1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学等比数列的概念、通项公式及与指数型函数的关系，从生活实例引入概念，通过定义剖析（如“从第2项起”“公比不为0”），到通项公式推导与应用，再联系指数函数理解单调性，构建“概念-公式-应用-拓展”的学习支架。 资料以“逐点清”分层设计为特色，“微点助解”细化概念要点，“微点练明”设置选择、解答题分层训练。结合集合中选数成等比数列等实例培养数学眼光，通过公式推导和单调性分析发展数学思维，用符号语言表达通项公式提升数学语言能力。课中辅助教师精准授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

§3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式的意义. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程，能利用公式进行简单运算. 逐点清（一）　等比数列的概念 [多维理解] 　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）. |微|点|助|解| （1）定义强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项. （2）等比数列的公比q可正可负，但不能为0，等比数列中任一项不为0. （3）常数列（除0，0，0，…外）都是公比为1的等比数列. [微点练明] 1.下列通项公式中代表等比数列的是 （　　） A.an=c B.an=n+1 C.an=n2 D.an=2n 解析：选D　利用逐个检验，A中，c如果为0，显然不是等比数列；B，C不符合常数；D中，==2为常数，符合. 2.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成等比数列，则这样的等比数列的个数是 （　　） A.8 B.10 C.12 D.16 解析：选A　当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个. 3.判断下列数列是否为等比数列，并写出公比. （1）1，3，32，33，…，3n-1，…； （2）-1，1，2，4，8，…； （3）a1，a2，a3，…，an，…. 解：（1）记数列为{an}，显然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，…. ∵==3（n≥2，n∈N+），∴数列为等比数列，且公比为3. （2）记数列为{an}，显然a1=-1，a2=1，a3=2，…，∵=-1≠=2，∴此数列不是等比数列. （3）当a=0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 逐点清（二）　等比数列的通项公式 [多维理解] 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1（a1≠0，q≠0）. |微|点|助|解| （1）在已知首项a1，公比q的条件下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. （2）可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. （3）an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. [微点练明] 1.已知等比数列{an}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于 （　　） A.1 B.2 C.-2 D.-1 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a1q=4a1+a1q2，即q2-4q+4=0，解得q=2. 2.在递增等比数列{an}中，a3=4，且3a5是a6和a7的等差中项，则a10= （　　） A.256 B.512 C.1 024 D.2 048 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为3a5是a6和a7的等差中项，所以6a5=a6+a7，即6a5=a5q+a5q2.又因为a5≠0，所以q2+q-6=0，解得q=2或q=-3.又因为等比数列{an}是递增数列，所以q=2.又因为a3=4，所以a10=a3q7=4×27=512.故选B. 3.已知等比数列{an}为递增数列，且=a10，2（an+）=5an+1，求数列{an}的通项公式. 解：设等比数列{an}的公比为q， 由2（an+an+2）=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或q=， 由=a10=a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增， 所以q=2.=a10⇒（a1q4）2=a1q9⇒a1=q=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n. 4.在等比数列{an}中，已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解：设公比为q，由题意，得 由得q=， ∴a1=32.又an=1，∴32×=1， 即26-n=20，∴n=6. 逐点清（三）　等比数列的通项公式与指数型函数的关系 （1）当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）=·qx（x∈R）当x=n时的函数值，即an=f（n）. （2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列. ③当q=1时，等比数列{an}为常数列. ④当q<0时，等比数列{an}为摆动数列. [典例]　（1）根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是 （　　） A.an=n B.an= C.an=2-n D.an=log2n 解析：选C　等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构. （2）[多选]下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 （　　） A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1 {an}为递增数列，且{an}为递增数列 q>1 解析：选ABC　若a1=-2，q=2>1，则{an}的各项为-2，-4，-8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为-16，-8，-4，-2，…，是递增数列，则q=<1，B不正确，D正确；若a1=-16，q=∈（0，1），则{an}的各项为-16，-8，-4，…，显然是递增数列，C不正确. 　　|思|维|建|模| （1）具备“an=kan（k≠0）”形式，如an=2n-1，an=3×为等比数列. （2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，如a1>0，q>1或a1<0，0<q<1，{an}递增；a1>0，0<q<1或a1<0，q>1，{an}递减. 　　[针对训练] 1.数列{an}是各项均为实数的等比数列，则“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　∵a2>a1>0，∴a1q>a1>0，可得q>1，于是数列{an}为递增数列；反之不成立，例如数列是递增数列，但a1=-<0.∴“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A. 2.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是正项等比数列，若a1=b1，a7=b7，则 （　　） A.a4=b4 B.a5<b5 C.a8>b8 D.a9<b9 解析：选D　等差数列的通项公式是关于n的一次函数，n∈N+，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列{bn}的通项公式是关于n的指数函数，n∈N+，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示，当公差d>0时，如图1所示，当公差d<0时，如图2所示， 由图可知当a1=b1，a7=b7时，a4>b4，a5>b5，a8<b8，a9<b9.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $