1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学等差数列的概念、通项公式及应用，构建“概念理解—公式推导—实际应用”的学习支架，先通过生活实例引入等差数列概念，明确递推公式与公差范围，再推导通项公式并解析参数“知三求一”关系，最后结合典例提升应用能力。 资料以“逐点清”结构为特色，“微点助解”细化概念关键（如公差可正可负可为0），“微点练明”通过选择、解答题分层巩固，“思维建模”提炼方程与整体代入思想。培养数学思维的推理能力（如判断数列是否等差）和数学语言的模型意识（通项公式与一次函数关联），课中助力教师精准授课，课后方便学生查漏补缺，强化知识应用。

§2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念，等差数列通项公式的意义. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 逐点清（一）　等差数列的概念 [多维理解] （1）概念：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. （2）递推公式：an+1-an=d（d为常数）. |微|点|助|解| （1）作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； （2）作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； （3）等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d，其中d是与n无关的常数； （4）公差d的取值范围：可正、可负、也可为0（常数列是公差为0的等差数列），它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为（-∞，+∞）. [微点练明] 1.下列说法正确的是 （　　） A.若a-b=b-c，则a，b，c成等差数列 B.若an+1-an=n（n∈N+），则{an}是等差数列 C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 解析：选A　对于A，由a-b=b-c，可得b-a=c-b，因此a，b，c成等差数列，故A正确；对于B，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列，故B不正确；对于C，公差d可以等于0，故C不正确；对于D，d=an-an-1（n≥2，n∈N+），而an-1-an=-d（n≥2，n∈N+），但-d不是等差数列的公差，故D不正确. 2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是 （　　） A.7，13，19，25，31 B.1，1，2，3，…，n C.9，9，9，9，… D.数列{an}满足an+1-an=3 解析：选AD　因为13-7=19-13=25-19=31-25=6>0，所以A中数列是公差为6的递增等差数列.因为1-1=0≠2-1，所以B中数列不是等差数列.因为9-9=9-9=…=0，所以C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.因为an+1-an=3>0，所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列. 3.判断下列数列是否为等差数列： （1）an=3n-1； （2）an= 解：（1）当n≥2时，an-an-1=3n-1-（3n-4）=3， 所以该数列是等差数列. （2）由通项公式an=知a1=1，a2=1，a3=2，a2-a1≠a3-a2， 所以该数列不是等差数列. 逐点清（二）　等差数列的通项公式 [多维理解] 　　若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d. |微|点|助|解| （1）等差数列通项公式与一次函数的关系： 由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p=0时，an=q，等差数列为常数列. （2）等差数列通项公式中的四个参数及其关系： 等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d 四个参数 a1，d，n，an “知三求一” 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 [微点练明] 1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-4n，则等差数列{an}的公差d= （　　） A.-4 B.-1 C.3 D.4 解析：选A　因为等差数列{an}的通项公式an=3-4n， 所以a1=-1，a2=-5， 则公差d=a2-a1=-5-（-1）=-4.故选A. 2.已知等差数列{an}中，a5=7，公差d=4，则479是数列的第 （　　） A.123项 B.97项 C.85项 D.187项 解析：选A　因为等差数列{an}中，a5=7，公差d=4，所以a5=a1+4d=a1+4×4=7，则a1=-9，所以an=a1+（n-1）d=-9+（n-1）×4=4n-13，令4n-13=479，解得n=123.故选A. 3.在等差数列{an}中， （1）已知a1=3，d=2，n=6，求an； （2）已知a1=1，d=2，an=15，求n； （3）已知a1=，n=5，an=8，求d； （4）已知d=-，n=12，an=-8，求a1. 解：（1）因为数列{an}为等差数列， a1=3，d=2，n=6， 所以an=a1+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1. 所以a6=2×6+1=13. （2）因为数列{an}为等差数列，a1=1，d=2，an=15， 所以15=1+（n-1）×2， 解得n=8. （3）因为数列{an}为等差数列， a1=，n=5，an=8，所以a5=+（5-1）d=8， 解得d=. （4）因为数列{an}为等差数列， d=-，n=12，an=-8， 所以a12=a1+（12-1）×=-8， 解得a1=. 逐点清（三）　等差数列的应用 [典例]　（1）在等差数列{an}中，首项a1=1，从第10项起开始比2大，求公差d的取值范围. （2）在等差数列{an}中，首项a1=1，公差d≠0，若7ak=a1+a2+…+a7，求k的值. 解：（1）由an=1+（n-1）d， 所以即所以<d≤. （2）因为a1+a2+…+a7=7a1+21d=7+21d， 而ak=1+（k-1）d，所以7ak=7+7（k-1）d. 所以7+7（k-1）d=7+21d，即k=4. 　　|思|维|建|模| 等差数列通项公式应用中的两种思想方法 （1）利用等差数列的通项公式求出首项a1及公差d，从而可求数列的其他项，注意方程的思想. （2）利用等差数列的通项公式求出首项a1和公差d的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想. 　　[针对训练] 1.数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选B　∵数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，∴an=1+（n-1）d.∵81是该数列中的一项，∴81=1+（n-1）d，∴n=+1.∵d，n∈N+，∴d是80的因数，故d不可能是3，故选B. 2.在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7. （1）求数列的第10项； （2）112是数列{an}的第几项？ （3）80到110之间有多少项？ 解：（1）设数列{an}的公差为d， 则解得 则a10=a1+9d=-2+27=25. （2）由（1）知an=-2+（n-1）×3=3n-5，由112=3n-5，解得n=39. 所以112是数列{an}的第39项. （3）由80<3n-5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 学科网（北京）股份有限公司 $