第1章 数列 章末整合提升-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

054 A.增加2(k+1）一项 4已知)=1+分+行++（aeN.计 增加z太+2两项 1 算得2)=4)>28)>16)>3， C增加十2两项时时减 一项 2)>7,由此推测，当>2时，有 k+1 D.以上结论都不正确 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 章末整合提升 知识体系构建 递增数列 定义 性质 递减数列 以前后两项的大 小关系为分类标准 通项公式应用 摆动数列 等差数列 等差中项 常数列 等差数列 质 分类 的前n项和应 有穷数列 以项数为 无穷数列 分类标准 列 通项公式 列表法 定义 性质 解析法 递推公式 表示方法 通项公式应用 图象法 等比数列 等比中项 等比数列 性质 数学归纳法 的前n项和应用 要点专项突破 要点一求数列的通项公式 规律方法： 例1.（1)已知数列1a.满足1=3a.+4a,=1,则a. 裁列通项公式的求法 (1)定义法，直接利用等差裁列或 (2)已知a1+2a2+2a+…+2-lan=9-6n,则数列{an} 等比裁列的定义求通项公式的，这 的通项公式是 种方法适用已知数列类型的题目. (3)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和是Sn,且 (2)已知Sn求an,若已知数列的前 n项和Sn（或其与an的关系)，求 a2+a5=12,S=25. 数列{an}的通项an可以用公式 ①求数列{an}的通项公式； ②数列{bn}满足：b1=2,bn=b.-1+2(n≥2)，求数列bn} -2 的通项公式， (3)累加或累乘法，形如an-an- =f八n)(n≥2)的递推式，可用累加 法求通项公式；形如=f代(n)(n an-1 ≥2)的递推式，可用累乘法求通项 公式. (4)构造法，形如an1=Aan+b可 构造an+n}为等比数列，再求通 ·[规律方法] 项公式 055 要点二等差、等比数列的判断与证明 规律方法： 例2记为数到a的前：项和A为数列S的前a项积.已知号 等差、等比裁列的判断与证 +明方法 2 (1)定义法：an1-an=d(常 6 数)曰a}是等差教列；0山 (1)证明：数列{bn}是等差数列； a (2)求{an}的通项公式. =q(g为常裁，9≠0)台an} 是等比裁列； (2)中项公式法：2am1=a。 +an+2台an}是等差数列； ai+l=an·an+2(an≠0)台 {an}是等比裁列； (3)通项公式法：an=kn+ b(k,b是常裁)曰{an}是等 差数列；an=c·g(c,9为非 零常数)曰an}是等比裁列； (4)前n项和公式法：Sn= P[规律方法] An2+Bn(A,B为常裁，n∈ 要点三等差、等比数列的运算 N)曰{an}是等差数列；S 例套列Q中风为其前暖和-15.=5 =Ag-A(A,q为常数，且 (） A≠0,9≠0,9≠1，n∈N)曰 {an}是等比裁列. A.d=-2 B.d6=-an [提醒]①前两种方法是 判定等差、等比数列的常用 C.Sn的最大值为S, 方法，而后两种方法常用于 D.使得Sn≥0成立的最大整数n=16 选择、填空题中的判定，②若 (2)在等比数列{an}中，a1=1,a4=8,则{an}的公比为，{an} 要判定一个数列不是等差 的前6项和为。 (比)数列，则只需判定其任 (3)在等差数列{an}中，a2+a=-23,S1o=-145. 意的连续三项不成等差 ①求数列{an}的通项公式； (比)即可. ②若数列{an+bn}是首项为1，公比为a的等比数列，求{bn}的 前n项和Sn. 规律方法： 等差与等比数列的基本量计 算方法 在等差（或等比）数列中，首 项a1与公差d(或公比q)是 两个基本量，一般的等差（或 等比)裁列的计算问题，都可 以设出这两个量求解.在等 差裁列中的五个量a,d,n, an,Sn或等比数列中的五个 P[规律方法] 量a1,9,n,an,Sn中，可通过 列方程组的方法，知三求二. 在利用Sn求an时，要注意 验证n=1是否成立. 056 例四 数列求和 4.已知数列{an}满足a3= a 6,0+1=20,+1 (1)求证：数列日}是等差数列，并求数列a,的通项公式： 规律方法： (2)若 ,求数列{bn}的前n项和T. 数列求和时，根据裁 列通项公式特征选择 (在0a.=A.a②6，=。，③%，=士+（兮}三个条件巾选择-个 求和法，尤其是涉及 a。 等比裁列求和时要注 补充在第(2)问中，并对其求解) 意公比q对Sn的影 响一般常见的求和 方法有： (1)公式法：利用等差 裁列或等比数列前几 项和公式； (2)分组求和法：把一 个裁列分成几个可以 直接求和的数列； (3)裂项相消法：有时 把一个数列的通项公 5.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn,数列{bn}是首项为1的等比数列， 式分成两项差的形 式，相加过程消去中 4b2-b3=4,b4=a4+4a1,2S1s=15b5 间项，只剩有限项再 (1)求{an}和{bn}的通项公式； 求和； (2)求数列{anb2m+1}的前n项和. (4)锆位相成法：适用 于一个等差裁列和 个等比数列对应项相 乘构成的裁列求和； (5)并项求和法：一个 裁列的前n项和中，可 两两结合求解，则称 之为并项求和.形如 an=(-1)"f(n)类 型，可采用两项合并 求解 [规律方法] 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）中命题成立 由①②知原不等式在n≥2时均成立. 对点训练2：①当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右边， 不等式成立. ②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即1+ 万+…+<2，E 则当n=k+1时， 1+11 1 十…+ 十 1<2k+ k+1 √k+1 =2派k++1<(瓜2+(+团？+1 k+1 k+1 =2k+业=2作+1 √k+I 所以当n=k+1时，不等式成立. 由①②可知，原不等式对任意neN*都成立. 例3：证明：①当n=1时，n3+5n=6,显然能够被6整除，命 题成立， ②假设当n=k时，命题成立，即n3+5n=k3+5k能够被6 整除， 当n=k+1时，n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k +1+5k+5=(k+5k)+3k(k+1)+6. 由假设知：k+5k能够被6整除， 而k(k+1)为偶数，故3k(k+1)能够被6整除， 故(k+1)3+5(k+1)=(k+5k)+3k(k+1)+6能够被6 整除， 即当n=k+1时，命题成立， 由①②可知，命题对一切正整数成立， 即n+5n(neN.)能够被6整除. 对点训练3：证明：①当n=1时，f代1)=34-8-9=64能被 64整除 ②假设当n=k(k≥1，keN,)时，f(k)=32+2-8k-9能被 64整除，则当n=k+1时，fk+1)=32(k+)+2-8(k+1)-9=9 ×324+2-8k-17=9×(324*2-8k-9)+64k+64. 故f(k+1)也能被64整除. 综合①②，知当neN,时f(n)=32+2-8n-9能被64整除 例4：（曲2-风得5-02 8,由S.可求得a1 =2,a2=6,a3=10,由此猜想{an}的通项公式am=4n-2, nEN", (2)①当n=1时，a1=2,等式成立； ②假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即a=4k-2, 41=S1-S=（a1+2)2_(@4+2) 8 8 .（akl+ae)(ak+1-a:-4)=0. 又ak+1+a≠0，.ak+1-ak-4=0, a+1=ak+4=4k-2+4=4(k+1)-2, 当n=k+1时，等式也成立. 由①②可知，an=4n-2对任何n∈N*都成立. 对点训练4：(1)依题设可得，当n=1时，S=a1· 即a1=S,=1-a,即a1=2, 1 由8=1-a,分别求得a, 1 1 6,a=12a4=20, 11 11 故a=2=1×24=62x3 11 11 a=12=3×4a4=20=4×5 1 1 (2)猜想：a.=n(n+1) 证明如下：①当n=1时，猜想显然成立. ②假设当n=k(keN)时，猜想成立， 1 即a:=k(k+1) 当n=k+1时，Sk+1=1-(k+I)ak+1, S+ak1=1-(k+1)ak1. 又s=1-a=在所以z4+aa1=1-(+1a 从而a1=(k+1)(k+2） 1 =(k+1)[(k+1)+1丁 即n=k+1时，猜想也成立.由①②可知，猜想成立. 例5：①当n=3时，左边=2+22=6，右边=2(2-1)=6， 等式成立： ②假设n=k时，结论成立，即2+2+…+2-1 =2(2-1-1), 那么n=k+1时，2+22+…+2-1+2=2(2-1-1)+2= 2·2*-2=2(2-1)=2[2k+1)-1-1]. 所以当n=k+1时，等式也成立. 由①②可知，等式对任意n>2,n∈N都成立. 课堂检测固双基 1.C根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故no的值应为3. 2.B本题证明了当n=1,3,5,7,…时，命题成立，即命题对一 切正奇数成立 1 1 3.C当n=k时，左边=++十2++k+k 1 当n=k+1时，左边=k+2++3+…+ (k+1)+(k-D+(k+I)）+h+(k+1)+(k+)故不等式 左边的变化是增加十和水十2两项，同时减少+ 一项 4.f2")>n+2 2 自变量的取值依次为2,4=22,8=23,16=24 32=2,…,故为2.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6,7， ,故右边为”生是，即2)>“生号 章末整合提升 要点专项突破 例1：(1)3“-2根据题意，知数列a,}满足aa+1=3a.+4, 变形可得a+1+2=3加.+6=3(a.+2),即1+2 +2=3,又 a1=1,则a1+2=3,故{an+2是首项为3，公比为3的等比数 列，则有am+2=3×3”-=3,故an=3”-2. r3,n=1, (2)am= {23n≥2令8=a+2a,+2%+…+2a, 3 则Sn=9-6n,当n=1时，a1=S1=3;当n≥2时，2-1·an =5-S-1=-6,所以a.=2- 3 r3,n=1, 所以通项公式a.= 3 2-2,n≥2. (3)①抽a2+a5=12,S=25,得 2a+5d2解得， 15a1+10d=25, d=2, 所以am=1+2×(n-1)=2n-1. ②当n≥2时，bn=bn-1+2n, 则bn-b,-1=22-1(n≥2)，又b1=2, 所以bn=b+(b2-b)+(63-b2）+…+(bn-bn-1) 2+2+29*+22142-号4-0. 6=2适合上式，所以6，=号(4-1) 例2（明：已号安2祥8=且么0， 6≠分，取n=1,由S=4,得4=多 3 由于bn为数列{Sn}的前n项积， 2 2bn-1-6, 2b12b2 2b.+l 所以2b-‘26。-…26=61… 26n+1 bn+1 所以2b.-6 由于bn+1≠0， 所以z子公即-4，=分其中neN， 所以数列6，是以6=弓为首项，以d=分为公差的等差 数列. (2)由(1)可得，数列么是以4=子为首项，以d=之为 公差的等差数列， 6=号+a-10×宁=1+分 .3 2b_2+n S,=2b.-1-1+n 当n=1时，a=S=2, 3 2+n_1+n= 当n≥2时，a,=S。-S-1=+nn n(n+1显然对于n=1不成立， 2n-1, .a= 1 (n(n+1)n≥2 例3：(1)ABD设等差数列{an}的公差为d,由S=S1,得 5a1+10d=11a1+55d,即6a1+45d=0,又a1=15,所以d=-2, 选项A正确；所以am=15-2(n-1)=-2n+17,则a6=5,a11= -22+17=-5,满足a6=-a1,选项B正确；令an>0,得-2n +17>0,又neN,解得n≤8，故Sn的最大值为Sg,选项C错 误5，=15n+nm)D×(-2)=-n2+16m,令S.≥0，得-n(n 2 -16)≥0，解得1≤n≤16(n∈N,),所以使得S,≥0的最大整数 n=16,选项D正确. (2)263因为在等比数列{an}中，a1=1,a4=8, 所以g==8,解得公比g=2, a 所以a,的前6项和S。=1×,2)=6. 1-2 (3)①设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由a2+a,= -23,S10=-145, 2a1+7d=-23, +0三-1s日 得 2 所以an=-1-3(n-1)=-3n+2. ②因为数列am+bn}是首项为1，公比为a的等比数列，所 以am+bn=a”-1,则bn=a”-1+3n-2, 16 所以Sn=b1+b2+…+bn =(a°+a+…+a"-1)+3(1+2+…+n)-2n. 若a=1,则a°+a+…+a“-1=n; 若a≠1，则a°+a+…+a"-1 1-a" =1-a 又3(1+2+…+nm）-2n=3.n(n,+D-2n=3n-n 2 2 3n2+,a=1, 2 所以Sn= 1-a",3n2-n 1-a 2 ,a≠1. 例4：(1)证明：由a12a+1,可得，一=+2 1 1 1 由a=6,可得a=4a=2, 则数列仁是首项和公差都为2的等差数列， a. 所以1=2+2(n-1)=2m, a, 则数列a,的通项公式为a,=2元 1 206=an日）则， 1 (-合+分-方**女) n 4n+4 选2,6=-D=（-1）2m, an 当n为偶数时Tn=(-2+4)+(-6+8)+…+(-2n+2 +2m)=2·7=m 当n为奇数时，Tn=Tn-1+bn=n-1-2n=-n-1, 不-为南年数 选3女+（分产=2+（付 /1 则工.=(2+4++2m)+(+87+…+g)】 =2n(2+2n)+ 1 1 1-9 =n+n2+88x9 1 例5：(1)设等差数列{a.}的公差为d,等比数列{bn}的公 比为9， 由已知4b2-b3=4,得b1(4g-g2)=4,而b1=1,则g2-4g +4=0,解得9=2， 所以bn=2"-1; 由b4=a4+4a1,得5a1+3d=8, 由2S15=15b5,得a1+7d=8, 联立以上两式解得a1=d=1,则an=1+1×(n-1)=n. 所以an}和{bn}的通项公式分别为a.=n,bn=2"-. (2)设数列anb+1}的前n项和为Tn, 由anb2m+1=n×4",得 Tn=1×4+2×42+3×43+…+n×4", 4T.=1×42+2×43+3×44+…+n×4"+1 所以-3T.=1×4+1×42+1×43+…+1×4"-n×4"+1= 4x4）-nx4,则7.=3n-4+4 1-4 9 3