2.5.1 向量的数量积 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.5.1 向量的数量积 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解平面向量数量积的定义及几何意义，体现数学抽象能力（重点） 2.体会平面向量数量积与投影数量的关系，会进行平面向量数量积的运算，体现逻辑推理能力（重点） 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决相关问题，体现数学计算能力（难点） 课程引入 在物理课中我们学习过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，就说这个力对物体做了功.如果力的方向跟物体运动的方向相同，功就等于力的大小和位移大小的乘积.如图，如果力F的方向与物体运动的方向成角，我们可以将力F进行分解： θ s F 新课学习 与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cosθ，物体在F1的方向上产生了位移s，因而力F1对物体做的功为|F|cosθ·|s|； θ s F F1 F2 与位移方向垂直的分力F2，由于没有物体在该分力的方向上产生位移，因而对物体不做功. 综上可知，力F对物体做的功为W=|F||s|cosθ. 新课学习 考虑一下：当力F1与力F的夹角θ为[0°,90°)或θ=90°或θ为(90°,180°]，功和力有什么特点？ 力F对物体做的功为W=|F||s|cosθ 当0°≤＜90°时，W＞0，即力F做正功； 当=90°时，W=0，即力F不做功； 当90°＜≤180°时，W<0，即力F做负功. 新课学习 数量积（内积）的概念 已知两个非零向量a和b，作 向量a与b的夹角∠AOB记为<a，b>或θ(0°≤θ≤180°).|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos<a，b>＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 新课学习 新课学习 投影向量与投影数量的概念 A A' B O a b γ |a|cos<a,b>称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向的投影数量，可以表示为 注：投影数量是数量积的特殊情况. 新课学习 举个例子：在图中，与位移s方向一致的分力F1的长度为|F|cosθ，即是力F在位移s方向上的投影数量. θ s F F1 F2 新课学习 向量数量积的几何意义 由投影向量的定义，可以得到向量的数量积a·b的几何意义： b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积（如图），或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积. A A1 B O a b |a|cos θ θ 新课学习 例1：如图，已知向量a与b，其中|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°. (1)求a·b； a·b=|a||b|cos θ=3×4×cos 150°= (2)求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释. A 如图，作 过点B作直线OA的垂线，垂足为B1， 则 所以向量b在a方向上的投影数量为 新课学习 数量积的运算律的定义 对任意的向量a，b，c和实数λ： （1）交换律：a·b＝b·a； （2）与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； （3）关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 新课学习 如图，任取一点O，作 设向量a，b，a+b与c的夹角分别为1，2，，它们在向量c上的投影分别为 ，与c方向相同的单位向量为e，则 新课学习 即|a+b|cosθ·e=|a|cosθ1·e+|b|cosθ2·e，整理得(|a+b|cosθ1-|a|cosθ1-|b|cosθ2)e=0， 所以|a+b|cosθ1·e-|a|cosθ1-|b|cosθ2=0， 即|a+b|cosθ·e=|a|cosθ1+|b|cosθ2， 所以|a+b||c|cosθ=|a||c|cosθ1+|b||c|cosθ2， 因此(a·b)·c=a·(b·c). 新课学习 数量积的性质 (1)若e为单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos<a，e>； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； (3)a·a＝|a|2，即 ； (4) ； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立. 注：a·a=|a|2 新课学习 例2：已知向量a，b，c，其中|a|=4，|b|=6，且a与c的夹角θ=120°，b与c的夹角γ=60°，求a＋b在c方向上的投影数量. a+b在c方向上的投影数量为 所以a+b在c方向上的投影数量为1. 课程练习 C 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 4 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.向量数量积的概念 2.投影向量与投影数量的概念 3.数量积的运算律 4.数量积的性质 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $