1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦等差数列的概念及其通项公式，通过生活实例导入，结合定义辨析、公式推导等学习支架，衔接数列基础知识，引导学生从具体到抽象理解概念及通项公式的意义。 资料知识点解析细致，分概念判断、通项公式应用、证明及应用题型设计例题与跟踪训练，搭配分层巩固练习，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，助力学生系统掌握知识，提升解题能力。

数学　选择性必修 第二册 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 (教师独具内容) 课程标准：通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 教学重点：1.等差数列的概念.2.等差数列的通项公式及运用． 教学难点：1.等差数列的判定.2.等差数列的通项公式及灵活运用． 核心素养：1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养.2.通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理和数学运算素养． 知识点一　等差数列的定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 知识点二　等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 1．正确理解等差数列的定义 (1)如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第3项或第4项起是一个等差数列． (2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉． (3)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2)，也可以用d＝an＋1－an来求． (4)公差d∈R，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列． (5)d＝an－an－1(n≥2)或d＝an＋1－an是证明或判断一个数列是等差数列的依据． 2．正确认识等差数列的通项公式 (1)确定a1和d是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)等差数列中任意相邻两项的差即为数列的公差．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)等差数列0.73，0.72，0.71，0.70，0.69的公差为________． (2)等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，则数列{an}的通项公式是________． (3)已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________． 答案：(1)－0.01　(2)an＝2n－1　(3)10 题型一　等差数列的概念 例1　判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中，an＝3n＋2； (2)在数列{an}中，an＝n2＋n. [解]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)． 由等差数列的定义知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 【感悟提升】判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数． 【跟踪训练】 1．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由． 解：数列{bn}是等差数列． 理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N＋)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. ∴根据等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列． 题型二　等差数列的通项公式 例2　(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d. [解]　因为a5＝10，a12＝31， 故即 (2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求数列{an}的通项公式． [解]　设等差数列{an}的公差为d， 由已知得1＋2d＝(1＋d)2－4， 解得d＝±2. 当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1； 当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3. [结论探究]　若本例(2)中条件不变，试求数列{an}中的最大项与最小项． 解：当d＝2时，an＝2n－1，数列{an}为递增数列，有最小项为a1＝1，无最大项； 当d＝－2时，an＝－2n＋3，数列{an}为递减数列，有最大项为a1＝1，无最小项． 【感悟提升】求等差数列通项公式的方法 应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得 求出a1和d，从而确定通项公式． 【跟踪训练】 2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项． 解：由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20， 得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66. ①求数列{an}的通项公式及a2026的值； ②2026是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？若不是，请说明理由. 解：①由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为a2＋a5＝24，a17＝66， 所以 解得 所以数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2. 所以a2026＝4×2026－2＝8102. ②令an＝4n－2＝2026，解得n＝507∈N＋， 所以2026是数列{an}的第507项． 题型三　等差数列的证明及应用 例3　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝. 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n. ∵bn＝， ∴an＝＋2＝＋2. 【感悟提升】 1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． 若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可． 2．用定义证明等差数列时的易错点 用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义． 【跟踪训练】 3．已知数列{an}满足an＝(n≥2且n∈N＋)． (1)求证：是等差数列； (2)若a1＝，求an. 解：(1)证明：∵an＝(n≥2，n∈N＋)， ∴＝＝＋， 即－＝， ∴是公差为的等差数列． (2)∵a1＝， ∴＝2， ∴＝＋(n－1)×＝2＋n－＝n＋＝， ∴an＝. 1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列是(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列 C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列 答案：A 解析：an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2＝d，a1＝7，故选A. 2．已知数列{an}为等差数列，a4＝10，3a2＋a3＝19，则a5＝(　　) A．9 B．11 C．13 D．15 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d，则解得则a5＝1＋4×3＝13.故选C. 3．(多选)在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}，则下列说法正确的是(　　) A．b1＝－7 B．b2＝27 C．an＝8－5n D．{bn}中的第508项是{an}中的第2024项 答案：AC 解析：∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n，故C正确；数列{an}中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27，故A正确，B错误；对于D，设{an}中的第m项是{bn}中的第k项，则m＝3＋4(k－1)＝4k－1，∴当k＝508时，m＝4×508－1＝2031，即{bn}中的第508项是{an}中的第2031项，故D错误． 