1.1.2 数列的函数特性-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦数列的函数特性核心知识点，系统构建从数列作为正整数集（或其子集）上的函数概念，到数列图象绘制，再到利用图象、通项公式判断增减性及求最大最小项的学习支架，形成完整知识脉络。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础训练夯实概念，三大题型（判断增减性、应用及最大最小项）结合思维建模提炼方法，如作差法推理数列增减性培养数学思维，图象分析发展几何直观（数学眼光），课中助力分层教学，课后训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2　数列的函数特性 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解数列可视作定义在正整数集（或其子集）上的函数概念，会画数列的图象. 2.会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性，会求数列的最大、最小项. 1.数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此可以用图象（平面直角坐标系内的一串点）来表示数列，图象中每个点的坐标为（n，an），n=1，2，3，…这个图象也称为数列的图象. 2.数列的增减性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即>an，那么这个数列叫作递增数列 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即<an，那么这个数列叫作递减数列 常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列 基础落实训练 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列. （　　） （2）数列是特殊的函数，因此其图象是连续不断的曲线. （　　） （3）可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性. （　　） 答案：（1）×　（2）×　（3）√ 2.已知数列{an}满足-an-3=0，则数列{an}是 （　　） A.递增数列　　　　　　　 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 解析：选A　由条件得-an=3>0，可知>an，所以数列{an}是递增数列. 3.[多选]下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 （　　） A. 1，，，，…，，… B.sinπ，sinπ，sinπ，…，sinπ，… C.-1，-，-，-，…，-，… D.1，，，…，，… 答案：CD 4.已知数列{an}满足an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项为 （　　） A.5 B.11 C.10或11 D.36 解析：选D　∵an=-n2+10n+11=-（n-5）2+36，∴当n=5时，an取得最大值36. 题型（一）　判断数列的增减性 [例1]　写出数列1，，，，…的一个通项公式，并判断它的增减性. 解：数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为an=， 由an+1-an=- = =<0， 所以an+1<an， 所以{an}是递减数列. 　　|思|维|建|模|　解决数列的增减性问题的方法 作差法 根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列 作商法 根据（an>0或an<0）与1的大小关系进行判断 图象法 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性 　　[针对训练] 1.[多选]下列数列{an}（n∈N+）是递增数列的为 （　　） A.an=　　　　　　　 B.an=n2+n C.an=1-2n D.an=2n+1 解析：选BD　对于A，因为an+1-an=-=-<0，所以是递减数列；对于B，因为an+1-an=[（n+1）2+n+1]-（n2+n）=2n+2>0，所以是递增数列；对于C，因为an+1-an=[1-2（n+1）]-（1-2n）=-2<0，所以是递减数列； 对于D，因为an+1-an=（2n+1+1）-（2n+1）=2n>0，所以是递增数列.故选BD. 2.已知数列{an}的通项公式为an=，画出它的图象，并判断增减性. 解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的. 题型（二）　数列增减性的应用 [例2]　已知函数f（x）=若数列{an}满足an=f（n）（n∈N+）且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 （　　） A. B. C.（2，3） D.[2，3） 解析：选C　由函数f（x）=数列{f（n）}是递增数列，得则解得2<a<3，所以实数a的取值范围是（2，3）. |思|维|建|模| 　　解决根据数列的增减性确定变量的取值范围问题，常利用以下等价关系： 数列{an}递增⇔an+1>an（n∈N+）； 数列{an}递减⇔an+1<an（n∈N+）. 转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构造有关变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围. 　　[针对训练] 3.已知数列是递减数列，则λ的取值范围为 （　　） A.（0，+∞）　　　　　　　 B.（1，+∞） C.[1，+∞） D.[0，+∞） 解析：选A　由数列是递减数列，故>，即2n+2λ>n+1+λ，λ>1-n，且n∈N+，故λ>0. 4.数列{an}的通项公式为an=n·3n+（2n+1）λ，若为递增数列，则λ的取值范围为 （　　）A. B. C.（0，+∞） D.[0，+∞） 解析：选A　因为{an}为递增数列，所以an+1>an，所以（n+1）·3n+1+（2n+3）λ>n·3n+（2n+1）λ，化简可得λ>-.令bn=-，因为y=2x+3，y=3x在（0，+∞）上单调递增，且恒大于0，则f（x）=-在（0，+∞）上单调递减，所以数列{bn}是递减数列，因为n∈N+，所以当n=1时，=-，所以λ>-. 题型（三）　数列中的最大、最小项 [例3]　已知数列{an}的通项公式是an=（n+1）·，n∈N+.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解：法一　an+1-an=（n+2）-（n+1）·=， 当n<9时，an+1-an>0，即an+1>an； 当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>9时，an+1-an<0，即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10，且a10>a11>a12>…，故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×. 法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N+，则n=9或n=10. 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×. 　　[变式拓展] 　若本例通项公式“an=（n+1）”变为“an=”如何求解. 解：有最大项.a1=，a2==1，a3==，a4==1，a5==，…. ∵当n≥3时，=×==<1， ∴an+1<an，即n≥3时，{an}是递减数列. 又∵a1<a2<a3，∴an≤a3=. ∴当n=3时，a3=为这个数列的最大项. 　　|思|维|建|模| 求数列最大、最小项的方法 （1）函数的单调性法：令an=f（n），通过研究f（n）的单调性来研究最大（小）项. （2）不等式组法：先假设有最大（小）项.不妨设an最大，则满足（n≥2），解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；设an最小，则满足（n≥2），解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值. 　　[针对训练] 5.已知数列{an}的通项公式为an=若a7是{an}中唯一的最小项，则实数a的取值范围是 （　　） A.（14，16）　 B.（15，16） C.[15，16）　 D.（14，16] 解析：选B　当n≤5时，an=，令an+1-an<0，得-=<0，解得n≤2或n≥4，因此可知a1>a2>a3，a4>a5.又当n=1，2，3时，an<0，当n=4，5时，an>0，所以{an}在n=3时取最小值a3=-7.当n≥6时，an=n2-（a-1）n，该代数式对应函数图象的对称轴为直线n=，因为a7是{an}中唯一的最小项，所以<<，且a7=8-a<-7，解得14<a<16，且a>15，即15<a<16. 学科网（北京）股份有限公司 $