重庆市第一中学校2026届高三下学期3月月考数学试卷

2026届重庆市第一中学高三3月月考（六） 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 如图 1, 这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶, 忽略花瓶的厚度, 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为 )的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为 ，则该双曲线的离心率为 图 1 A. B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合 ，则 是 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 3. 已知向量 ，若 ，则 的值为 A. B. C. D. 4. 已知复数 满足 ,则 A. 有最小值 1 B. 有最大值 1 C. 有最小值 2 D. 有最大值 2 5. 已知 为偶函数，则实数 A. 0 B. -1 C. -4 D. -7 6. 已知 ,则 A. B. C. D. 7. 在三棱锥 中,底面 为正三角形, 平面 ,若 四点都在球 的表面上,则点 到平面 的距离为 A 5 B. C. D. 8. 与曲线 和圆 都相切的直线 有 A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多个选项 是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知 这四个数成等差数列,现有样本数据 , ,则 A. 的极差一定大于 的极差. B. 的平均数一定等于 的平均数 C. 的中位数一定小于 的中位数 D. 的方差一定小于 的方差 10. 已知定义在 上的可导函数 满足: ,若单调递增数列 满足: ,则 A. 的通项公式可能是 B. 的通项公式可能是 C. 函数 是增函数 D. 若 ,则 11. 已知椭圆 上任意一点 到左焦点的距离为 。到右焦点的距离为 (其中 为椭圆的离心率). 若 分别是椭圆 的左、右顶点, 分别为椭圆C的左、右焦点, 为椭圆上异于 的任意一点, 为椭圆 所在平面上的动点, 为坐标原点, 则下列结论正确的是 A. 的最小值为 3 B. 若点 的横坐标为 ，则 的角平分线与 轴交点横坐标为 C. 若 外接圆 的圆心在 外,则 D. 若以 为直径的圆经过 两点,则 点的轨迹方程为 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知正项等比数列 满足 ，且 ，则公比为_____. 13. 若 的展开式中的常数项为 1,则 _____. 14. 已知实数 ，函数 ，若 ，则 取最大值时，点 到直线 的距离为_____. 四、解答题 (本题共5小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 . (1)若满足已知条件的 恰有一个，求边长 的取值范围； (2)若 ，求 的面积. 16. (本小题满分 15 分) 如图 2,已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的菱形， 平面 ， 是 的中点， 是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)若 ，且平面 与平面 的夹角余弦值为 ，求侧棱 的长度. 图 2 17. (本小题满分 15 分) 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查,分别抽取男生和女生各 100 名作为样本,设事件 “喜欢春节联欢晚会”, “学生为女生”,据统计有: . (1)现从这 100 名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出 10 人，再从这 10 人中随机选出 2 人，设选出的 2 人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为 . 求 的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为 ,且当 时, 取得最大值,求从全校学生中抽取的学生可能的人数 . 18. (本小题满分 17 分) 设抛物线 的焦点为 是 上一点且 ,过抛物线 的焦点 作直线 ，且直线 与抛物线 相交于 两点. (1)求抛物线 的方程； (2)过抛物线 的焦点 作与 垂直的直线 ，若直线 与抛物线 相交于 ， 两点， ① 求 的最小值； ②设 ， 分别是 ， 的中点，过焦点 作直线 的垂线，垂足为 ，求证:存在一个定点 ,使得 为定值. 19. (本小题满分 17 分) 已知函数 . (1)若 在定义域上恒成立，求实数 的取值范围； (2)若关于 的方程 的根为 , ① 求证: ; ②判断数列 中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列,并证明你的判断. 学科网（北京）股份有限公司 $