4．已知48，a，b，c，－12是等差数列中的连续5项，则a，b，c的值依次为________，________，________． 答案：33　18　3 解析：∵－12＝48＋4d，∴d＝－15，∴a＝33，b＝18，c＝3. 5．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：设数列{an}的公差为d， ∵a15＝33，a61＝217， ∴解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－23＋(n－1)·4＝4n－27. 令an＝153，则4n－27＝153⇒n＝45， ∴153是该数列中的第45项． 课后课时精练 一、选择题 1．已知数列3，9，15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的第________项(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：C 解析：an＝3(2n－1)＝6n－3.由6n－3＝81，得n＝14. 2．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a5＋a7＝15，a8－a2＝12，则a10＝(　　) A．10 B．12 C．15 D．18 答案：C 解析：设数列{an}的公差为d，首项为a1，则解得则a10＝a1＋9d＝－3＋9×2＝15. 3．等差数列{an}中，a1＝70，d＝－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　) A．a8 B．a9 C．a10 D．a11 答案：B 解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝79－9n，d＝－9<0，∴数列{an}为递减数列，a8＝7，a9＝－2，∴a9的绝对值最小，故选B. 4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则它的公差是(　　) A．－3 B．－4 C．－5 D．－6 答案：B 解析：设该数列的公差为d，则由题设条件知a6＝a1＋5d>0，a7＝a1＋6d<0.又a1＝23，∴即－<d<－.又d是整数，∴d＝－4. 5．(多选)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断中正确的是(　　) A．若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等差数列 B．若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等方差数列 C．数列{(－1)n}是等方差数列 D．若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k∈N＋，k为常数)是等方差数列 答案：ACD 解析：对于A，由{an}是等方差数列可得a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，即有{a}是首项为a，公差为p的等差数列，故A正确；对于B，例如：数列{}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，故B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N＋)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，….数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，….∵(a－a)＝(a－a)＝…＝(a－a)＝p，∴a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，∴a－a＝kp，所以数列{akn}是等方差数列，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89的项数是________． 答案：46 解析：∵a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46. 7．已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为________． 答案：31 解析：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则解得在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{bn}的公差为＝，首项为b1＝a1＝1，通项公式为bn＝1＋(n－1)＝n＋，故b41＝×41＋＝31. 8．数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an＋1，1＋an是函数f(x)＝x2－bnx＋an的两个零点，则a2＝________；当bn>时，n的最大值为________． 答案：　5 解析：由题意可得an＋1(1＋an)＝an，所以an＋1＝，所以a2＝.又因为a1＝1，所以a2＝.因为an＋1(1＋an)＝an，所以－＝1.又因为a1＝1，所以＝n，所以an＝，a2＝.因为an＋1＋1＋an＝bn，所以bn＝an＋1＋an＋1＝＋＋1>，所以n2－5n－3<0.因为n>0，所以0<n<.因为n∈N＋，所以n的最大值为5. 三、解答题 9．已知等差数列{an}：3，7，11，15，…. (1)135，4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？试说明理由； (2)若ap，aq(p，q∈N＋)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？说明理由． 解：∵a1＝3，d＝4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－1， (1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34， ∴135是数列{an}中的第34项， 令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5(n∈N＋)， ∴4m＋19是数列{an}中的第m＋5项． (2)∵ap，aq是数列{an}中的项， ∴ap＝4p－1，aq＝4q－1. ∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝4(2p＋3q－1)－1. ∵2p＋3q－1∈N＋， ∴2ap＋3aq是数列{an}中的第2p＋3q－1项． 10．已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，n∈N＋. (1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n＋1， 所以－＝1， 即bn＋1－bn＝1，且b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知bn＝＝n， 所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n. 1．曲线C：xy－2kx＋k2＝0与直线x－y＋8＝0有唯一公共点，数列{an}的首项a1＝2k，且当n≥2时，点(an－1，an)恒在曲线C上，数列{bn}满足关系式bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由xy－2kx＋k2＝0与y＝x＋8联立，得x2＋(8－2k)x＋k2＝0. 由条件有Δ＝(8－2k)2－4k2＝0，k＝2， 因此曲线方程为xy－4x＋4＝0，点(an－1，an)在曲线上， 故an＝，得an－2＝， ∴bn＝＝＝ ＝＋＝＋bn－1， 即bn－bn－1＝， 当n＝1时，b1＝＝＝， ∴数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可得bn＝＋(n－1)＝. 由bn＝，解得an＝2＋. 2．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由． 解：(1)证明：∵an＝2－(n≥2且n∈N＋)，bn＝(n∈N＋)， ∴当n≥2时，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1， 又b1＝＝－. 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，bn＝n－， 则an＝1＋＝1＋， 设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和上为减函数． 所以当n＝3时，an取得最小值－1； 当n＝4时，an取得最大值3. 11 学科网（北京）股份有限公司 $