1.3.1 等比数列的概念及其通项公式 第2课时 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦等比数列第2课时，核心内容为等比中项概念、等比数列性质应用及实际问题解决。通过教材要点梳理与基础练习导入，衔接前课时等比数列概念与通项公式，搭建知识支架。 特色在于分题型设计例题与跟踪训练，结合易错辨析强调符号规律，通过车辆贬值、病毒复制等实例渗透数学建模。助力学生掌握性质运算方法，提升数学运算和数学抽象素养，培养理性思维。

3.1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列的概念及其通项公式(二) 最新课程标准 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 学科核心素养 1.理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用通项公式进行基本量的运算．(数学运算) 3．会利用等比数列的性质进行基本量的运算．(数学运算) 4．体会等比数列与指数函数的关系．(直观想象) 5．能在具体的问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算) 导学 [教材要点] 要点　等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成________数列，那么称G＝________为a，b的等比中项． 总结　(1)若G是a与b的等比中项，则，所以G2＝ab，G＝±. (2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与；当a，b异号时没有等比中项． (3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若G是a与b的等比中项，则G＝.(　　) (2)若a，G，b满足G2＝ab，则a，G，b一定是等比数列．(　　) (3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　) (4)等比数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比数列．(　　) 2．若三个正数1，b，16成等比数列，则b的值为(　　) A．－4　　　　　B．4 C．8 D．±4 3．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为(　　) A．4 B．8 C．36 D．32 4．若三个数3－成等比数列，则x＝________． 导思 题型一　等比中项 例1　(1)(多选题)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是(　　) A．－ B． C．－4 D．4 (2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________． 总结 应用等比中项解题策略 (1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示； (2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同． 跟踪训练1　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 题型二　等比数列的性质应用 例2　已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 总结 运用等比数列性质计算的策略 运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7. (2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. 题型三　等比数列的实际应用 例3　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 总结 等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． 跟踪训练3　一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)． 易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错 例4　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　) A．9或－9 B．9 C．27或－27 D．－27 解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9，故选B. 答案：B 【易错点】 出错原因 纠错心得 没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a7＝±9，错选A. 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当． [课时训练] 1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a5为(　　) A．4 B．6 C．±6 D．±4 2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　) A．± B．－ C． D．± 3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32 B．64 C．256 D．±64 4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________. 5．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项． 0] 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列的概念及其通项公式(二) 导学 要点 等比　± [练习] 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．解析：由等比中项知b2＝16，又b>0，∴b＝4. 故选B. 答案：B 3．解析：∵{an}是等比数列，∴a2a6＝＝36. 故选C. 答案：C 4．解析：由等比中项知：x2＝＝4. ∴x＝±2. 答案：±2 导思 题型一 例1　解析：(1)由题意知an＝·2n-1＝2n-4>0 ∴a4＝1，a8＝16 ∴a4·a8＝16 ∴a4与a8的等比中项是±4. 故选CD. (2)由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项， 设此数为G，则G2＝ab，故G＝±. 答案：(1)CD　(2)或－ 跟踪训练1　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列， ∴b2＝(－1)×(－9)＝9 ∵b<0，∴b＝－3. 又∵b2＝ac，∴ac＝9.故选B. 答案：B 题型二 例2　解析：(1)在等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以，所以. (2)根据等比中项，化简条件得 ＝25，即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 跟踪训练2　解析：(1)法一：相除得q8＝9. 所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9. 法二：因为＝a3a11＝81，所以a7＝±9， 又因为a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9. (2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15， 所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3. 所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±. 题型三 例3　解析：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn-1＝10×0.9n-1. 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n-1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94-1 ＝7.29 (万元)． 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． 跟踪训练3　解析：由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟． 答案：45 [课时训练] 1．解析：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18， ∴＝6. 故选B. 答案：B 2．解析：根据等比数列的性质可知a1a5＝⇒a5＝.故选C. 答案：C 3．解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B. 答案：B 4．解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25. 答案：25 5．解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1， 因为a2－a5＝42，所以q≠1， 由已知得， 所以 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以由②除以①，得q(1－q)＝. 所以q＝. 所以a1＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项， 则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝＝9， 所以a5与a7的等比中项为±3. 学科网（北京）股份有限公司 $