专题03 整式的乘法11大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题03 整式的乘法（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的乘法运算 题型02 0次幂与负指数幂 题型03 多项式乘多项式 题型04 科学记数法 题型05 幂运算公式逆用 题型06 平方差公式 题型07 完全平方公式 题型08 乘法公式变形 题型09 乘法公式的应用 题型10 整式乘法与几何图形 题型11 规律探究与整式乘除 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 1. 牢记同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，掌握公式 （m,n 为正整数）； 2. 能准确判断底数是否相同，会处理底数互为相反数的变形转化； 3. 熟练进行法则正用、逆用计算，规避指数、底数运算错误； 4. 理解法则推导原理，避免与幂的乘方、合并同类项混淆 基础必考点，多以选择、填空、计算题出现，是整式乘法的根基，易错点集中在底数变形、指数运算、法则混用 幂的乘方 1. 掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，牢记公式 （m,n 为正整数）； 2. 区分幂的乘方与同底数幂乘法的法则差异，不混用公式； 3. 会进行法则逆用，解决指数相关化简与求值题； 4. 处理负数、分数底数的幂的乘方，注意符号判断 基础高频考点，常与同底数幂乘法、积的乘方综合考查，易错点为指数相乘变相加、符号处理失误 积的乘方 1. 熟记积的乘方法则：积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘，掌握公式 （n 为正整数） 2. 能处理多个因式的积的乘方运算，不漏乘任何一个因式； 3. 熟练进行法则逆用，简化简便运算； 4. 准确判断含负因式的积的乘方的符号，规避漏算负号 核心基础考点，计算题必考，常和前两个幂运算综合出题，易错点为漏乘因式、负号判断错误、法则逆用不熟练 同底数幂的除法 1. 掌握底数不变、指数相减法则， 2. 牢记0次幂、负指数幂运算规则，严格遵循底数非0限制 核心基础考点，计算题必考，易错点为指数相减变相除，0次幂结果为0，负指数算成负数 单项式乘以单项式 1. 掌握单项式乘单项式法则：系数相乘、同底数幂分别相乘，单独字母照抄作积的因式； 2. 分步运算：先算系数乘法，再算幂的运算，最后整合结果； 3. 注意系数的符号、次数计算，不含字母的常数项也要参与运算； 4. 规范书写结果，按降幂排列，规避漏项、错号问题 基础计算题必考点，是整式乘法的过渡题型，易错点为系数漏乘、单独字母遗漏、符号出错、幂运算混用 单项式乘以多项式 1. 理解法则本质：利用乘法分配律，转化为单项式乘单项式； 2. 熟练运用法则：用单项式去乘多项式每一项，再把所得积相加； 3. 注意符号变化，多项式项的符号要带入运算，不漏乘、不丢项； 4. 合并同类项化简结果，检验是否有同类项可合并 中档计算题考点，是多项式乘法的基础，易错点为漏乘多项式项、符号错误、未合并同类项 多项式乘以多项式 1. 掌握法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加； 2. 按顺序运算，避免漏项，牢记“项数相乘”初步判断项数，合并后再精简； 3. 严格把控每一项的符号，同号得正、异号得负； 4. 熟练化简运算，解决含多项式乘法的化简求值题，规范步骤 本章核心计算题考点，大题必考，易错点为漏乘项、符号混乱、合并同类项错误、展开不完整 整式乘法的综合运算与化简求值 1. 整合幂的三大运算、单项式与多项式乘法法则，按运算顺序分步计算； 2. 掌握化简求值题步骤：先化简整式，再代入数值计算； 3. 规避混合运算中的法则混用、漏项、符号错误； 4. 灵活逆用乘法公式与法则，进行简便运算. 压轴计算题、解答题常考，综合全章知识点，区分基础生与中等生，易错点为运算顺序混乱、法则混用、计算失误 乘法公式 1. 精准识别两大公式结构特征，熟练正向运算、逆向变形推导 2. 区分平方差与完全平方的适用场景，用于快速化简和简便运算，攻克公式易错点 本章重难点+压轴题核心，单元、期末考占比最高，选择、填空、计算、综合题全覆盖，逆用公式常出拉分题，完全平方公式易错率最高 整式乘法的 实际应用 1. 能结合几何图形（面积、体积）、实际问题，列出整式乘法算式； 2. 运用整式乘法法则化简实际问题中的表达式； 3. 结合题意求解数值，检验结果是否符合实际意义； 4. 建立数学模型，将实际问题转化为整式乘法运算 应用题常考，贴合实际情境，易错点为列错代数式、运算错误、忽略实际意义 知识点01 同底数幂的乘法 通用前提：所有法则均在m、n为正整数的前提下成立，运算时遵循“先乘方，后乘法，最后合并同类项”的顺序，底数为负数、分数时，需加括号保证运算准确性。 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 公式： 示例：（单独字母指数为1，切勿忽略） 逆用：，常用于简便运算，例： 易错点：1. 指数相加误写成指数相乘，错例：； 2.单独字母无指数，漏算指数1，错例：； 3. 底数不同强行套用法则，错例：； 4. 底数互为相反数时，未变形直接运算，符号出错。 知识点02 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式： 示例： 逆用：，常用于指数统一比较大小，例： 易错点：1. 指数相乘误写成指数相加，混淆同底数幂乘法，错例：； 2.负数底数、偶数指数与奇数指数符号判断错误，错例：； 3. 多重乘方运算顺序出错。 知识点03 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式： 推广：（多个因式同样适用） 示例： 逆用：，常用于简便计算，例： 易错点：1. 漏给系数乘方，只给字母乘方，错例：； 2.多个因式漏乘其中一个，错例：； 3. 负因式乘方符号判断错误，错例：。 知识点04 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 公式：（a≠0，m、n为正整数，m>n） 补充规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，（）；任何不等于0的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数，（，为正整数） 基础示例：； 0次幂示例：； 负指数示例： 易错点：1.指数相减误写为相除/相乘； 2. 忽略底数不能为0的限制； 3. 0次幂结果错写为0； 4. 负指数运算错误； 5. 底数互为相反数未统一，直接运算导致符号错误； 6. 混合运算中，未先算乘方再算除法，顺序颠倒。 知识点05 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同它的指数一起作为积的一个因式 示例： 专属易错点：1. 系数相乘忘记带符号，错例：； 2.单独字母遗漏，未写入积中，错例：； 3. 同底数幂指数运算错误，混用幂的乘方法则；4. 系数为1或-1时，漏写系数。 知识点06 单项式乘多项式 法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 公式： 示例： 易错点：1. 漏乘多项式中的常数项，错例； 2.单项式为负数时，只给第一项变号，后续项不变号，错例：； 3. 相乘后未合并同类项，或合并错误。 知识点07 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项 公式： 示例： 易错点：1. 逐项相乘时漏项，少乘某一项，错例：； 2.项的符号判断错误，同号异号混淆； 3. 相乘后未合并同类项，或合并时系数计算错误； 4. 常数项相乘遗漏。 知识点08 平方差公式 公式内容：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 公式： 核心特征：公式左边为“二项式×二项式”，一组项完全相同，一组项互为相反数； 右边为相同项平方减去相反项平方，只有两项，无中间项。 基础示例： 含系数示例： 变形示例： 易错点：1.混淆公式结构，无“一同一反”特征强行套用 2. 系数漏乘方 3. 平方顺序颠倒 4.误将结果写成三项，多添加中间项. 知识点09 完全平方公式 公式内容：两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 公式：和的完全平方 ；差的完全平方 核心特征：左边为“二项式的平方”，右边为三项式，遵循“首平方，尾平方，积的2倍在中央” 基础示例（和）： 基础示例（差）： 含系数示例： 变形示例： 易错点：1.漏乘中间项2ab，最常见错误，错例(； 2. 中间项符号混淆，错例(； 3. 混淆完全平方与平方和，错例(； 4. 系数未整体平方，错例(； 5.把差的完全平方算成平方差，错例(。 知识点10 科学记数法 定义：把一个绝对值大于10（或小于1的正数）的数，表示成的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法 核心规则：1. 确定a：将原数小数点移动到左边第一个非零数字后面，得到的数即为a，保证；2. 确定n：绝对值大于10的数，n为正整数，；绝对值小于1的数， n为负整数，（包含小数点前的0）。 示例：1. 大数表示： 2. 小数表示： 易错点：1. a的取值范围错误， 2. 指数n确定错误，大数n算成整数位数，小数n符号写错或个数数错 3. 科学计数法相乘时，指数运算错误，混用指数相乘法则 4. 还原数时，小数点移动位数错误，漏补0或多补0；5. 带单位的数转换时，忽略单位换算，直接记数。 题型一 幂的乘法运算 解｜题｜技｜巧 做题先判定运算类型，严格区分三大幂运算核心逻辑， 同底数幂乘法锁定“底数不变，指数相加”， 幂的乘方锁定“底数不变，指数相乘”， 积的乘方锁定“各因式分别乘方再相乘”； 遇到底数含负数、分数，先标注符号， 再按对应法则分步运算，不跳步、不凭直觉做题； 遇到混合运算，先拆分每一步运算，对应单一法则逐一计算 易｜错｜点｜拨 极易混淆指数相加与相乘，把同底数幂乘法错按幂的乘方计算； 忽略单独字母的指数为1，导致指数计算漏项； 底数互为相反数时，未根据指数奇偶性统一底数，直接运算出现符号错误； 多重幂运算时，颠倒运算顺序，先算乘法再算乘方 【典例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【解析】 解：（，都为正整数， 则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数， ∴的最小值为：， ， ∴， ∴的最小值为：4 故选：B 【变式1】计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 利用乘法的意义，乘方的意义以及幂的乘方等运算法则进行计算即可． 【解析】解：， 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， ，选项符合题意， 故选：． 题型二 0次幂与负指数幂 解｜题｜技｜巧 先判断式子中0次幂的底数，确保非0后直接写结果1； 负指数幂统一转化为对应正指数幂的倒数，再进行乘除运算； 含负指数的乘除混合运算，先将所有负指数转为正指数，再按常规幂的乘除法则计算。 易｜错｜点｜拨 0次幂结果错写为0，忽略底数取值范围； 负指数运算错算为负数，混淆概念； 混合运算中未先转化负指数，直接乘除导致错误； 多个负指数式子运算时，指数计算混乱 【典例1】（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列运算正确的是（    ） ①②③④⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【答案】B 【解析】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴①正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴②错误； ∵负指数定义，（）， ∴③正确； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴④错误； ∵零指数定义，任何非零数的零次幂等于1， ∴⑤正确． 综上，①③⑤正确， 故选：B． 【变式1】（2025·河北沧州·一模）若（，，都是正整数），则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小整数解为，此时； 故选：B． 【变式2】已知，则a，b，c按从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型三 多项式乘多项式 解｜题｜技｜巧 按固定顺序逐项相乘，用第一个多项式的第一项依次乘第二个多项式的所有项，再用第一个多项式的第二项依次乘第二个多项式的所有项，不跳步、不交叉乱乘； 运算前预判未合并同类项前的项数，两个二项式相乘预判为4项，二项式乘三项式预判为6项，运算后核对项数，避免漏乘 易｜错｜点｜拨 跳步运算导致漏乘某一项，项数不匹配； 项的符号判断失误，同号得正、异号得负规则混淆； 合并同类项时，误将非同类项合并； 常数项之间的乘积容易遗漏，影响最终结果 【典例1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）已知，则m的值为（    ） A．5 B．－5 C．13 D．－13 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（20-21七年级下·河北唐山·期末）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴， 解得：； 把代入原式得： ． 故选：A． 【变式2】如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 题型四 科学记数法 解｜题｜技｜巧 先确定a的取值，严格保证，将原数小数点移至第一个非零数字后方； 再确定指数n，大数的n为整数位数减1，小数的n为负整数，绝对值等于第一个非零数字前所有0的个数； 运算后检查结果格式，确保符合科学计数法规范，不随意调整a和n的数值 易｜错｜点｜拨 a的取值超出规定范围，大于等于10或小于1；指数n计算错误，大数多算一位，小数符号写错；科学计数法相乘时，指数误做乘法运算，而非加法；还原数值时，小数点移动位数错误，补0过多或过少 【典例1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ， 因此，结果为，故C正确． