1.2.1 第1课时 等差数列-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

010 §己等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时等差数列 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解等差数列的概念。 1.通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学 2.掌握等差数列的判定方法， 抽象素养 3.掌握等差数列的通项公式及通项公式的2.借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算 应用： 素养。 必备知识 探新知 知识点一 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第项起，每一项与它的前一项的都是 文字语言 ,称这样的数列为等差数列 符号语言 若 则数列{a,}为等差数列 [提醒]“每一项与前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面 的项；其二是强调这两项必须相邻. 想一想： 若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？ 练一练： (多选)下列数列是等差数列的是 () A.0,0,0,0,0,… B.1,11,111,1111,…C.-5,-3,-1,1,3,… D.1,2,3,5,8,… 知识点二等差数列的通项公式 若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an= 练一练： 1.已知等差数列{an},a1=2,a3=5,则公差d等于 () A号 R号 C.3 D.-3 2.等差数列{an}中，首项a1=3,公差d=4,如果an=2023,则序号n= A.503 B.504 C.505 D.506 ●011 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一等差数列的通项公式 例.已知数列a,是等差数列，且a,=1,+,=10.求数列1a,的通 项公式. (2)在等差数列{an}中，已知a=11,g=5,求通项公式a 规律方法： 基本量法求通项公式 (1)根据已知量和未 知量之间的关系，列 出方程求解的思想方 法，称为方程思想 (2)等差数列{an}中 [规律方法]的每一项均可用4，和 )对点训练1 d表示，这里的a1和d (1)在等差数列{an}中，已知a2=2,a5=8,则ag= () 就称为基本量. A.8B.12 C.16D.24 (3)如果条件与结论 (2)等差数列{an}中， 间的联系不明显，则 ①已知a3=-2,d=3,求an的值； 均可化成有关a1,d的 ②若a5=11,an=1,d=-2,求n的值. 关系列方程组求解， 但是要注意公式的变 形及整体计算，以减 少计算量. 012 题型二 等差数列的判断与证明 例21)判断下列数列是否为等差数列？ ①an=3n+2; ②an=n2+n. (2)已知数列a,满足a-2a=13a(aeN).6.=d(neN). a 求证：数列{b}是等差数列，并求出首项和公差 规律方法： 1.用定义证明一个数 列是等差数列，即证 明anl-an=d(d为 常数) 2.说明一个数列不是 等姜数列，只需说明存 在p,q使ap1-0,≠ >[规律方法] agl-a,(p,g∈N,) 即可 》对点训练2 知数列满足之，3n≥2，且neN,》 1)求证：}是等差数列： (2)当=时，求m ●013 题型三等差数列的实际应用 例3，某市出租车的计价标准为1.2元m,起步价为10元，即最初的4km (不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的 目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ [规律方法] 规律方法： 在实际问题中，若一 】对点训练3 组数依次成等数额增 高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比 长或下降，则可考虑 上一次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后 利用等差数列方法解 要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为决在利用装列方法 解决实际问题时，一 ●易错警示 定要分清首项、项裁 求等差数列的公差时因考虑不周致误 等关键问题」 例4首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围 是 () 8 A.d> 3 B.d<3 3≤d<3 0 3<ds3 [错解】aw=a+91=-24+91>0,解得d>号故选A [误区警示]该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明 公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视 第9项的要求 [正解] 014 课堂检测固双基 1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列 3.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数 ( ) 为 ) A.是公差为2的等差数列 A.92 B.47 C.46 D.45 B.是公差为5的等差数列 4.已知等差数列{an}中，a1+a2=4,a1o=11,则 C.是首项为5的等差数列 012= D.是公差为n的等差数列 2.等差数列-3,1,5，…的第15项的值是( 夯基提能作业 A.40 B.53 C.63 D.76 请同学们认真完成练案[3] 第2课时 等差数列的性质及应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解等差数列通项与一次函数的关系，理 1.通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学 解公差d的几何意义 习，培养数学抽象素养 2.掌握等差数列的性质及应用. 2.借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养 3.掌握等差中项的概念及应用. 必备知识探新知 知识点一 等差数列的单调性与图象 (1)等差数列的图象 由an=dn+（a1-d),可知其图象是直线y=dx+(a-d)上的一些 ,其中 是该直线的斜率 (2)从函数角度研究等差数列的性质与图象 由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些 ,这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的 ,即自变量每增加1，函数值增 加d. 当d>0时，{an}为 ;当d<0时，{an}为 ;当d=0时，{an}为 [提醒]等差数列通项公式的变形及推广 Da,=dn+(a-d)(nEN"), ②an=am+(n-m)d(m,neN*）, ③d=0。-0(m,neN,且m≠n). n-m 其中①的几何意义是点(n,an)均在直线y=d+(a1-d)上. ②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a2.A由题意，得=a41=子，4=4·a=日，则4=4·a =32 3.a.=(neN,)数列a,对应的点列为(n,a),即有a.= z(ncN.). 4.(-2,1).数列：2a-1,a-3,3a-5为递减数列， 六0解得-2<a<1 ∴.a的取值范围为(-2,1) §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时等差数列 必备知识探新知 知识点一 2差同一个常数am-am-1=d(n≥2） 想一想： 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数 若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等， 则这个数列不是等差数列 练一练： AC根据等差数列的定义可知A,C中的数列是等差数列， 而B,D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数. 知识点二 a1+(n-1)d 练一练： 1.B由已知等差数列{an},a1=2,a3=5可得等差数列 a的公考d-5;2-号 2.D由a.=a1+(n-1)d得2023=3+4(n-1),解得n =506. 关键能力攻重难 例1：(1)设等差数列an}的公差为d,则2a1+4d=10,即2 +4d=10,解得d=2,所以an=2n-1. (2)设数列{an}的公差为d, 由a,=1,a=5,得%+(5-1)d=11, la1+(8-1)d=5, 得4=9d=-2 所以数列an}的通项公式an=19+(n-1)×(-2)=21 -2n. 对点训练1：(1)C设公差为d,首项为a1, e ld=2. ∴.ag=a1+8d=16. (2)①由a3=a1+(3-1)d,得a1=a3-2d=-8, an=-8+(n-1)×3=3n-11. ②aa=a1+(n-1)d, 所以a5=a1+4d, 所以11=a1-4×2,所以a1=19, 所以am=19+(n-1)×(-2) =-2n+21, 令-2n+21=1,得n=10. 例2：(1)①a.+1-a.=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数)，n 为任意正整数，所以此数列为等差数列. ②因为am+1-an=(n+1)2+(n+1)-(m2+n)=2n+2 -15 (不是常数)，所以此数列不是等差数列. (2)证明：方法一：因为 11+3a. an+1 an 所以1=1+3，所以1-1=3， an 又因为b,=L(neN),所以b1-b,=3(neN*),且， a =女=分所以数列6，是等差数列，尚项为宁公差为3 方法二因为6，=，且a=13a 1=1+30=1+3=b,+3, 所以b1aaa 所u6-6=3aeN)4=女分 所以数列b,}是等差数列，首项为7，公差为3。 对点训练2：(1)证明：当n≥2时，1=1+31+1 x3-13 1 …「是等差数列，公差为兮 (2)(1)知， ,=2+3n-1) +1×(100-1)=35, 1=2+ x100 x10m=35 例3：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时， 每增加1km,乘客需要支付1.2元 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2,表示4kmm处的车费，公差d=1.2, 那么当出租车行至14km处时，n=11, 此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元)： 即需要支付车费23.2元. 对点训练3：l1设经过n次考试后该学生的成绩为a, 则，=5n+69,由5n+69≥120，得n≥}=10，所以至 5 少要经过11次考试 例4：D由恩应知48d0都得号<d3,放选D 课堂检测固双基 1.A:am=2n+5,∴.a4-1=2n+3(n≥2)， .am-am-1=2n+5-2n-3=2(n≥2)， ∴.数列{a,}是公差为2的等差数列 2.B设这个等差数列为am}, 其中a1=-3,d=4,.a5=a1+14d=-3+4×14=53. 3.Ca1=1,d=-1-1=-2,.am=1+(n-1)·(-2)= -2n+3, 由-89=-2n+3,得n=46. 4.13设公差为d,由题意得2a+d=a+3d, La1+9d=11, 解得a2, {d=1.a,=a+(n-1)d,ap=2+11=13. 第2课时等差数列的性质及应用 必备知识探新知 知识点一 (1)等间隔的点公差d(2)等间隔的点斜率递增数 列递减数列常数列