精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

重庆一中高2026届高三3月月考 数学试题 一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，即，解得， ，即，解得或， 则 ，则 ． 2. 若复数z满足则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 则复数对应点为，则其所对应的点在第四象限. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】，化简得，即， . 4. 圆锥甲的轴截面是边长为4的正三角形，用平行于圆锥甲底面的平面截圆锥甲得到一个圆台与圆锥乙，圆锥乙的体积是圆台体积的，则圆锥乙的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆锥乙的底面圆半径为，高为，母线长为． 由题意，，且，解得， 故圆锥乙的表面积为. 5. 某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图(90后指1990年及以后出生人口，80后指年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口)和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（ ） A. 0.61 B. 0.56 C. 0.34 D. 0.28 【答案】C 【解析】 【详解】记从重庆市互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件， 记从重庆市互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件， 由题意可知，， 所以， 所以若此人从事运营岗位，则此人是90后概率为. 6. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，进而根据等差数列的通项公式与前项和公式列式计算即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 因为，即 所以，解得， 所以得，即 因为， 所以，整理得，解得或 因为，所以. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为和，且与抛物线的焦点重合，若是与的公共点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由结合椭圆的定义可得，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，进而得到，再利用余弦定理求解即可. 【详解】设，由椭圆的定义可得， 而，则， 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 在中，， 因为轴，则，即， 在中，由余弦定理得， 则，整理得， 则，解得或，则椭圆的离心率为或. 8. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“可旋转函数”.若函数为“可旋转函数”，则满足条件的整数k的值有（ ）个. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】等价转化为函数在定义域内单调递增或单调递减，再代入排除一种情况，最后分离参数求出最值即可. 【详解】因为函数为“可旋转函数”， 所以关于的方程对任意的至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 即曲线与直线至多只有一个交点， 所以函数在定义域内单调递增或单调递减， 又，所以或恒成立， 因为，故不可能恒成立， 所以恒成立，当时，恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，恒成立，设，导函数， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，；当时，， 所以，即，综上，， 所以满足条件的整数的值有，有且只有3个. 二､多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 以下说法正确的有（ ） A. 数据，，3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越差 C. 已知随机变量，若，则实数 D. 已知数据的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以第八十百分位数是7，故A正确； 对于B，若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好，故B错误； 对于C，由，得，则， 因，所以， 则，解得，故C正确； 对于D，由题意，，则， 而， 则， 则去掉数据10，则剩余数据的平均数为， 则剩余数据的方差为，故D错误. 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线E为中心对称图形 B. O为坐标原点，的最小值为2 C. 的最大值为2 D. 曲线E的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先对分类讨论，从而得到其完整图形，再将点关于原点的对称点代入曲线方程即可判断A；分段求出最值即可判断B；利用基本不等式即可判断C；根据双曲线渐近线公式即可判断D. 【详解】对A，如图所示，当时，，图象为椭圆 在第一象限内及坐标轴正半轴上的部分； 当时，，图象为双曲线在第二象限内部分； 当时，，图象为双曲线在第四象限内部分； 在曲线上任取一点，则满足， 关于原点的对称点，代入， 故曲线不关于原点对称，故A错误； 对B，，当时，由得， 故，当时，最小值为2， 当时，由得，故， 当时，由得，故， 故最小值为2，故选项B正确； 对于选项C，当时，， 即，当且仅当时，取最大值为； 当或时，，故的最大值为，故选项C正确； 对于选项D，双曲线与双曲线均有渐近线，由图象可知选项D正确， 11. 如图，棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，动点满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若则直线与直线为相交直线 B. 若四面体的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 C. 若，则平面截正方体所得截面可以为五边形 D. 若且与面积之比为2，则线段长度最短为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明直线与直线共面且不平行，即可判断A；把四面体补成长方体，利用长方体外接球半径的求法可判断B；作出其截面可判断C；把面积比转化为关于的方程，再利用几何意义把问题转化成求圆上的点到定点的距离即可判断D. 【详解】对于选项，如图1，若，则点为中点，连接， 易证，则四点共面，又， 故直线与直线为相交直线，故选项A正确； 对于选项B，如图2，四面体的外接球即为长方体的外接球， 半径为，球的表面积为，故选项B正确； 对于选项C，如图3，取棱中点为，若， 则点在线段上，过点作的平行线与棱交于点， 满足，连接，得到截面，为四边形，故选项C错误； 对于选项D，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，，由知， 设点为，则， 化简得，得到以点为圆心，为半径的圆，如图4所示， 又因为，故点轨迹为圆心角为的圆弧，线段长度最短为，故D正确. 三､填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知平面向量不共线，，，若，则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线定理得存在实数，使得，再结合不共线得，最后解方程即可得答案. 【详解】因为，，， 所以，存在实数，使得，即， 因向量不共线， 所以，解得. 13. 已知函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题设推导得到，可得当时，函数是以3为周期的函数，进而代值计算即可. 【详解】由， 当时，， 则，即， 则， 即，则， 所以当时，函数是以3为周期的函数， 而，且，， 则. 14. 已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】整理变形得，则根据常数列得到，再分析得为新数列的第43项，最后利用分组求和法即可得到答案. 【详解】因为，即， 可得，可知为常数列，则， 故，根据题意， 当时，新数列中前共有数列的前项， 故为新数列的第项，当时，， 即为新数列的第43项，且与之间插入了共13项， 则. 四､解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 设函数常数). （1）求函数的单调递减区间; （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即得； （2）分离参数，然后利用导数求函数最值进而即得. 【小问1详解】 函数，定义域为. 所以， 所以，当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增. 因此，函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 由题得：， 整理得：， 由于，可将不等式化为：， 令，，则. 求导：， 因为，所以， 故，所以对恒成立， 即在上单调递增， 因此， 于是. 16. 已知函数，将曲线上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到曲线，、、在曲线上，，是相邻的最高点， 是，两点之间的最低点，的面积为. （1）求函数的解析式; （2）在中，角、、所对的边分别为、、，其中，，，点在线段上，，当面积取最大值时，求线段的长度的平方. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角函数的二倍角公式，辅助角公式化简，再通过伸缩变换求解，通过的面积为，即可求解. （2）由求解，再由余弦定理以及基本不等式求解三角形面积的最大值，求解，再由可以得到，再求的长度的平方，将的值代入求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以 所以，所以的最大值为，最小值为， 因为，是相邻的最高点， 是，两点之间的最低点，的面积为，所以，所以， 所以，因为，因为，所以，解得，所以 【小问2详解】 因为，， 所以，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得，的面积为，因为，解得， 当且仅当时等号成立，此时面积最大，设，代入余弦定理得，， 点在线段上，，所以， 所以， 代入，，，且，， ，将， 代入可得. 17. 已知椭圆，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点，O为坐标原点，过点作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点. （1）求双曲线的方程； （2）过点A，B两点分别作双曲线的切线，设交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段OR长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得双曲线的焦点为，顶点为，进而求解即可； （2）设切点为，可证明切线方程为，设，，可得的方程为，的方程为，进而得到，再分、两种情况求出坐标，再表示出即可求解. 【小问1详解】 由椭圆，得， 由题意，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点， 则双曲线的焦点为，顶点为，即， 则，即双曲线的方程为. 【小问2详解】 设切点为，则，先证明切线方程为. 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 联立，得， 则，则， 则切线方程为，即； 当切线斜率不存在时，切点为或，则切线方程为或， 显然满足. 综上所述，切点为时，切线方程为. 设，， 则的方程为，的方程为， 则，， 所以直线的方程为， 又直线过点，则，即， 则，即， 当时，，直线OQ的方程为，而直线l的方程为， 则，即； 当时，直线OQ的方程为，而直线l的方程为， 联立，得， 因为直线l与双曲线左､右两支分别交于A，B两点， 所以，解得，则或， 联立，解得，则， 则， 令，则， 所以，令，则， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 综上所述，线段OR长度的取值范围为. 18. 已知为等腰直角三角形，，点E满足，点D，B在直线AC异侧.将绕直线AC向上旋转至，点F为BC的中点. （1）证明:； （2）若，点G在三棱锥的表面上恒有，试求G的轨迹长度； （3）在绕直线AC旋转至的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）结合（1）可知点必定在平面的平行平面内，取点，使得，连接，先证明平面平面，可得点的轨迹为线段（不包括点）组成，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）设为平面绕直线AC向上旋转至平面的旋转角，利用空间向量表示出平面AKC与平面SEB所成角的余弦值，进而求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为为等腰直角三角形，， 所以，，由，得， 则为的中点，又F为BC的中点，所以，， 又，则，因为平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，平面，而， 则点必定在平面的平行平面内，取点，使得， 连接，因为，则， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因此点的轨迹为线段（不包括点）组成， 因为，，，，则， 所以，则，而， 以为原点，以所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中为平面绕直线AC向上旋转至平面的旋转角， 则， 因为，所以，则，即， 则，所以，则， 所以，则， 则点的轨迹长度为. 【小问3详解】 由（2）及题意知，， 且平面绕直线AC向上旋转至平面时，则， 而，则， 而， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面AKC与平面SEB所成角， 则 ， 令，，则， 因为函数在上单调递减，则， 即，则，所以， 则平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围为. 19. 甲､乙､丙三人之间互相传球，甲传给乙丙的概率分别为和；乙传给甲丙的概率分别为和；丙传给甲乙的概率分别为和；首先由甲开始传球，为经过n次传球后球回到甲手中的概率. （1）求，； （2）数列满足，证明：数列为等比数列，并求； （3）证明： 【答案】（1）， （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得，进而得到，，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，可得，设，进而得到，进而求解即可； （3）先证明，，令，可得，进而求证即可. 【小问1详解】 定义事件为第n次传球时甲传给乙，为第n次传球时甲传给丙， 为第n次传球时乙传给甲，为第n次传球时乙传给丙， 为第n次传球时丙传给甲，为第n次传球时丙传给乙， 由题意，， 首先由甲开始传球，则，，， . 【小问2详解】 定义第n次传球后球在乙手上的概率为，第n次传球后球在丙手上的概率为， 则， 则， 而， 则， 所以， 即， 由，，，则，， 而， 即，则，， 所以，， 则，， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则，， 即，设，则，， 又，则， 则， 所以. 【小问3详解】 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，， 令，则， 即，则， 则， 设，则， 而， 即， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高三3月月考 数学试题 一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 圆锥甲的轴截面是边长为4的正三角形，用平行于圆锥甲底面的平面截圆锥甲得到一个圆台与圆锥乙，圆锥乙的体积是圆台体积的，则圆锥乙的表面积等于（ ） A. B. C D. 5. 某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图(90后指1990年及以后出生人口，80后指年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口)和90后从事互联网行业岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（ ） A. 0.61 B. 0.56 C. 0.34 D. 0.28 6. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为和，且与抛物线的焦点重合，若是与的公共点，，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. 或 D. 或 8. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“可旋转函数”.若函数为“可旋转函数”，则满足条件的整数k的值有（ ）个. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二､多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 以下说法正确的有（ ） A. 数据，，3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越差 C. 已知随机变量，若，则实数 D. 已知数据的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确是（ ） A. 曲线E为中心对称图形 B. O为坐标原点，的最小值为2 C. 的最大值为2 D. 曲线E的渐近线方程为 11. 如图，棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，动点满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若则直线与直线相交直线 B. 若四面体的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 C. 若，则平面截正方体所得截面可以为五边形 D. 若且与面积之比为2，则线段长度最短为2 三､填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知平面向量不共线，，，若，则实数_______. 13. 已知函数，则_______. 14. 已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 四､解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 设函数常数). （1）求函数的单调递减区间; （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数，将曲线上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到曲线，、、在曲线上，，是相邻的最高点， 是，两点之间的最低点，的面积为. （1）求函数的解析式; （2）在中，角、、所对的边分别为、、，其中，，，点在线段上，，当面积取最大值时，求线段的长度的平方. 17. 已知椭圆，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点，O为坐标原点，过点作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点. （1）求双曲线的方程； （2）过点A，B两点分别作双曲线的切线，设交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段OR长度的取值范围. 18. 已知为等腰直角三角形，，点E满足，点D，B在直线AC异侧.将绕直线AC向上旋转至，点F为BC的中点. （1）证明:； （2）若，点G在三棱锥的表面上恒有，试求G的轨迹长度； （3）在绕直线AC旋转至的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围. 19. 甲､乙､丙三人之间互相传球，甲传给乙丙的概率分别为和；乙传给甲丙的概率分别为和；丙传给甲乙的概率分别为和；首先由甲开始传球，为经过n次传球后球回到甲手中的概率. （1）求，； （2）数列满足，证明：数列为等比数列，并求； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $