专题07 期中真题百练通关（八大易错考点）（期中专项训练）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题06 期中真题百练通关（八大易错考点） 题型一 菱形最值问题 题型二 矩形旋转问题 题型三 中点四边形问题 题型四 一元二次方程概念理解 题型五 配方法解一元二次方程 题型六 根与系数的关系 题型七 相似三角形判定与性质应用 题型八 等腰、直角三角形相似的多解问题 题型一 菱形最值问题（共13小题） 1．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A．2 B．2 C． D．4 2．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 3．（24-25九年级上·四川雅安·期中）如图，菱形中，，，，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在菱形中，，连接，点M 为线段上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段上，且 则 的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，边长为4 的菱形的对角线、相交于点O， ，P 为线段上的一动点，连接，将线段 绕点B 逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 10．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是 cm．    11．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 13．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）四边形是菱形，，点E是边上一点，连接，． (1)如图1，若菱形边长为6，当时，求线段的长； (2)线段绕点D逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点G是中点，连接．求证：； (3)如图3，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，点E在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 题型二 矩形旋转问题（共5小题） 14．（24-25九年级上·北京·期中）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·全国·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 17．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点．    (1)求证：； (2)连接交于，已知，，求的长． 18．（24-25九年级上·广东广州·期中）小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、． (1)如图①，当点落在边上时，求的长； (2)如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长． (3)记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围． 题型三 中点四边形问题（共6小题） 19．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 20．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 21．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 22．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，若四边形是菱形，则四边形的对角线和需要满足的条件是 ． 23．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图,正方形的边长为,顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形,又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形,…．以此类推,则第六个正方形的周长是 ;面积是 ．    24．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 题型四 一元二次方程概念理解（共5小题） 25．（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若是关于x的一元二次方程，则a可以为 ． 27．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 28．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 29．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 题型五 配方法解一元二次方程（共5小题） 30．（24-25九年级上·全国·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程： 33． （24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程： 34．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；  ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 题型六 根与系数的关系（共5小题） 35．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 36．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 37．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，是方程的两根，则 ． 38．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 39．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 题型七 相似三角形判定与性质应用（共6小题） 1．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 2．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【问题呈现】 （1）如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则______； 【拓展提升】 （3）如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点． 求的值； 若，请求出的长． 6．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）点E在矩形的对角线上，于点G，交于点F． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，取的中点M，若，，． ①求的长度； ②求的值； (3)如图3，过的中点O作于点P，延长交于点Q，连接交于点N．若，求证：． 题型八 等腰、直角三角形相似的多解问题（共6小题） 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 5．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 6．（24-25九年级上·全国·期中）（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 一、填空题 1．如图，在矩形中，已知，点F在矩形内部，连接，，E为的中点，连接、、，则的最小值为 ． 二、解答题 2．如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 3．阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 4．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 5．【问题探究】 （1）如图1，菱形的三个顶点E，H，Q分别在矩形的边，，上，，求证：四边形为正方形； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个矩形商业规划地，，，四边形区域为购物中心，进出口E，H，Q分别在，，边上，其中，，，进出口P在矩形内部，现准备对区域进行绿化，根据规划，已知，求绿化区域的面积． 6．如图，在中，，，点D在直线上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． (1)当D在线段上时，若时，则 ． (2)当D在线段上时，求证：． (3)若，直接写出点E到的距离． (4)D在直线上时，直接写出的最小值． 7．如图，在矩形中，，，为对角线，将以为旋转中心，按照逆时针的方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． 【初步探究】 （1）在图1中，连接，，在三角形旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当点落在的延长线上，延长交于点，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点落在的中线的延长线上时，延长交于点，请直接写出的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 专题07期中真题百练通关（八大易错考点） 真题实战：百练通关 题型一菱形最值问题 题型二矩形旋转问题 题型三中点四边形问题 题型四一元二次方程概念理解 题型宝配方法解一元三次方程 题型六根与系数的关系 题型七相似三角形判定与性质应用 题型八等腰、直角三角形相似的多解问题 题型一菱形最值问题（共3小题） 1.(24-25九年级下·安徽合肥期中)如图，菱形ABCD的边长是2，∠ADC=120°，E为与点D不重合 的动点，以DE为边作菱形DEFG,且∠EDG=I20°，连接CF、CG,则△CFG的周长的最小值是() D A.2 B.25 C.√3+2 D.4 【答案】B 【详解】解：连接AC、BD相交于H,连接AE,如图， G D :菱形ABCD, AD-CD.AC I BD ZADH-ADC2 AC-24H. :DH=14D=1x2=1, 2 .AH=√AD2-DH=V3, .AC=2AH=23, :菱形DEFG, :DG=GF=EF=DE, 1/62 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :∠ADE+∠CDE=∠ADC=120°，∠GDC+∠CDE=∠EDG=120°， :∠ADE=∠GDC, .△ADE≌ACDG(SAS), .AE =CG, :.△CFG的周长=CG+GF+CF=AE+EF+CF≥AC=2V5 ·.△CFG的周长的最小值为2√3. 故选：B。 2.(24-25九年级上四川达州期中)如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上 的动点，F是CD边上的动点，且AE=DF,连接EF,则EF的最小值是()Cm, D E B A.3 B.6 C.3V5 D.3V5 【答案】C 【详解】解：连接BD,BE,BF,如图所示： D C :四边形ABCD是菱形， :AB=BC CD=AD, ,∠DAB=60°， :△ABD,△BCD都是等边三角形， :∠A=∠ABD=∠CDB=60°，AB=DB, 在△EAB和△FDB中， AE=DF ∠A=∠FDB, AB=DB 2162 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△EAB≌△FDB(SAS, BE=BF,∠ABE=∠DBF, LEBF=∠ABD=60°， :△EBF是等边三角形， BE EF BF, BE⊥AD时，BE最小， :△ABD为等边三角形， 此时4E=DE=三AD=3cm :BE=VAB2-AE2=62-32=33(cm), .EF的最小值为3v3cm, 故选：C. 3.(24-25九年级上·四川雅安期中)如图，菱形ABCD中，AB=3,∠DAB=60°，AE=1，,点P为对角 线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为() A.2 B.33 2 C. D.22 【答案】C 【详解】解：如图，连接BD,PD,过点D作DR⊥AB于R, 由菱形的对称性可得：PD=PB, ·PB+PE=PD+PE2DE, 当D,P,E三点共线时，PD+PE最短（根据两点之间线段最短）， :菱形ABCD中，AB=3,∠DAB=60°， 3162 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=AD=3,△ABD为等边三角形， AR=BR= DR=aD-AR-5, :AE=1, 1 DE- PE+PB的最小值为：√7： 故选：C. 4.(24-25九年级上四川成都期中)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2,若P为对角 线BD上一动点，则EP+FP的最小值为() A.1 B.3 C.4 D.8 【答案】B 【详解】解：作F点关于BD的对称点F,则FP=FP,DF=DF',连接EF'交BD于点P, ∴EP+FP=EP+F'P, 由两点之间线段最短可知，当E、P、F'在一条直线上时，EP+FP的值最小， 此时EP+FP=EP+FP=EF', :四边形ABCD为菱形，周长为12， :AB=BC=CD=DA=3,AB//CD, AF=2, .DF=3-2=1, ·DF'=1 AE=1, .DF'=AE, 4/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形AEFD是平行四边形， :EF'=AD=3, EP+FP的最小值为3， 故选：B E 5.(24-25九年级上广东佛山期中)如图，在菱形ABCD中，对角线BD=12,AC=16,，点E、F分别 是边AB、BC边上的动点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在EP+FP的最小值，则这个最小值是() D B E A.2.4 B.4.8 C.5 D.9.6 【答案】D 【详解】解：如图所示，在CD上取一点F,使得CF=CF',连接PF',EF',过点D作DH⊥AB于点 H, D F HE B :四边形ABCD是菱形， :点F关于AC的对称点为点F,AC⊥BD, :PF PF', ∴.EP+FP=EP+FP≥EF'≥DH, EP+FP的最小值为DH的长度， 5/62 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 1 设菱形的对角交于点0，则AO=二AC=8,BO=二BD=6, .在RtaA0B中，AB=VA02+B02=V82+62=10, ·S菱形ABCD 24CBD-ABDH, :DH= ACBD_16x12=9.6, 2AB 2×10 故选：D 6.(24-25九年级上·福建漳州期中)如图，菱形ABCD的边长为√6，∠BCD=120°，P,Q分别是 BC,BD上的动点，且CP=DQ,则AP+AQ的最小值为 B 【答案】√2 【详解】解：如图，连接AC,过点C作CT⊥CA,使得CT=AD=1,连接AT, :四边形ABCD是菱形， :AB=CB=CD=AD,∠ABC=∠ADC=609,∠ADB=∠ADC=30°， ·ABC是等边三角形， :∠ACB=60°，AC=AB=1, :AC⊥CT, ∠ECT=30, :∠ADQ=∠PCT, CP=DO,CT=DA, △ADQ≌△TCP(SAS 6/62 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :AO=PT, :.AP+AQ=AP+QT≥AT, :∠ACT=90°，AC=CT=1, AT=AC2+CT2=2, AP+AQ≥2， :AP+AQ的最小值为√2. 故答案为：√2。 7.(24-25九年级上·广东深圳期中)在菱形ABCD中，∠ADC=120,AB=6,连接AC,点M为线段 AC上一动点（不与点A,点C重合），点N在线段BC上，且AM=√5CN则DM+√3DN的最小值 为」 M B 【答案】12 【详解】连接BD交AC于点O,以AC为边在AC下面作等边△ACE,连接BE,ME, 则∠ACE=60°，AC=CE=AE, :,点E在AC垂直平分线上， :菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， 点E、B、D共线， :∠ADC=120°，AD∥BC, ∠DCB=180°-∠ADC=60°， .CB=CD, :△BCD是等边三角形， BD=CD,∠DBC=60°， ∠DBN=∠ECM=60°， ∠DCA=DCB=0, ∠DCE=LDCA+∠ECA=90°， 7162 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠CDE=60°， ∠CED=90°-∠CDE=30°， CD=AB=6, :DE =2CD =12, :oc=CD-OD =cD. .AC=20C=3CD=3BC, .CE =3BD, AM =3CN,AC=3BC, .CM=3BN, CE_CM=3, BD BN △CEM∽△BDN, EM_CE=3. DN BD ·EM=V3DN, :DM+EM≥DE, :.当点M运动到DE上时，DM+EM取得最小值，为DM+EM=DE=12, :DM+3DN =12, 即DM+√5DN的最小值为12. D E 8.(24-25九年级上，安微宿州期中)如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠BAD=60°，P为线段A0上的一动点，连接PB,将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到线段QB,连接 8/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 00,则线段0Q的最大值为 最小值为 B 【答案】 2 1 【详解】解：在AB上取点E,使BE=OB,连接PE, B 由旋转得，BQ=BP,∠PBQ=60°， :L0BQ+LDBP=60°. :四边形ABCD为菱形， :BD1AC,AB=AD=4,0B=BD,∠BA0=30°. 2 :∠BAD=60°， :△ABD为等边三角形， BD=AB=AD=4,∠ABD=60°， OB=2,∠EBP+∠DBP=60°， :20BQ=ZEBP. 在△OBQ和△EBP中， BO=BP ∠OBQ=∠EBP, OB=EB :△OBQ≌△EBP(SAS), :00=EP. BE =OB=2, .AE=AB-BE=2, :点E为AB的中点. 9/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当PE⊥OA时，PE取得最小值，当点P与点A或点O重合时，PE取得最大值， .PE的最大值为2， 即线段00长的最大值为2. :PE⊥OA,BD⊥AC, :PE∥BD, :PE=0B=1, 2 ∴.0Q=1, 即线段00长的最小值为1. 故答案为：2；1. 9.(24-25九年级上·四川成都期中)如图，在菱形ABCD中，M,N分别是边CD,BC上的动点，连 接AM,MN,P,Q分别为AM,MN的中点，连接PQ.若∠B=45°，AB=4,则PQ的最小值为」 【答案】√2 【详解】解：如图，连接AN, P,Q分别为AM,MN的中点， ..AN=2PO, :当AN有最小值时，PQ有最小值， :当AN⊥BC时，AN有最小值， :四边形ABCD是菱形 .∠B=45°，AB=4, :当AN⊥BC时，AN=BN, 10/62