2.4.2 平面向量及运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示、运算及共线条件，从平面直角坐标系与正交分解切入，衔接向量基本定理，通过“逐点清”模块搭建学习支架，帮助学生逐步理清概念脉络。 其亮点在于“多维理解+微点练明”结合，以数学眼光抽象坐标定义，如用单位向量i,j引入向量坐标；以数学思维推导运算规律，如表格归纳加减数乘坐标公式；以数学语言符号化表达共线条件。助力学生系统掌握知识，便于教师高效教学。

4.2 平面向量及运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算,能用坐标表示平面向量的共线条件. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　平面向量的坐标表示 逐点清(二)　平面向量运算的坐标表示 逐点清(三) 向量平行的坐标表示 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 平面向量的坐标表示 01 多维理解 　　在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个_________i, j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使________________.因此,a=x i+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为__________. 单位向量 a=(x,y) (1)由平面向量的坐标表示的定义可知,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在平面直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b等价于它们对应的横、纵坐标分别相等,即a=b⇔x1=x2且y1=y2.相等向量的坐标一定相同,但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同. (3)只有当a=x i+yj,i,j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量时,才能说向量a的坐标为(x,y). (4)几个特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 微点练明 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若O为坐标原点,且=(2,-1),则点A的坐标为(2,-1). ( 　) (2)若点A的坐标为(2,-1),则以A为终点的向量的坐标为(2,-1).( 　) (3)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的. ( 　) √ × √ 2.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为 (　　) A.(4e1,3e2)　　 B.(4e1,-3e2) C.(4,3) D.(4,-3) 解析:∵e1,e2是互相垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,∴a=(4,-3). √ 3.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则=(　　) A.(-5,13) B.(-5,12) C.(-12,13) D.(-12,5) 解析:向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则点B的坐标为(-12,5),如图所示,所以=(-12,5). √ 4.如图,向量a,b,c的坐标分别是__________, __________,__________. (-4,0) (0,6) (-2,-5) 解析:将各向量分别向基i,j所在直线分解,则a=-4i+0j,b=0i+6j,c=-2i-5j, ∴a=(-4,0),b=(0,6),c=(-2,-5). 5.已知=(2-x)i+(1-x)j,且的坐标所表示的点在第四象限,则x的取值范围是__________. (1,2) 解析:由题可得=(2-x,1-x),因为的坐标所表示的点在第四象限,所以解得1<x<2.故x的取值范围是(1,2). 逐点清(二)　平面向量运算的坐标表示 02 多维理解 1.平面向量运算的坐标表示   文字 符号 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量______________ 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b =______________ 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量______________ 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= ______________ 数乘 向量 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的_________________ 若a=(x,y),λ∈R,则λa=_______ 重要 结论 一个向量的坐标等于其__________减去______________ 已知向量的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则=______________ 相应坐标的和 (x1+x2,y1+y2) 相应坐标的差 (x1-x2,y1-y2) 相应坐标的乘积 (λx,λy) 起点的坐标 (x2-x1,y2-y1) 终点的坐标 2.中点坐标公式 若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则______________. (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. |微|点|助|解| 微点练明 1.已知M(2,3),N(3,1),则的坐标是(　　) A.(2,-1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(1,-2) 解析:=(2,3)-(3,1)=(2-3,3-1)=(-1,2). √ 2.[多选]已知a=(1,3),b=(-2,1),下列计算正确的是 (　　) A.a+b=(-1,4) B.a-b=(3,2) C.b-a=(1,2) D.-a-b=(1,2) 解析:因为a=(1,3),b=(-2,1),所以a+b=(-1,4),故A正确; a-b=(3,2),故B正确; b-a=(-3,-2),故C错误; -a-b=(1,-4),故D错误. √ √ 3.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),若c=xa+yb,则2x+y= (　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析:由a=(1,2),b=(2,3),可得xa+yb=(x+2y,2x+3y). 因为c=xa+yb,所以解得 则2x+y=-2+2=0. √ 4.设A(5,-4),B(3,-6),则线段AB 的中点坐标为 (　　) A.(4,-5) B.(4,5) C.(-4,-5) D.(-5,4) 解析:因为A(5,-4),B(3,-6), 所以线段AB的中点坐标为=(4,-5).故选A. √ 5.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,则的坐标为__________. (9,-18) 解析:由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3).所以=3=3(1,8)=(3,24), =2=2(6,3)=(12,6).设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)= (3,24),x1=0,y1=20;=(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2.所以M(0,20), N(9,2),=(9,2)-(0,20)=(9,-18). 逐点清(三) 向量平行的坐标表示 03 1.向量共线的充要条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),当b≠0时,则向量a,b共线的充要条件是______________. 2.两个向量共线的几种不同的表示方法 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0. (1)a∥b⇔a=λb(λ∈R).这是几何运算,体现了向量a与向量b的长度及方向之间的关系. (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征. (3)当x2y2≠0时,a∥b⇔=,即若两个向量平行,则这两个向量的相应坐标成比例.这种形式不易出现搭配错误. 多维理解 x1y2-x2y1=0 3.由向量共线求参数的值的方法 1.已知a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则x等于 (　　) A.-3 B.-4 C.2 D.0 微点练明 解析:因为a=(1,2),b=(2,1-x),a与b共线,所以1-x=2×2,解得x=-3. √ 2.已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为_______. (3,3) 解析:法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=-=(4λ-4,4λ). 又=-=(-2,6), 由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解得λ=.所以==(3,3). 所以点P的坐标为(3,3). 法二:设点P(x,y),则=(x,y).因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y. 又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3. 所以点P的坐标为(3,3). 3.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k=__________时,ka+b与a-3b平行. - 解析:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 法一:当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ, 使ka+b=λ(a-3b),则(k-3,2k+2)=λ(10,-4), 所以解得k=λ=-. 此时ka+b=-(a-3b),所以ka+b与a-3b反向. 法二:因为ka+b与a-3b平行,所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0, 解得k=-. 