1.2.1 第3课时 等差数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦等差数列的综合问题，在学生掌握等差数列定义与性质的基础上，通过判定与证明、项的设法与求解、构造新数列三个题型，搭建从基础应用到复杂问题解决的学习支架。 该资料采用拓展融通的习题讲评式教学，通过例题变式、思维建模培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。如例1构造数列证明等差数列，体现逻辑推理；巧设项方法助于模型构建，课中提升教学效率，课后辅助学生查漏补缺。

第3课时　等差数列的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 　进一步理解等差数列，掌握等差数列的判定与证明方法.能灵活设项解等差数列.会由等差数列构造新数列. 题型（一）　等差数列的判定与证明 [例1]　已知数列{an}中，a1=2，an=2-（n≥2，n∈N+），设bn=（n∈N+）. （1）求证：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为an=2-，所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1，所以{bn}是首项为b1==1，公差为1的等差数列. （2）由（1）知bn=n，所以bn==n（n∈N+），解得an=1+，所以{an}的通项公式为an=1+（n∈N+）. 　　[变式拓展] 　本例条件“an=2-（n≥2，n∈N+）”变为“an+1=”，那么数列是否为等差数列？请说明理由. 解：数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=， ∴==+，∴-=， 即数列是首项为=，公差为d=的等差数列. 　　|思|维|建|模| 证明等差数列的方法 　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法. （1）在解答题中，证明一个数列是等差数列首选定义法；其次是等差中项法. （2）通项公式法可用于选择、填空题的求解. 　　[针对训练] 1.已知，，成等差数列，并且a+c，a-c，a+c-2b均为正数，求证：lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差数列. 证明：∵，，成等差数列，∴=+=，即b（a+c）=2ac. 要证lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差数列， 即证2lg（a-c）=lg（a+c）+lg（a+c-2b）， 只需证lg（a-c）2=lg[（a+c）（a+c-2b）]， 即证（a-c）2=（a+c）（a+c-2b）， 即证（a-c）2=（a+c）2-2b（a+c）. ∵b（a+c）=2ac，∴（a+c）2-2b（a+c）=（a+c）2-2×2ac=（a-c）2. ∴lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差数列. 题型（二）　等差数列项的设法与求解 [例2]　已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数. 解：法一　设这三个数首项为a1，公差为d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 法二　设这三个数为a-d，a，a+d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 　　[变式拓展] 　本例条件变为：已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求这四个数. 解：设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则 又该数列是递增数列， 所以d>0， 所以a=±，d=， 所以此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1. 　　|思|维|建|模| 　　利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算，其设元技巧为 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a-d，a+d，公差为2d； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a-d，a，a+d，公差为d； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d. 　　[针对训练] 2.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式. 解：设等差数列的前三项分别为a-d，a，a+d， 由题意，得 即解得 ∵等差数列{an}是递增数列， ∴d=4. ∴等差数列的首项为3，公差为4. ∴an=3+4（n-1）=4n-1. 题型（三）　由等差数列构造新数列 [例3]　已知{an}为等差数列，且a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它们和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 解：（1）设新数列为{bn}，则b1=a1=2，b5=a2=3， 根据bn=b1+（n-1）d，有b5=b1+4d，即3=2+4d， 所以d=，所以bn=2+（n-1）×=. 又因为an=a1+（n-1）×1=n+1=，所以an=b4n-3， 即原数列的第n项为新数列的第4n-3项. 当n=12时，4n-3=45， 故原数列的第12项为新数列的第45项. （2）由（1）知an=b4n-3，令4n-3=29，得n=8， 即新数列的第29项是原数列的第8项. 　　|思|维|建|模| 　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： （1）定义：an+1-an是否为常数； （2）通项公式是否为关于n的一次函数. 　　[针对训练] 3.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b97是数列{an}的第 （　　） A.32项　　 B.33项 C.34项　　 D.35项 解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，等差数列{bn}的公差为d1，等差数列{an}各项为a1，a1+d，a1+2d，…，等差数列{bn}各项为a1，a1+d1，a1+2d1，a1+3d1，a1+4d1，…，显然有a1+d=a1+3d1⇒d=3d1⇒d1=d，b97=a1+96d1=a1+32d=a33，故选B. 4.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 （　　） A.15 B.16 C.17 D.18 解析：选B　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an=12n-10，所以12n-10≤190，解得n≤，又n∈N+，所以n的最大值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $