a+3d更简单.再通过联立方程组求解. 可设中间一项为a, 再用公差为d向两边 分别设项：…，a-2d, a-d,a,a d,a 2d,…. (2)当等差裁列{an} 的项裁n为偶数时， 可设中间两项为a- d,a+d,再以公差为 2d向两边分别设项 …,a-3d,a-d,a+ d,a+3d,…,这样可 减少计算量. [规律方法] )》对点训练3 设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48， 求这三个数， 018 ●易错警示 对等差数列的定义理解不透彻而致误 例4已知数列1a是无穷数列，则2a,=a+,“是数列1a,为等若数列的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [错解]C [误区警示]应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明a.+1-an或 an-an-1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的 每一项都满足等差的要求. [正解] 课堂检测固双基 1.在等差数列{a.}中，a3,ao是方程x2-3x-5=5.已知b是a,c的等差中项，且lg(a+1),lg(b- 0的两个实根，则a+ag= () 1),lg(c-1)成等差数列，同时a+b+c=15, A.3 B.5 求a,b,c的值. C.-3 D.-5 2.在等差数列{an}中，a2+a3=4,a+a6=8,则 a4= () 7 A.4 B.2 C.3 D.2 3.(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为 28,中间两项的积为40，则这四个数依次为 ( A.-2,4,10,16 B.16,10,4,-2 C.2,5,8,11 D.11,8,5,2 4.数列{an},{bn}都是等差数列，且a1=15,b1= 35,a2+b2=70,则a3+b3= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4]2.A由题意，得=a41=子，4=4·a=日，则4=4·a =32 3.a.=(neN,)数列a,对应的点列为(n,a),即有a.= z(ncN.). 4.(-2,1).数列：2a-1,a-3,3a-5为递减数列， 六0解得-2<a<1 ∴.a的取值范围为(-2,1) §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时等差数列 必备知识探新知 知识点一 2差同一个常数am-am-1=d(n≥2） 想一想： 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数 若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等， 则这个数列不是等差数列 练一练： AC根据等差数列的定义可知A,C中的数列是等差数列， 而B,D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数. 知识点二 a1+(n-1)d 练一练： 1.B由已知等差数列{an},a1=2,a3=5可得等差数列 a的公考d-5;2-号 2.D由a.=a1+(n-1)d得2023=3+4(n-1),解得n =506. 关键能力攻重难 例1：(1)设等差数列an}的公差为d,则2a1+4d=10,即2 +4d=10,解得d=2,所以an=2n-1. (2)设数列{an}的公差为d, 由a,=1,a=5,得%+(5-1)d=11, la1+(8-1)d=5, 得4=9d=-2 所以数列an}的通项公式an=19+(n-1)×(-2)=21 -2n. 对点训练1：(1)C设公差为d,首项为a1, e ld=2. ∴.ag=a1+8d=16. (2)①由a3=a1+(3-1)d,得a1=a3-2d=-8, an=-8+(n-1)×3=3n-11. ②aa=a1+(n-1)d, 所以a5=a1+4d, 所以11=a1-4×2,所以a1=19, 所以am=19+(n-1)×(-2) =-2n+21, 令-2n+21=1,得n=10. 例2：(1)①a.+1-a.=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数)，n 为任意正整数，所以此数列为等差数列. ②因为am+1-an=(n+1)2+(n+1)-(m2+n)=2n+2 -15 (不是常数)，所以此数列不是等差数列. (2)证明：方法一：因为 11+3a. an+1 an 所以1=1+3，所以1-1=3， an 又因为b,=L(neN),所以b1-b,=3(neN*),且， a =女=分所以数列6，是等差数列，尚项为宁公差为3 方法二因为6，=，且a=13a 1=1+30=1+3=b,+3, 所以b1aaa 所u6-6=3aeN)4=女分 所以数列b,}是等差数列，首项为7，公差为3。 对点训练2：(1)证明：当n≥2时，1=1+31+1 x3-13 1 …「是等差数列，公差为兮 (2)(1)知， ,=2+3n-1) +1×(100-1)=35, 1=2+ x100 x10m=35 例3：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时， 每增加1km,乘客需要支付1.2元 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2,表示4kmm处的车费，公差d=1.2, 那么当出租车行至14km处时，n=11, 此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元)： 即需要支付车费23.2元. 对点训练3：l1设经过n次考试后该学生的成绩为a, 则，=5n+69,由5n+69≥120，得n≥}=10，所以至 5 少要经过11次考试 例4：D由恩应知48d0都得号<d3,放选D 课堂检测固双基 1.A:am=2n+5,∴.a4-1=2n+3(n≥2)， .am-am-1=2n+5-2n-3=2(n≥2)， ∴.数列{a,}是公差为2的等差数列 2.B设这个等差数列为am}, 其中a1=-3,d=4,.a5=a1+14d=-3+4×14=53. 3.Ca1=1,d=-1-1=-2,.am=1+(n-1)·(-2)= -2n+3, 由-89=-2n+3,得n=46. 4.13设公差为d,由题意得2a+d=a+3d, La1+9d=11, 解得a2, {d=1.a,=a+(n-1)d,ap=2+11=13. 第2课时等差数列的性质及应用 必备知识探新知 知识点一 (1)等间隔的点公差d(2)等间隔的点斜率递增数 列递减数列常数列 想一想： d=a。-0.d是直线y=k+(a,-d)的斜率 m-n 练一练： 1.(1)V(2)V(3)V 2-1因为4=5,4，=1，故d=,-4=-1 7-3 知识点二 (1)等差数列0+b 2 练一练： 1.C设bn=3am+2,则b.+1-bn=3am+1+2-3am-2= 3(a+l-an）=3d. 2.12由等差数列的性质得a,+a3=2a5,则a,+2=2×7, 得a1=12. 关键能力攻重难 例1：方法一：设等差数列{a.}的公差为d, :a1s=a1+14d,ao=a1+59d, 64 a=15' a1+14d=8。解得 La1+59d=20, 4 d=15 as=a+74d-g+74×音=24 方法二：：{an}为等差数列， a15,a30,a45,a0,a5也为等差数列. 设其公差为d,则a15为首项，ao为第4项， .ao=a1s+3d,即20=8+3d,解得d=4. .a5=ao+d=20+4=24. 方法三：ao=a5+(60-15)d, d=00-a15.4 60-1515 a5=0a+(75-60)d=20+15×告=24 对点训练1：7方法一：设等差数列{an}的公差为d, 由题意，得a+d=3, la1+7d=6. [a1=2 1 d=2 ao=a+91=+号-7 方法二：设等差数列a.}的公差为d, .as-dz =6d=3d=2 六ao=4,+2l-6+2x7=7. 例2：(1)A{an}是等差数列，∴.2a,=a5+a3,故a13=2 ×6-3=9. (2)35方法一：设数列{an},{b,}的公差分别为d1,d2,因 为a+b3=(a1+2d)+(b1+2d)=(a1+b)+2(d+d2)=7 +2(d1+d2)=21, 所以d1+d=7,所以a5+b=(a3+b)+2(d1+d2)=21 +2×7=35. 方法二：因为数列{an},{bn}都是等差数列. 所以数列an+bn}也构成等差数列，所以2(a+b)=（a +b1)+(a5+b),所以2×21=7+a5+b5,所以a5+bs=35. (3)D方法一：a3+a4+a5+a6+a,=750, .∴.5a5=750, ∴.a5=150,∴.a2+ag=2a5=300. 15 方法二：a3+a4+a5+a6+a,=750, ∴.a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=750, .a1+4d=150,.a2+ag=a1+d+a1+7d=2(a1+4d) =300. 对点训练2：(1)A(a1+a4+a,)+(a3+a6+ag）= 2(a2+a5+ag）, 即58+(a3+a6+ag)=88, 以a3+a6+ag=30. (2)24方法-：a1+3ag+a15=120,.5ag=120, .as=24,∴.2ag-a10=(ag+a1o）-a1o=ag=24. 方法二：a1+3ag+a15=120,.a1+3(a1+7d)+(a1+ 14d)=120, a1+7d=24, .2ag-a1o=a1+7d=24. 例3：设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则：{a-3)+(a-d+(a+d+(a+3d)=26① l(a-d)(a+d)=40 ② =号代入②，得d=±号四个数为2,5,8,1山 由①，得a=2 3 或11,8,5,2. 对点训练3：设这三个数为a+d,a,a-d(d>0), a的。如动解科化立所以这三个致 是6,4,2. 例4：B 课堂检测固双基 1.Aa5+ag=a3+a10=3. 2.C因为(a2+a3)+(a+a6)=(a2+a6)+(a3+a5)=4a4= 12,所以a4=3. 3.AB设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 、[0-3d+a-d+a+d+a+3d=28,解得a-7,或a=7, l(a-d)(a+d)=40, ld=-3, 所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4，-2. 4.90因为数列an},bn}都是等差数列，所以{an+bn}也构成 了等差数列，所以(a2+b2)-(a1+b)=(a3+6)-(a+ b2),所以a+b3=90. 5.因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列 a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+ 1)+lg(c-1)知： 2lg4=lg(6-d)+g(4+d). 从而16=(6-d)(4+d),即P-2d-8=0. 所以d=4或d=-2. 所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3. 2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和 必备知识探新知 知识点 n(a1+am） natn(n-1d 2 想一想： 求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选 用公式S=a,+a;若已知首项、公差和项数，则选用公式 2 S.=na+a(n-Dd. 2 练一练： 1.D设公差为d,由+24=5解得4=d=5, la1+6d=35,