第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 第一课时　等差数列的前n项和公式 【基础落实】 知识点一 3.　na1＋d 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）× 2.D　设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48. 3.　解析：由S25＝－25＋×24×25×d＝30，解得d＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×（－5）＋5×9×3＝85. （2）由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋（8－1）d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5. 跟踪训练 　解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. （2）S17＝＝＝ ＝340. （3）由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋（15－1）d＝－， 所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 【例2】　解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知 Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥2，n∈N＋）， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－［（n－1）2＋（n－1）］＝2n－， ① 当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N＋. ∵an＋1－an＝2（n＋1）－－（ 2n－）＝2， 故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列. 母题探究 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（ n2＋n＋1）－［（n－1）2＋（n－1）＋1］＝2n－. ① 当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝，不符合①式. ∴an＝ 跟踪训练 解：（1）证明：因为an＝（n≥2），所以Sn－Sn－1＝，得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1， 又Sn≠0，方程两边同时除以Sn·Sn－1，得－＝2（n≥2）， 故数列{}是等差数列，且首项为2，公差为2. （2）由（1）可知＝2＋（n－1）2＝2n，所以Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 又n＝1时，a1＝不符合上式， 所以an＝ 【例3】　解：从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取的奖品价值是以100为首项，以10为公差的等差数列，设为{an}，则a1＝100，d＝10，n＝13， ∴共获奖品价值S13＝13×100＋×10＝2 080（元）. ∵2 080＞2 000，∴第二种领奖方式获奖者受益更多. 跟踪训练 　解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800. 由S20＝20a1＋×2＝800，可得a1＝21. 因此，第1排应安排21个座位. 随堂检测 1.B　∵a1＝S1＝6，a1＋a2＝S2＝14，∴a2＝8，∴d＝a2－a1＝2. 2.B　S10＝＝5（a1＋a10）＝120，∴a1＋a10＝24. 3.B　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管最少，为10根. 4.2n　解析：设{an}的公差为d，则解得故an＝2＋（n－1）×2＝2n. 5.解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋3n＋1）－[－2（n－1）2＋3（n－1）＋1]＝－4n＋5. 又因为当n＝1时，a1＝2不满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝ （2）由（1）知，当n≥2时，an＋1－an＝－4（n＋1）＋5－（－4n＋5）＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　等差数列的前n项和公式 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系（数学抽象、数学运算）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题（数学建模、数学运算）. 第一课时　等差数列的前n项和公式 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇室建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈. 【问题】　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等差数列的前n项和公式 1.数列的前n项和 定义：数列{an}中，从第一项a1到第n项an的和称为数列{an}的前n项和.记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2.数列的前n项和公式 定义：如果数列{an}的前n项和Sn能用关于项数n的一个式子g（n）来表示，那么Sn＝g（n）叫作数列{an}的前n项和公式. 3.等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 Sn＝　　　 Sn＝　　　　　 　　提醒：（1）等差数列{an}的前n项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于具有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和；（2）若已知等差数列{an}的首项a1、末项an及项数n，则用公式Sn＝来求和.这里是a1与an的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质；（3）公式Sn＝中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量. 知识点二　数列中an与Sn的关系 　对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ 　　提醒：在使用an与Sn的关系求an时，要注意验证n＝1时与n≥2时求得的通项公式是否可以合并. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.（　　） （2）若数列{an}的前n项和Sn＝kn（k∈R），则{an}为常数列.（　　） （3）等差数列的前n项和等于其首项、第n项的等差中项的n倍.（　　） （4）若数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意的n∈N＋，an＝Sn－Sn－1.（　　） 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝（　　） A.16　　　B.24　　　C.36　　　D.48 3.等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝　　　　. 题型一｜等差数列前n项和的基本运算 【例1】　在等差数列{an}中： （1）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； （2）已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 等差数列中基本计算的两个技巧 （1）利用基本量求值 （2）利用等差数列的性质解题 【跟踪训练】 在等差数列{an}中： （1）若a1＝1，a4＝7，求S9； （2）若a3＋a15＝40，求S17； （3）若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 题型二｜由数列{an}的前n项和Sn求an 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 （变条件、变设问）若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求数列{an}的通项公式. 通性通法 1.已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an，先由a1＝S1求得a1，再当n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an的表达式，最后验证a1是否符合an的表达式，若符合则统一用一个式子表示，不符合则分段表示. 2.数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）. 【跟踪训练】 已知在数列{an}中，an≠0（n≥1），a1＝，前n项和Sn满足an＝（n≥2，n∈N＋）. （1）求证：数列{}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 题型三｜等差数列前n项和的实际应用 【例3】　某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择 2 000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. 2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： （1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； （2）深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或者求项数n. 【跟踪训练】 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位. 1.等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋5n，则公差d＝（　　） A.1 B.2 C.5 D.10 2.在等差数列{an}中，S10＝120，则a1＋a10＝（　　） A.12 B.24 C.36 D.48 3.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（　　） A.9 B.10 C.19 D.29 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝　　　　. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{an}是否为等差数列？ 提示：完成课后作业　第一章　§2　2.2　第一课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $