1.4 数列在日常经济生活中的应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

044 课堂检测固双基 1.等比数列{an}的公比为g,前n项和为Sn,设3.已知数列{an}为等差数列，且2,2,2成等比 甲：9>0，乙：{Sn}是递增数列，则 () 数列，则{an}前6项的和为 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 A.15 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 号 C.甲是乙的充要条件 C.6 D.3 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.已知x)=x+2x+3x+…+心，则2) 2.若等差数列{an}的首项为1，公差为1，等比数 列{bn}的首项为-1，公比为-2，则数列{an+ bn}的前8项和为 夯基提能作业 A.-49 B.-219 C.121 D.291 请同学们认真完成练案[10] §4 数列在日常经济生活中的应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握单利、复利的概念 1.通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分 2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等 期付款等概念的学习，培养数学抽象素养 三种模型及应用. 2.借助数列的应用，培养数学建模素养 必备知识探新知 知识点一 银行存款计息方式 (1)单利：单利的计算是仅在 上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公 式为 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金，代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（简称本利和），则有 S= (2)复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前 产生的 利息也计算利息的计息方法，复利的计算公式是 想一想： 复利与单利的区别是什么？ 045 练一练： 某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为%，9%，则这两年的平均增长率是() A.p%+9% B.p%·g% C.√(1+p%)(1+q%) D.√/(1+p%)(1+g%)-1 知识点二三种常见的应用模型 (1)零存整取模型：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部 这是整取.规定每次存人的钱不计复利，若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期 为n个月，那么到期整取时本利和为y= 元 (2)定期自动转存模型：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和， 则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.若储户存入定期为1年的P元存 款，定期年利率为r,连存n年后，那么储户所得本利和为Q= (3)分期付款模型：分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同，每月利 息按 计算，各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买 到最后一次付款的利息和 练一练： 思考辨析（正确的画“V√”，错误的画“×”）》 (1)零存整取储蓄的数学模型是等差模型。 ) (2)定期自动转存储蓄的数学模型是等比模型。 (3)在分期付款中，各期所付款额及各期所付款额生成的利息之和等于商品的售价 (4)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一单利与等差数列模型 例王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储 蓄”存款的月利率是0.36%. (1)若每月存500元，则3年后，能一次支取本息多少元？ (2)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少 规律方法： 1.本题实际上是一个 元？（精确到1元） “零存整取”问题， [分析]“零存整取”是单利计息方式，解答关键是理解所有的利息和为等 解答的关健是理解所 差数列求和问题 求的本息为等差裁列 的求和问题 2.等差数列在日常经 济生活中的应用最基 本的模型是“零存整 取“，即利息按单利 计算 P[规律方法] 046 》对点训练1 某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和 利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？ 题型二复利与等比数列模型 例2某大学教授年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利息为 10%,按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要 分10次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归 还，问每年应还多少万元？（参考数据1.10≈2.594） [分析]“定期自动转存”是复利计息方式，是等比数列模型，在计算本 息和时应分清首项（本金）与公比(1与利率和)： 规律方法： 复利是指一笔资金除 [规律方法] 本金产生利息外，在 下一个计息周期内， 】对点训练2 以前各计息周期内产 一对夫妇为了给他们的独生孩子储备将来上大学的费用，从孩子一出生生的利，息也计算利息 起就在孩子每年生日这一天到银行存元一年定期，若年利率为r保持不变，的计息方法.复利的 且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时计算公式是S=P(1+ (18岁的生日不再存入)将所有存款（含利息）全部取出，请你为这对夫妇算). 一算，能取回的钱的总数是多少？ ●047 题型三分期付款模型 例3.小陆向银行贷款买房，他准备向银行贷款100万元，20年还清，偿还贷 款的方式为：分20次等额归还，每年还一次，若20年期贷款的年利率 为6%，且年利息均按复利计算，那么小陆每年应还多少元？（计算结 果精确到1元).（参考数据：1.0619≈3.0256,1.0620≈3.2071,1.0621 ≈3.3996) 规律方法： 分期付款中的有关计 算方法既是重点，又 是难点，突破难点的 关键在于： (1)准确计算出在贷 款全部付清时，各期 所付款额的增值. (注：最后一次付款没 有利息) (2)明确各期所付的 款额连同到最后一次 [规律方法] 付款时所生的利息之 】对点训练3 和，等于商品售价及 从购买到最后一次付 小王在2018年初向建行贷款50万元用于购房，银行贷款的年利率为 款时的利息之和 4%,按复利计算，要求从贷款开始到2027年底分10年还清，每年年底等额归 (3)等额本息还款法 还且每年1次，每年至少要还多少钱（保留两位小数）？（提示：(1+4%）10≈ 是每期所付的金额相 1.48) 同，每期所付金额及 产生的利息和成等北 裁列；等额本金还款 法是每期所付金额为 每期应还本金与所久 款额的利息，每期所 付金额成等差裁列. 048。 ●易错警示 弄错数列项数致误 例4根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量S.(万件)近似 地满足5，=g021n-n-5)(n=1,2…,12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万的 月份是 () A.5月6月 B.6月、7月 C.7月8月 D.8月、9月 [误区警示]将实际问题转化为数列问题时，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审 题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间（如月份）之间的对应关系，尤其是首项1代表的实际 含义一定要弄清楚. [正解] [点评]本题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识，解答时充分体会二次不等式在 解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用 课堂检测【 固双基 1.现存入银行10000元钱，年利率是3.60%，那： A.10a(1.18-1)万亩B.a(1.18-1)万亩 么按照复利，第5年末的本利和是（) C.10a(1.17-1)万亩D.a(1.17-1)万亩 A.10000×1.036 B.10000×1.0364 4.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元. C.10000×1.036 D.10000×1.036 小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起 2.某工厂总产值月平均增长率为P,则年平均增 来，每月初存入银行a元，存期1年（存12 长率为 次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整 A.p B.12p 取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么， C.(1+p)2 D.(1+p)2-1 小王存款到期利息为 元 3.某地为了保护水土资源实行退耕还林，如果 2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加 夯基提能作业 10%,那么到2025年一共退耕 () 请同学们认真完成练案[11]1-2" 1-2+n2°=(n-1)·2”+1. 对点训练3：(1)由S,= 7×(a+a）=7a4=49,得a=7, 2 因为a1=6,所以d=1,所以a1=4,am=n+3. (2)bn=(am-3)·3"=n·3", 所以Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3".① 3Tm=1×32+2×33+3×3+…+n×3m+1…② 由①-②得：-2Tn=3+32+33+…+3"-n×3"+1= 3-3m+1 1-3-nx3*1 所以T,=(2n-1)×3+3 4 例4：Sn=1+a+a2+…+a-1 当a=1时，Sn=1+1+…+1=n;当a≠1且a≠0时，Sm= 1-a"a"-1 1-a-a-1 rn (a=1), 当a=0时满足上式..Sn={a”-1 la-i(a≠1). 课堂检测固双基 1.B由题，当数列为-2，-4，-8，…时，满足g>0,但是Sn} 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件. 若{S}是递增数列，则必有a.>0成立，若q>0不成立，则会 出现一正一负的情况，是矛盾的，则g>0成立，所以甲是乙的 必要条件.故选B. 2.C因为等差数列{an}的首项为1，公差为1，等比数列{bn}的 首项为-1，公比为-2，记等差数列{a.}的前n项和为S.,等 比数列{bn}的前n项和为Tn,则数列{a.+bn}的前8项和为 S+I=8x1+8×(8-山×1+=1x[1-(-2)1-121. 2 1+2 3.C设数列{an}为公差为d的等差数列， 且2,2,26成等比数列， 可得4=21·26=241+6，可得a1+a6=2, 即有a,前6项的和为2×6(a,+as)=6, 所以宁分=京+2+3x+…+m×② 由①-②得， 22)* 1 1.1 安+2+…+ 1 22"+ 1、1 220， 所以2）=22点是=2“是 2 §4数列在日常经济生活中的应用 必备知识探新知 知识点一 (1)原有本金P(1+m)(2)各计息周期内S=P(1+r) 想一想： (1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了 本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息 (2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即 单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列。 练一练： D设该工厂最初的产值为1，这两年的平均增长率为1，则 (1+p%)(1+g%)=(1+r)2. 于是r=/(1+p%)(1+g%)-1. 16 知识点二 (4)本利和x+nn1)”x(2)P(1+r)(3)复利 2 练一练： (1)V(2)V(3)×(4)V 关键能力攻重难 例1：(1)每月存500元，3年后的利息为500(36×0.36%+ 35×0.36%+…+2×0.36%+1×0.36%)=1198.8≈1199 元，所以3年后的本息和为500×36+1199=19199元. (2)设王先生每月存入x元，则有 36+3637×0.36%）=2000, 2 x≈521元， 故王先生每月大约存521元. 对点训练1：实际取出的钱等于：本金+利息 到12月最后一天取款时： 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+ 100×2×0.165%+100×1×0.165% =100×0.165%(1+2+3+·+12) =100×0.165%×12×13 =12.87. 所以实际取出100×12+12.87=1212.87（元）. 例2：方法一：设每年还款x万元，需10年还清，那么每年还 款情况如下： 第10年还款x万元，这次还款后欠款全部还清： 第9年还款x万元，过一年欠款全部还清时，所付款连同利 息之和为x(1+10%)万元； 第8年还款x万元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利 息之和为x(1+10%)2万元； 。。。。。 第1年还款x万元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利 息之和为x(1+10%)9万元 依题意得： x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20(1 +10%)10, 解得x-20×1.1°×0.1≈3.25（万元. 1.10-1 即每年应还3.255万元. 方法二：第1次还款x万元之后还欠银行 20(1+10%)-x=20×1.1-x. 第2次还款x万元后还欠银行[20(1+10%)-x](1+ 10%)-x=20×1.12-1.1x-x. 第10次还款x万元后，还欠银行 20×1.1l0-1.1x-1.18x-…-x, 依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得 20×1.10-(1.19+1.18+1…+1)x=0, 解得x20×1,×01≈3.255（万元）， 1.110-1 即每年应还3.255万元 对点训练2：出生时的a元到18岁本利和为a(1+r)8元；1 岁生日时的a元到18岁本利和为a(1+r)”元，…，17岁生日 时的a元到18岁本利和为a(1+r)元，由此可知存款到18岁时 取回的钱的总数为 a(1+r)8+a(1+r)7+…+a(1+r）=g[(1+r)9-(1 0 +)](元) 即能取回的钱的总数是“[(1+r)°-(1+r)]元 例3：设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付 清时的价值为x(1+6%);第2次偿还的x元，在贷款全部付 清时的价值为x(1+6%)8;…;第19次偿还的x元，在贷款 全部付清时的价值为x(1+6%),第20次偿还的x元，在贷款全 部付清时的价值为x元，于是还款的本利和为 x(1+6%)9+x(1+6%)18+…+x(1+6%)+x= 1s220 0.06x 又银行贷款20年的本利和为10°(1+6%)”≈3.2071× 106元， 所以2.2071 0.06t=3.2071×105, 解得x-006×32071×10≈87185（元） 2.2071 答：每年需还款87185元. 对点训练3：方法一：设每年还x万元， 第n年年底欠款为an,则 2018年底：a1=50(1+4%)-x, 2019年底：a2=a1(1+4%）-x =50(1+4%)2-(1+4%)·x-x, 2027年底：a10=ag(1+4%)-x =50×(1+4%)10-(1+4%)9·x-…-(1+4%）·x-x =0x1+)加-号-0 解得x=50×1+4%)T1-（+4%)1=6.17. 1-(1+4%)10 即每年至少要还6.17万元. 方法二：50万元10年产生本息和与每年存人x万元的本息 和相等， 故有购房款50万元10年的本息和：50(1+4%)10 每年存人x万元的本息和：x·(1+4%)9+x(1+4%)8 +…+x=-(1+4%)0 1-(1+4%)·x 从面有501“上 解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元. 例4：cs=g0(21n--5). s=021(n-1-(a-12-5到 90(-n2+23n-27), a,=-51=0(21n-2-5)-"0(-+23n 27) =0(-2+15a-9), 0(-2+15n-9)>15, 解得6<n<9,故选C. 课堂检测固双基 1.C按复利计息，第5年末的本利和是10000(1+3.60%)5= 10000×1.036,故选C. 2.D设原有总产值为a,年平均增长率为r, 则a(1+p)=a(1+r), 解得r=(1+p)2-1. 3.A记2018年为第一年，第n年退耕a.万亩，则数列{a,}为 等比数列，且a1=a,公比q=1+10%,则问题转化为求数列 a}的前8项和，所以数列1a,}的前8项和为1-9)。 1-9 a(1-1.12=10a(1.18-1) 1-1.1 所以到2025年一共退耕10a(1.18-1)万亩. 4.78am由题意知，小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+… +2ar+am=12(12+1Da=78m 2 *§5数学归纳法 必备知识探新知 知识点 (1)no (2)n=k(kEN.,kzno)n=k+1 想一想： 1.不一定，如证明“凸n边形对角线的条数f代n)= n(n-3》"时，第一步应验证n=3是否成立。 2 2.不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、 放缩法等各种证明方法 练一练： 1.D显然当n=1时，2>12，而当n=2时，22=22，A错 误；当n=3时，23<32，B错误；当n=4时，24=42，C错误；当n =5时，2>52，符合要求，D正确. 2.(2k+1)+(2k+2)假设当n=k时，1+2+3+·+2k 21+22,当n=k+1时，左边=1+2+3+…+2k+2k+1 +2k+2,显然是在n=k的基础上加上(2k+1)+(2k+2 关键能力攻重难 例1：证明：①当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4， 左边=右边，等式成立. ②假设当n=k(keN,)时等式成立，即1×4+2×7+3× 10+…+k(3k+1)=k(k+1)2, 那么当n=k+1时， 1×4+2×7+3×10+.+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1] =k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)(2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k+I时等式也成立. 根据①和②可知等式对任何n∈N,都成立. 对点训练1：证明：①当n=1时，无边=女写号，右边 兴号=宁左边=右边，等式成立 ②假设当n=k(keN)时等式成立，即有X3+3x5+“ 12 22 k2 k(k+1) +(2k-1)(2k+1)=2(2k+1) 则当n=k+1时， 1222 2 (k+1)2 1x3+3x5+…+(2h-1)(2k+1+(2k+1)(2k+3 224++2+2+=t2 k(k+1) (k+1)2 2(2k+3) 即当n=k+1时等式成立. 由①②可得，对于任意的neN等式都成立 例2：①当0=2时，1+分=子<2-分-子，命题成立 ②假设=6时合题成立即1+空+京+…+<2名 1 1 1 当n=k+1时，1+2+2+…+2+(k+1)2 1 1