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·河北张家口·月考）如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 【变式2】（25-26九年级下·河北石家庄·月考）神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【解析】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 题型五 幂运算公式逆用 解｜题｜技｜巧 看到指数为和、积的形式，或底数不同但指数相同的式子，优先考虑逆用幂运算法则； 逆用同底数幂乘法，拆分大指数为两个指数和的形式； 逆用幂的乘方，统一指数方便比较大小； 逆用积的乘方，凑整简化计算，核心思路是“逆向拆解，凑出已知条件或整十整百数” 易｜错｜点｜拨 无法识别可逆用的式子特征，仍按正向运算硬算，思路卡顿； 逆用公式时混淆法则，拆分指数错误； 凑整过程中忽略符号，导致结果偏差； 逆用后未按常规运算顺序检查，出现计算失误 【典例1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若为正整数．且，则的值为（    ） A．4 B．16 C．64 D．192 【答案】D 【解析】解析： ， 故选D． 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【解析】解：∵， 又∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； ∵， ， 又∵， ∴， 即，故丙正确； 综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确． 故选：D． 【变式2】比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 题型六 平方差公式 解｜题｜技｜巧 先判定式子结构，找准“相同项”和“相反项”，正确套用平方差公式； 把相同项看作公式里的a，相反项看作公式里的b，直接代入a² - b²计算，无需逐项展开； 遇到底数变形的式子，先调整项的顺序，统一结构再套公式 易｜错｜点｜拨 结构判断失误，无相同项和相反项的多项式乘法强行套用公式； 系数未整体看作a或b的一部分，仅对字母部分平方，漏算系数平方； 平方顺序颠倒，写成相反项平方减相同项平方； 误将结果写成三项式，多添加中间项。 【典例1】（20-21七年级下·河北保定·期中）下列计算中可采用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．字母不同，不能采用平方差公式，不符合题意； B．两组都互为相反数，不能采用平方差公式，不符合题意； C． 一组相同，一组互为相反数，能采用平方差公式，符合题意； D．不存在一组相同，一组互为相反数，不能采用平方差公式，不符合题意． 故选C． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：是一个平方差的形式， ， “”里可以填， 故选：D． 【变式2】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【答案】C 【解析】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴设“幸福数”为（n为整数）， ， ∴“幸福数”是8的倍数， 观察各选项，是8的倍数的只有512， 故选：C． 题型七 完全平方公式 解｜题｜技｜巧 牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号随二项式中间符号”的口诀 先确定首项和尾项，计算平方项，再计算两倍积，最后核对符号； 含系数的项整体看作首项或尾项，整体平方不拆分系数； 遇到负项的完全平方，可先转化为和的完全平方，再计算，降低符号失误概率。 易｜错｜点｜拨 最易漏乘两倍积，结果写成两项，缺失中间项； 中间项符号判断错误，差的完全平方写成正号； 混淆完全平方与平方和，忽略中间两倍积； 系数未整体平方，仅对字母部分运算，系数结果错误 【典例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）已知 则 的值为（    ） A．1515 B．1516 C．1517 D．1518 【答案】A 【解析】∵， ， 将两式相加，得： ， 即， ∴． 故选A． 【变式2】若a，b的值使得成立，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型八 乘法公式变形 解｜题｜技｜巧 掌握完全平方公式的常见变形，利用a²+b²、(a+b)²、(a-b)²、ab之间的等量关系转换； 已知其中两个式子的值，通过变形公式推导第三个式子的值，核心思路是“整体代换”，不单独求解a、b的具体数值； 遇到复杂式子，先拆分重组，凑出公式标准形式再运算 易｜错｜点｜拨 不熟悉公式变形，无法找到等量关系，思路卡顿；整体代换时符号出错，变形公式推导错误； 忽略已知条件限制，强行求解单个字母值，陷入计算死胡同； 变形后运算步骤出错，结果错误。 【典例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 【变式1】（25-26九年级下·河北沧州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【解析】（1）解：根据题意可知：方法1：；方法2；． （2）解：根据（1）问可知：； （3）解：∵，，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）定义：规定的平方等于，即，则i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数的实部是1，虚部是． (1)复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似． 如：①；②； 填空：①_____；②_____； (2)若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：的共轭复数为．若是的共轭复数，则_____，_____，_____； (3)已知，其中为实数，求的值． 【答案】(1)①；② (2)；； (3) 【解析】（1）解：①； ②． （2）解：∵，是的共轭复数， ∴，即，， ∴． （3）解：∵， 又， ∴，， ∴， ∴． 题型九 乘法公式的应用 解｜题｜技｜巧 根据乘法公式的结构特征，对比已知式子与标准公式，确定参数对应的位置； 明确乘法公式形式，建立关于参数的方程，求解后验证是否符合乘法公式结构，不遗漏解 易｜错｜点｜拨 只考虑一种完全平方形式，遗漏参数的另一个解； 参数与两倍积系数对应错误，方程列写失误； 忽略参数的取值范围，得出不符合题意的解； 无法识别变形的乘法公式，找不到解题突破口 【典例1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：完全平方公式为， 又，，且是完全平方式， 中间项， ． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1) (2) (3)有最小值，值为 【解析】（1）解：不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 是完全平方式， 故答案为：； （2）解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， 有最小值，最小值是. 【变式2】阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【解析】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 题型十 整式乘法与几何图形 解｜题｜技｜巧 先结合几何图形，提取边长、面积相关代数式，明确图形整体与部分的数量关系； 根据面积公式，列出整式乘法或乘法公式对应的算式； 利用公式化简算式，推导图形边长、面积的表达式或数值； 结合几何图形实际意义，验证结果合理性，边长、面积需为正数 易｜错｜点｜拨 图形与代数式对应错误，边长表达式列写失误； 面积公式混淆，误用平方差或完全平方公式； 化简算式时出现计算错误，影响几何量求解；忽略几何实际意义，得出负数结果未排除 【典例1】观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】标记如下：    ∵， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4 ＝a2﹣2ab+b2． 故选：C． 【变式1】如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）   A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【解析】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边图形中阴影部分的面积，故可得，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式． 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解析】解：方案①中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，方案①符合题意； 方案②中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作一个长为，宽为的长方形，则面积为，因此，故方案②符合题意； 方案③中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作底为，高为的大平行四边形的面积，则面积为，因此，故方案③符合题意； 方案④中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作四个长为，宽为的长方形面积和，即为，因此，故方案④不符合题意， 故选：C． 题型十一 规律探究与整式乘除 解｜题｜技｜巧 先列举简单特例，观察式子的系数、指数、项数变化规律，总结通用规律表达式； 利用幂的乘除、乘法公式验证规律的正确性，确保规律具有普适性； 按规律推导一般结论，再结合运算法则完成计算或证明，注意指数变化和符号规律。 易｜错｜点｜拨 仅根据个别特例总结规律，结论不全面，存在漏洞； 规律推导过程中，指数、系数计算错误； 无法将规律与整式乘除公式、法则结合，无法完成验证； 分类讨论不完整，忽略特殊情况 【典例1】（25-26八年级上·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③展开式中，系数最大为20．其中正确的有（   ） 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 … … A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【解析】∵时，系数和为：； 时，系数和为：； 时，系数和为：； 时，系数和为：； ∴展开式的系数和为，而结论①中系数和为错误， 由可知，故结论②正确， 展开式的系数为1，6，15，20，15，6，1，最大系数为20，故结论③正确， ∴正确结论有2个． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律，根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解． 【解析】解：①∵展开式的第三项的系数是， ∴该结论正确； ②∵ ， ∴该结论正确； ③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行， ∴展开式中含项的系数是2026， ∴该结论正确； ④∵展开式为， ∴其中各项系数之和为， ∴该结论正确， 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·河北邯郸·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《解析九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1； ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； 则 (1)的展开式共有___________项，系数和为___________． (2)___________． (3)___________． (4)___________． (5)的展开式中第三项系数为___________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) (5) 【解析】（1）解：由题意可得， 当时有一项，时有两项，时有三项，时有四项， 故的展开式共有项； ∵，，，， ∴的展开式系数和为； （2）解：由（1）中规律可得，的展开式首末项系数都是1，中间项是的相邻两项系数和， 原式 ； （3）解：由（1）中规律可得，的展开式首末项系数都是1，中间项是的相邻两项系数和， 原式 ； （4）解：由（1）中规律可得，的展开式首末项系数都是1，中间项是的相邻两项系数和， 原式 ； （5）解：有上述几式可知第二个式子系数是逐渐增加1的关系，第三个式子系数是从第三个式子开始， ∴的展开式中第三项系数为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26七年级上·河北承德·期末）“这么近，那么美，周末到河北”．2025年国庆假期，西柏坡红色旅游基地共接待游客万人次．将数据万用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：万． 故选：C 2.（2025·河北·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．，故不正确；     B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 3.（2023·河北保定·三模）已知，小明发现：求代数式的值时不求，就可以得出结果是（    ） A．1 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 4.下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：选项A：，两括号均为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项B：，可整理为，其中相同，与互为相反数，符合平方差公式． 选项C：，可化为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项D：，两项均无相同或相反数关系，无法应用平方差公式． 故选：B． 5.（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算 (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3)6 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【解析】解：， ∴拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形，所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张， ∵现有甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张， ∴甲种纸片正好用完，丙种纸片剩余6张，乙种纸片缺少5张． 故选：C． 2.．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（    ） A．①② B．②③ C．② D．③ 【答案】D 【解析】解：图①中，阴影部分面积相等，左边图形的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积， ， ①可以验证平方差公式． 图②中，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积， ， ②可以验证平方差公式． 图③中，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积， 显然不是平方差公式， 故③不可以验证平方差公式． 故选：D． 3.两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（    ） A．30 B．34 C．40 D．44 【答案】A 【解析】解：如图：    ∵， ∴， ∴， 阴影部分的面积 ． 故选：A． 4.某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米 (2)篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米 (3)建设该居民健身场所所需的地面费用为元． 【解析】（1） （平方米）， 答：安装健身器材的区域面积为平方米； （2）当，时， 安装健身器材区域的地面面积（平方米）， 篮球场地面积（平方米）， 答：篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米； （3）（元）， 答：建设该居民健身场所所需的地面费用为元． 5.（2023·河北邯郸·一模）观察：，，，，． 发现：上述等式中两因数的和是多少？它们乘积的最大值应该是几？ 联想：若，猜想的最大值是多少？请用学过的知识证明你的猜想． 【答案】发现：和为10，乘积最大为25；联想：的最大值是1022121；证明见解析 【解析】解：发现：和为10，乘积最大为25； 联想：的最大值是1022121；理由如下： ∵， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】原式， 式中有乘数3的倍数， ， 不能被3整除， 原式中只能有1个3， 原式化为， ， ， ，，是自然数， ， 解得， 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 故选C． 2.“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 3.有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：第1项，，则， 第2项，，则， 第3项，，则， ∴第4项为，， 第5项为，，故①正确； ∴，故②正确； ∴第2023项为，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，，故③错误； 根据上述计算可知，第（为正整数）项为， 令，则， ∴， 解得，，即， ∴当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C ． 4.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．    (1)观察图2，试猜想式子，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)根据（1）中的数量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【解析】（1），理由如下： 阴影部分面积为：， 阴影部分面积也可表示为： ∵， ∴ （2）由（1）得：， ∵，， ∴， ∴． 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5.（24-25七年级下·河北保定·月考）喜欢探索数学奥秘的小梦同学学习了《整式的乘除》后，结合，规定了一种新的运算公式：（其中m，n为正整数）．例如，若，则． (1)若． ①计算． ②当，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【解析】（1）解：∵， ∴ ． ②∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ， 同理得：，，，，，，， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘法（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的乘法运算 题型02 0次幂与负指数幂 题型03 多项式乘多项式 题型04 科学记数法 题型05 幂运算公式逆用 题型06 平方差公式 题型07 完全平方公式 题型08 乘法公式变形 题型09 乘法公式的应用 题型10 整式乘法与几何图形 题型11 规律探究与整式乘除 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 1. 牢记同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，掌握公式 （m,n 为正整数）； 2. 能准确判断底数是否相同，会处理底数互为相反数的变形转化； 3. 熟练进行法则正用、逆用计算，规避指数、底数运算错误； 4. 理解法则推导原理，避免与幂的乘方、合并同类项混淆 基础必考点，多以选择、填空、计算题出现，是整式乘法的根基，易错点集中在底数变形、指数运算、法则混用 幂的乘方 1. 掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，牢记公式 （m,n 为正整数）； 2. 区分幂的乘方与同底数幂乘法的法则差异，不混用公式； 3. 会进行法则逆用，解决指数相关化简与求值题； 4. 处理负数、分数底数的幂的乘方，注意符号判断 基础高频考点，常与同底数幂乘法、积的乘方综合考查，易错点为指数相乘变相加、符号处理失误 积的乘方 1. 熟记积的乘方法则：积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘，掌握公式 （n 为正整数） 2. 能处理多个因式的积的乘方运算，不漏乘任何一个因式； 3. 熟练进行法则逆用，简化简便运算； 4. 准确判断含负因式的积的乘方的符号，规避漏算负号 核心基础考点，计算题必考，常和前两个幂运算综合出题，易错点为漏乘因式、负号判断错误、法则逆用不熟练 同底数幂的除法 1. 掌握底数不变、指数相减法则， 2. 牢记0次幂、负指数幂运算规则，严格遵循底数非0限制 核心基础考点，计算题必考，易错点为指数相减变相除，0次幂结果为0，负指数算成负数 单项式乘以单项式 1. 掌握单项式乘单项式法则：系数相乘、同底数幂分别相乘，单独字母照抄作积的因式； 2. 分步运算：先算系数乘法，再算幂的运算，最后整合结果； 3. 注意系数的符号、次数计算，不含字母的常数项也要参与运算； 4. 规范书写结果，按降幂排列，规避漏项、错号问题 基础计算题必考点，是整式乘法的过渡题型，易错点为系数漏乘、单独字母遗漏、符号出错、幂运算混用 单项式乘以多项式 1. 理解法则本质：利用乘法分配律，转化为单项式乘单项式； 2. 熟练运用法则：用单项式去乘多项式每一项，再把所得积相加； 3. 注意符号变化，多项式项的符号要带入运算，不漏乘、不丢项； 4. 合并同类项化简结果，检验是否有同类项可合并 中档计算题考点，是多项式乘法的基础，易错点为漏乘多项式项、符号错误、未合并同类项 多项式乘以多项式 1. 掌握法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加； 2. 按顺序运算，避免漏项，牢记“项数相乘”初步判断项数，合并后再精简； 3. 严格把控每一项的符号，同号得正、异号得负； 4. 熟练化简运算，解决含多项式乘法的化简求值题，规范步骤 本章核心计算题考点，大题必考，易错点为漏乘项、符号混乱、合并同类项错误、展开不完整 整式乘法的综合运算与化简求值 1. 整合幂的三大运算、单项式与多项式乘法法则，按运算顺序分步计算； 2. 掌握化简求值题步骤：先化简整式，再代入数值计算； 3. 规避混合运算中的法则混用、漏项、符号错误； 4. 灵活逆用乘法公式与法则，进行简便运算. 压轴计算题、解答题常考，综合全章知识点，区分基础生与中等生，易错点为运算顺序混乱、法则混用、计算失误 乘法公式 1. 精准识别两大公式结构特征，熟练正向运算、逆向变形推导 2. 区分平方差与完全平方的适用场景，用于快速化简和简便运算，攻克公式易错点 本章重难点+压轴题核心，单元、期末考占比最高，选择、填空、计算、综合题全覆盖，逆用公式常出拉分题，完全平方公式易错率最高 整式乘法的 实际应用 1. 能结合几何图形（面积、体积）、实际问题，列出整式乘法算式； 2. 运用整式乘法法则化简实际问题中的表达式； 3. 结合题意求解数值，检验结果是否符合实际意义； 4. 建立数学模型，将实际问题转化为整式乘法运算 应用题常考，贴合实际情境，易错点为列错代数式、运算错误、忽略实际意义 知识点01 同底数幂的乘法 通用前提：所有法则均在m、n为正整数的前提下成立，运算时遵循“先乘方，后乘法，最后合并同类项”的顺序，底数为负数、分数时，需加括号保证运算准确性。 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 公式： 示例：（单独字母指数为1，切勿忽略） 逆用：，常用于简便运算，例： 易错点：1. 指数相加误写成指数相乘，错例：； 2.单独字母无指数，漏算指数1，错例：； 3. 底数不同强行套用法则，错例：； 4. 底数互为相反数时，未变形直接运算，符号出错。 知识点02 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式： 示例： 逆用：，常用于指数统一比较大小，例： 易错点：1. 指数相乘误写成指数相加，混淆同底数幂乘法，错例：； 2.负数底数、偶数指数与奇数指数符号判断错误，错例：； 3. 多重乘方运算顺序出错。 知识点03 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 公式： 推广：（多个因式同样适用） 示例： 逆用：，常用于简便计算，例： 易错点：1. 漏给系数乘方，只给字母乘方，错例：； 2.多个因式漏乘其中一个，错例：； 3. 负因式乘方符号判断错误，错例：。 知识点04 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 公式：（a≠0，m、n为正整数，m>n） 补充规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，（）；任何不等于0的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数，（，为正整数） 基础示例：； 0次幂示例：； 负指数示例： 易错点：1.指数相减误写为相除/相乘； 2. 忽略底数不能为0的限制； 3. 0次幂结果错写为0； 4. 负指数运算错误； 5. 底数互为相反数未统一，直接运算导致符号错误； 6. 混合运算中，未先算乘方再算除法，顺序颠倒。 知识点05 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同它的指数一起作为积的一个因式 示例： 专属易错点：1. 系数相乘忘记带符号，错例：； 2.单独字母遗漏，未写入积中，错例：； 3. 同底数幂指数运算错误，混用幂的乘方法则；4. 系数为1或-1时，漏写系数。 知识点06 单项式乘多项式 法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 公式： 示例： 易错点：1. 漏乘多项式中的常数项，错例； 2.单项式为负数时，只给第一项变号，后续项不变号，错例：； 3. 相乘后未合并同类项，或合并错误。 知识点07 多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项 公式： 示例： 易错点：1. 逐项相乘时漏项，少乘某一项，错例：； 2.项的符号判断错误，同号异号混淆； 3. 相乘后未合并同类项，或合并时系数计算错误； 4. 常数项相乘遗漏。 知识点08 平方差公式 公式内容：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 公式： 核心特征：公式左边为“二项式×二项式”，一组项完全相同，一组项互为相反数； 右边为相同项平方减去相反项平方，只有两项，无中间项。 基础示例： 含系数示例： 变形示例： 易错点：1.混淆公式结构，无“一同一反”特征强行套用 2. 系数漏乘方 3. 平方顺序颠倒 4.误将结果写成三项，多添加中间项. 知识点09 完全平方公式 公式内容：两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 公式：和的完全平方 ；差的完全平方 核心特征：左边为“二项式的平方”，右边为三项式，遵循“首平方，尾平方，积的2倍在中央” 基础示例（和）： 基础示例（差）： 含系数示例： 变形示例： 易错点：1.漏乘中间项2ab，最常见错误，错例(； 2. 中间项符号混淆，错例(； 3. 混淆完全平方与平方和，错例(； 4. 系数未整体平方，错例(； 5.把差的完全平方算成平方差，错例(。 知识点10 科学记数法 定义：把一个绝对值大于10（或小于1的正数）的数，表示成的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法 核心规则：1. 确定a：将原数小数点移动到左边第一个非零数字后面，得到的数即为a，保证；2. 确定n：绝对值大于10的数，n为正整数，；绝对值小于1的数， n为负整数，（包含小数点前的0）。 示例：1. 大数表示： 2. 小数表示： 易错点：1. a的取值范围错误， 2. 指数n确定错误，大数n算成整数位数，小数n符号写错或个数数错 3. 科学计数法相乘时，指数运算错误，混用指数相乘法则 4. 还原数时，小数点移动位数错误，漏补0或多补0；5. 带单位的数转换时，忽略单位换算，直接记数。 题型一 幂的乘法运算 解｜题｜技｜巧 做题先判定运算类型，严格区分三大幂运算核心逻辑， 同底数幂乘法锁定“底数不变，指数相加”， 幂的乘方锁定“底数不变，指数相乘”， 积的乘方锁定“各因式分别乘方再相乘”； 遇到底数含负数、分数，先标注符号， 再按对应法则分步运算，不跳步、不凭直觉做题； 遇到混合运算，先拆分每一步运算，对应单一法则逐一计算 易｜错｜点｜拨 极易混淆指数相加与相乘，把同底数幂乘法错按幂的乘方计算； 忽略单独字母的指数为1，导致指数计算漏项； 底数互为相反数时，未根据指数奇偶性统一底数，直接运算出现符号错误； 多重幂运算时，颠倒运算顺序，先算乘法再算乘方 【典例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式1】计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 题型二 0次幂与负指数幂 解｜题｜技｜巧 先判断式子中0次幂的底数，确保非0后直接写结果1； 负指数幂统一转化为对应正指数幂的倒数，再进行乘除运算； 含负指数的乘除混合运算，先将所有负指数转为正指数，再按常规幂的乘除法则计算。 易｜错｜点｜拨 0次幂结果错写为0，忽略底数取值范围； 负指数运算错算为负数，混淆概念； 混合运算中未先转化负指数，直接乘除导致错误； 多个负指数式子运算时，指数计算混乱 【典例1】（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列运算正确的是（    ） ①②③④⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【变式1】（2025·河北沧州·一模）若（，，都是正整数），则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知，则a，b，c按从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 题型三 多项式乘多项式 解｜题｜技｜巧 按固定顺序逐项相乘，用第一个多项式的第一项依次乘第二个多项式的所有项，再用第一个多项式的第二项依次乘第二个多项式的所有项，不跳步、不交叉乱乘； 运算前预判未合并同类项前的项数，两个二项式相乘预判为4项，二项式乘三项式预判为6项，运算后核对项数，避免漏乘 易｜错｜点｜拨 跳步运算导致漏乘某一项，项数不匹配； 项的符号判断失误，同号得正、异号得负规则混淆； 合并同类项时，误将非同类项合并； 常数项之间的乘积容易遗漏，影响最终结果 【典例1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）已知，则m的值为（    ） A．5 B．－5 C．13 D．－13 【变式1】（20-21七年级下·河北唐山·期末）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 题型四 科学记数法 解｜题｜技｜巧 先确定a的取值，严格保证，将原数小数点移至第一个非零数字后方； 再确定指数n，大数的n为整数位数减1，小数的n为负整数，绝对值等于第一个非零数字前所有0的个数； 运算后检查结果格式，确保符合科学计数法规范，不随意调整a和n的数值 易｜错｜点｜拨 a的取值超出规定范围，大于等于10或小于1；指数n计算错误，大数多算一位，小数符号写错；科学计数法相乘时，指数误做乘法运算，而非加法；还原数值时，小数点移动位数错误，补0过多或过少 【典例1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·河北张家口·月考）如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（25-26九年级下·河北石家庄·月考）神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 题型五 幂运算公式逆用 解｜题｜技｜巧 看到指数为和、积的形式，或底数不同但指数相同的式子，优先考虑逆用幂运算法则； 逆用同底数幂乘法，拆分大指数为两个指数和的形式； 逆用幂的乘方，统一指数方便比较大小； 逆用积的乘方，凑整简化计算，核心思路是“逆向拆解，凑出已知条件或整十整百数” 易｜错｜点｜拨 无法识别可逆用的式子特征，仍按正向运算硬算，思路卡顿； 逆用公式时混淆法则，拆分指数错误； 凑整过程中忽略符号，导致结果偏差； 逆用后未按常规运算顺序检查，出现计算失误 【典例1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若为正整数．且，则的值为（    ） A．4 B．16 C．64 D．192 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【变式2】比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 题型六 平方差公式 解｜题｜技｜巧 先判定式子结构，找准“相同项”和“相反项”，正确套用平方差公式； 把相同项看作公式里的a，相反项看作公式里的b，直接代入a² - b²计算，无需逐项展开； 遇到底数变形的式子，先调整项的顺序，统一结构再套公式 易｜错｜点｜拨 结构判断失误，无相同项和相反项的多项式乘法强行套用公式； 系数未整体看作a或b的一部分，仅对字母部分平方，漏算系数平方； 平方顺序颠倒，写成相反项平方减相同项平方； 误将结果写成三项式，多添加中间项。 【典例1】（20-21七年级下·河北保定·期中）下列计算中可采用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 题型七 完全平方公式 解｜题｜技｜巧 牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号随二项式中间符号”的口诀 先确定首项和尾项，计算平方项，再计算两倍积，最后核对符号； 含系数的项整体看作首项或尾项，整体平方不拆分系数； 遇到负项的完全平方，可先转化为和的完全平方，再计算，降低符号失误概率。 易｜错｜点｜拨 最易漏乘两倍积，结果写成两项，缺失中间项； 中间项符号判断错误，差的完全平方写成正号； 混淆完全平方与平方和，忽略中间两倍积； 系数未整体平方，仅对字母部分运算，系数结果错误 【典例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 【变式1】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）已知 则 的值为（    ） A．1515 B．1516 C．1517 D．1518 【变式2】若a，b的值使得成立，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 题型八 乘法公式变形 解｜题｜技｜巧 掌握完全平方公式的常见变形，利用a²+b²、(a+b)²、(a-b)²、ab之间的等量关系转换； 已知其中两个式子的值，通过变形公式推导第三个式子的值，核心思路是“整体代换”，不单独求解a、b的具体数值； 遇到复杂式子，先拆分重组，凑出公式标准形式再运算 易｜错｜点｜拨 不熟悉公式变形，无法找到等量关系，思路卡顿；整体代换时符号出错，变形公式推导错误； 忽略已知条件限制，强行求解单个字母值，陷入计算死胡同； 变形后运算步骤出错，结果错误。 【典例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（25-26九年级下·河北沧州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）定义：规定的平方等于，即，则i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数的实部是1，虚部是． (1)复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似． 如：①；②； 填空：①_____；②_____； (2)若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：的共轭复数为．若是的共轭复数，则_____，_____，_____； (3)已知，其中为实数，求的值． 题型九 乘法公式的应用 解｜题｜技｜巧 根据乘法公式的结构特征，对比已知式子与标准公式，确定参数对应的位置； 明确乘法公式形式，建立关于参数的方程，求解后验证是否符合乘法公式结构，不遗漏解 易｜错｜点｜拨 只考虑一种完全平方形式，遗漏参数的另一个解； 参数与两倍积系数对应错误，方程列写失误； 忽略参数的取值范围，得出不符合题意的解； 无法识别变形的乘法公式，找不到解题突破口 【典例1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．12 B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【变式2】阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 题型十 整式乘法与几何图形 解｜题｜技｜巧 先结合几何图形，提取边长、面积相关代数式，明确图形整体与部分的数量关系； 根据面积公式，列出整式乘法或乘法公式对应的算式； 利用公式化简算式，推导图形边长、面积的表达式或数值； 结合几何图形实际意义，验证结果合理性，边长、面积需为正数 易｜错｜点｜拨 图形与代数式对应错误，边长表达式列写失误； 面积公式混淆，误用平方差或完全平方公式； 化简算式时出现计算错误，影响几何量求解；忽略几何实际意义，得出负数结果未排除 【典例1】观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（   ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）   A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·月考）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 题型十一 规律探究与整式乘除 解｜题｜技｜巧 先列举简单特例，观察式子的系数、指数、项数变化规律，总结通用规律表达式； 利用幂的乘除、乘法公式验证规律的正确性，确保规律具有普适性； 按规律推导一般结论，再结合运算法则完成计算或证明，注意指数变化和符号规律。 易｜错｜点｜拨 仅根据个别特例总结规律，结论不全面，存在漏洞； 规律推导过程中，指数、系数计算错误； 无法将规律与整式乘除公式、法则结合，无法完成验证； 分类讨论不完整，忽略特殊情况 【典例1】（25-26八年级上·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③展开式中，系数最大为20．其中正确的有（   ） 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 … … A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（22-23八年级上·河北邯郸·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1； ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； 则 (1)的展开式共有___________项，系数和为___________． (2)___________． (3)___________． (4)___________． (5)的展开式中第三项系数为___________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26七年级上·河北承德·期末）“这么近，那么美，周末到河北”．2025年国庆假期，西柏坡红色旅游基地共接待游客万人次．将数据万用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河北·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·河北保定·三模）已知，小明发现：求代数式的值时不求，就可以得出结果是（    ） A．1 B．6 C． D． 4.下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算 (1)． (2)． (3)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 2.．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（    ） A．①② B．②③ C．② D．③ 3.两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（    ） A．30 B．34 C．40 D．44 4.某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 5.（2023·河北邯郸·一模）观察：，，，，． 发现：上述等式中两因数的和是多少？它们乘积的最大值应该是几？ 联想：若，猜想的最大值是多少？请用学过的知识证明你的猜想． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C．2 D．4 2.“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3.有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．    (1)观察图2，试猜想式子，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)根据（1）中的数量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 5.（24-25七年级下·河北保定·月考）喜欢探索数学奥秘的小梦同学学习了《整式的乘除》后，结合，规定了一种新的运算公式：（其中m，n为正整数）．例如，若，则． (1)若． ①计算． ②当，求的值． (2)若，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $