1.1.1 数列的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学数列的概念这一核心知识点，系统梳理数列的定义、项与表示方法，分类（有穷数列、无穷数列），表示方法（列表法、图象法、通项公式）及与函数的关系，最终落实到根据前几项求通项公式，形成递进式学习支架。 该资料采用“逐点清”模块化设计，通过“多维理解”构建概念，“微点助解”辨析易混点（如{an}与an的区别），“微点练明”和“典例变式”强化应用。体现数学眼光（抽象数列与函数关系）、数学思维（推理通项公式），课中助教师分层教学，课后学生可通过练习查漏补缺。

　 数　列 §1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念[教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解数列的概念和表示方法；能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 2.会由通项公式写出数列的任一项，理解数列是一种特殊函数. 逐点清（一）　数列的概念与分类 [多维理解] 1.数列的概念 定义 按一定次序排列的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项 表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项 2.数列的分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 |微|点|助|解| （1）{an}与an的含义完全不同：{an}表示一个数列，an表示数列的第n项. （2）如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. （3）同一个数在数列中可以重复出现. [微点练明] 1.下列各项表示数列的是 （　　） A.a，b，c，…，x，y，z B.2 020，2 021，2 022，…，2 026 C.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D.a+b，a-b，ab，2a 解析：选B　数列必须由数组成，A、C、D中均不是数. 2.[多选]下列有关数列的说法正确的是 （　　） A.数列{an}中，若a3=3，则从第二项起，各项都不等于3 B.数列-2，0，2与数列2，0，-2是同一个数列 C.数列4，7，3，4的首项为4，末项为4 D.数列中的每一项都与它的序号有关 解析：选CD　常数列中任意两项都是相同的，所以A不正确；数列-2，0，2与2，0，-2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；由数列的定义可知首项为4，末项也为4，故C正确；根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选CD. 3.判断下列说法的正误，并说明理由. （1）{0，1，2，3，4}是有穷数列； （2）所有自然数能构成数列； （3）-3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列. 解：（1）错误.{0，1，2，3，4}是集合，不是数列. （2）正确.如将所有自然数按从小到大的次序排列. （3）错误.当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成. 逐点清（二）　数列的表示方法与通项公式 [多维理解] 1.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图象法、通项公式. 2.数列与函数的关系 数列可以看作定义域为正整数集N+（或其子集）的函数. 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个式子就叫作这个数列的通项公式. |微|点|助|解| （1）已知通项公式an=f（n），那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项. （2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an=（-1）n还可以写成an=（-1的形式等. （3）不是所有数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. [微点练明] 1.已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则该数列的前4项依次为 （　　） A.1，0，1，0 B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 解析：选A　当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0. 2.下列四个数中，是数列{n（n+1）}中的一项的是 （　　） A.380 B.392 C.321 D.232 解析：选A　n=19时，n（n+1）=380. 3.若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的 （　　） A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 解析：选D　因为1=37×0，37=37×1，314=37×2，321=37×3，因此符合题意的一个通项公式为an=37（n-1）.由37（n-1）=398解得n=15，所以398是这个数列的第15项. 4.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，n∈N+. （1）写出数列的前3项； （2）判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 解：（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15. （2）令2n2-n=45， 得2n2-n-45=0， 解得n=5或n=-（舍去）， 故45是数列{an}中的第5项. 令2n2-n=3，得2n2-n-3=0， 解得n=-1或n=， 故3不是数列{an}中的项. 逐点清（三）　根据数列的前几项求通项公式 [典例]　写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）a，b，a，b，…； （2），，，，…； （3）-，，-，，…； （4）0.3，0.33，0.333，0.333 3，…. 解：（1）因为数列的奇数项为a，偶数项为b，因此通项公式可用分段形式来表示， 记为an= 也可记为an=+（-1）n+1，n∈N+. （2）由这个数列的前4项为，，，，其分母都是序号n加上1， 分子都是分母的平方减去1， 故an=，n∈N+. （3）由这个数列的前4项为-，，-，，它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 故an=，n∈N+. （4）因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1-，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an=，n∈N+. 　　[变式拓展] 　若典例（4）变为-3，33，-333，3 333，…，求这个数列的通项公式. 解：因为-3=（-1）1××（10-1），33=（-1）2××（100-1），-333=（-1）3××（1 000-1）， 所以an=，n∈N+. 　　|思|维|建|模| 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等. （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式. （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）n或（-1）n+1处理符号，有时也可用分段形式. （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 　　[针对训练] 　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： （1）1，3，7，15，31，…；（2），，，，，…； （3）-，，-，，-，…； （4）2×3，3×4，4×5，5×6，…. 解：（1）由1=2-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…，可得an=2n-1. （2）由=，=，=，=，=，…，可得an=. （3）由-，，-，，-，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an=（-1）n×. （4）由2×3=（1+1）×（1+2），3×4=（2+1）×（2+2），4×5=（3+1）×（3+2），5×6=（4+1）×（4+2），…，可得an=（n+1）（n+2）. 学科网（北京）股份有限公司 $