此时ka+b==-(a-3b), 所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向. 4.已知向量=(m,2),=(1,3),=(-4,-2),若B,C,D三点共线, 则m=__________. -1 解析:因为向量=(m,2),=(1,3),则=-=(1-m,1), 而=(-4,-2),又B,C,D三点共线,则有∥,因此-2(1-m)=-4,解得m=-1. 5.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),=,=,求证:∥. 证明:设E(x1,y1),F(x2,y2).由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1), ∴==,==.∴(x1,y1)-(-1,0)=,(x2,y2)-(3,-1)=. ∴(x1,y1)=,(x2,y2)=.∴=(x2,y2)-(x1,y1)=. ∵4×-(-1)×=0,∴∥. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 2 1.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.相等向量的坐标相同,与向量的起点、终点的位置无关 B.当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标 C.两向量和的坐标与两向量的顺序无关 D.两向量差的坐标与两向量的顺序无关 解析:由向量坐标表示的定义,即可判断出A、B正确.因为加法满足交换律,所以两向量和的坐标与两向量的顺序无关.故C正确.因为减法不满足交换律,所以两向量差的坐标与两向量的顺序有关.故D错误.故选ABC. √ √ √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 2 3 4 2.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基的是 (　　) A.a=(0,0),b=(2,3) B.a=(1,-3),b=(2,-6) C.a=(4,6),b=(6,9) D.a=(2,3),b=(-4,6) 解析:只有D选项中两个向量不共线,可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基,故选D. √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 3.在如图所示的平面直角坐标系中, 向量的坐标是(　　) A.(2,2) B.(-2,-2) C.(1,1) D.(-1,-1) √ 解析:因为A(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1). 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 4.已知点A(1,3),B(2,7),向量=(0,-2),则=(　　) A.(1,4) B.(-1,-4) C.(1,6) D.(-1,-6) 解析:因为=(1,4),所以=-=(-1,-6).故选D. √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 5.已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则P点的坐标为(　　) A.(2,4) B.(-14,16) C.(6,1) D.(2,-11) 解析:设P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y).因为=-2,所以解得所以P点的坐标为(2,4).故选A. √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 6.已知A(1,-3),B,且A,B,C三点共线,则点C的坐标可以是(　　) A.(-9,1) B.(9,-1) C.(9,1) D.(-9,-1) 解析:设点C的坐标是(x,y),因为A,B,C三点共线,所以∥. 因为=-(1,-3)=,=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3), 所以7(y+3)-(x-1)=0,整理得x-2y=7,经检验可知点(9,1)符合要求,故选C. √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 7.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析:设每一个正方形小方格的边长为1,以向量a,b的公共点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,可得a=(-1,1),b=(6,2), c=(-1,-3).∵c=λa+μb,∴ 解得λ=-2,μ=-.因此==4. √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 8.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c), d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d= (　　) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 解析:设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2).易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则(4-6+4+x,y-12+20-2)=(0,0),解得x=-2, y=-6.所以d=(-2,-6). √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 9.[多选]已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么(　　) A.+=(λ-1,1-μ) B.若∥,则λ=2,μ= C.若A是BD的中点,则B,C两点重合 D.若点B,C,D共线,则μ=1 √ √ 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 解析:+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A正确. 若∥,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,B错误.若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1,所以==(-1,1).所以B,C两点重合,C正确.因为B,C,D三点共线,所以∥.又=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0), =-=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,D错误. 故选AC. 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 10.(5分)若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,已知A(1,3),B(2,4),则x=_____. 1 解析:∵=(2,4)-(1,3)=(1,1),且=a, ∴解得x=1. 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 11.(5分)在四边形ABCD中,A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点,则=__________. (4,2) 解析:因为A(-2,0),B(-1,3),C(3,4),D(2,3),E,F分别为边AB,CD的中点,所以E,F.所以=-=(4,2). 12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知向量a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2). (1)求6a+b-2c;(4分) 解:6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11). (2)求满足a=mb+n c的实数m,n.(6分) 解:∵a=mb+n c,∴(3,2)=m(-1,3)+n(5,2)=(-m+5n,3m+2n). ∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 13.(10分)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1). (1)若=,求D点的坐标;(4分) 解:设D(x,y),因为=,所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1), 整理得(1,-5)=(x-4,y-1),即有解得 所以D(5,-4). 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 (2)设向量a=,b=,若向量ka-b与a+3b平行,求实数k的值.(6分) 解:因为a==(1,-5),b==(4,1)-(2,-2)=(2,3), 所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4). 因为向量ka-b与a+3b平行,所以7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=-. 所以实数k的值为-. 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB, AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明: (1)DE∥BC;(6分) 证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴, EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令||=1,则||=1,||=2. ∵AD⊥AB,CE⊥AB,AD=DC,∴四边形AECD为正方形. ∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). ∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴=,∴∥,即DE∥BC. 12 1 5 6 7 8 9 10 11 13 14 3 4 2 (2)D,M,B三点共线.(4分) 证明:连接MB,MD.∵M为CE的中点, ∴M, ∴=(-1,1)-=, =(1,0)-=. ∴=-,∴∥. 又与有公共点M,∴D,M,B三点共线. 12 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $