2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解平面向量坐标的概念，会求平面向量的坐标，体现逻辑推理能力（重点） 2.掌握平面向量运算的坐标表示，体现逻辑推理能力（重点） 3.掌握向量平行的坐标表示，能解决点共线问题，体现数学计算能力（难点） 课程引入 “一个物体在光滑平面上受到两个互相垂直的拉力作用，如何确定它的运动方向和合力大小？”通过平行四边形法则求解合力后，这两个力是否可以用某种“数”的形式来表示？合力能否不依赖图形，仅通过计算得出？ 新课学习 O x y y x A(x，y) i j a a 如图，在平面直角坐标系中，分别取x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作 由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y， 使 因此，a=xi+yj，我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i, j}下的坐标，向量a可以表示为a=(x,y). 新课学习 在平面直角坐标系中，点P的位置被它的位置向量 所唯一确定，设点P的坐标为(x,y)，容易看出 即点P的位置向量 的坐标为(x,y)也就是点P的坐标；反之，点P的平面直角坐标系中的坐标中也是点P所决定的位置向量 的坐标. 新课学习 例3：在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动，先画出下列位移向量在基{i，j}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标： (1)向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度； (2)向量b表示沿北偏西30°方向移动了3个单位长度； (3)向量c表示沿南偏东60°方向移动了4个单位长度. 新课学习 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3)，则向量a，b，c在基{i，j}下的正交分解如图所示， 因此 新课学习 思考一下：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则如何表示a+b,a-b以及λa？ a=x1i+y1 j，b=x2i+y2 j， 根据向量的运算律，可得 a+b=(x1i+y1 j)+(x2i+y2 j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j， a-b=(x1-x2，y1-y2)， 同理 设λ∈R，则λa=λ(x1i+y1 j)=λx1i+λy1 j，即λa=λ(x1,y1). 即 a+b=(x1+x2，y1+y2)， 新课学习 思考一下：如果有两个点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么 如何表示？ 在直角坐标系中作向量 A(x1，y1) B(x2，y2) O y x 即 所以 所以 新课学习 平面向量运算的坐标表示 1.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差； 2.实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积； 3.一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 新课学习 例4：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，若M是线段AB的中点，求点M的坐标？ 如图，向量 由向量的线性运算可知 所以中点M的坐标为 新课学习 中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x,y)，则 此公式为线段AB的中点坐标公式. 新课学习 例5：已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. a+b=(2，1)+(-3，4)=(-1，5)； a-b＝(2，1)-(-3，4)=(5，-3)； 3a＋4b=3(2，1)+4(-3，4)=(6，3)+(-12，16)=(-6，19). 新课学习 例6：已知点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，用向量的方法求□ABCD的顶点D的坐标． 设点D的坐标为(x，y)，由 ，得 (0，2)-(1，0)=(-1，-2)-(x，y)， 即 (-1，2)=(-1-x，-2-y)， 所以 解得 所以点D的坐标为(0,-4). 新课学习 例7：已知A(2，-4)，B(-1，3)，C(3，4)，且 ，求点M的坐标. 依题意得 于是 设点M的坐标为(x，y)，则 解得 所以点M的坐标为(-11，-15). 所以 新课学习 思考一下：如果两个向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)平行，则这两个向量坐标有什么特点？ 在平面直角坐标系中，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，b≠0， 若a∥b，则由共线（平行）向量基本定理，存在实数λ，使得a=λb，即(x1,y1)=λ(x2,y2)=(λx2,λy2)， 于是 消去λ，得x1y2-x2y1=0，因此，向量a，b(b≠0)共线的必要条件是x1y2-x2y1=0 新课学习 思考一下：如果两个向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)平行，则这两个向量坐标有什么特点？ 另一方面，若x1y2-x2y1=0，则由b≠0，不妨设x2≠0，得 于是a=(x1,y1)= 所以，由共线（平行）向量基本定理，得a∥b. 因此，向量a，b(b≠0)共线的充分条件是x1y2-x2y1=0. 新课学习 平面向量平行的坐标表示 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 新课学习 例8：已知O是坐标原点， ，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 依题意得 要使A，B，C三点共线，只需 共线，即 (4-k)(k-5)-6×(-7)＝0， 解得k=-2或k=11， 所以当k=-2或k=11时，A，B，C三点共线. 课程练习 D 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 (-6,2) 课程总结 1.平面向量的坐标表示 2.平面向量运算的坐标表示 3.平面向量平行的坐标表示 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $