专题06 期中真题百练通关（十一大压轴题型）（期中专项训练）八年级数学下学期鲁教版五四制

null 专题06 期中真题百练通关（十一大压轴题型） 选填小压轴 题型六 特殊四边形与相似三角形综合题 题型一 多结论问题 题型七 综合实践探究题 题型二 最值问题 题型八 四边形与相似三角形旋转综合题 题型三 多解问题 题型九 四边形与与相似三角形翻折综合题 解答压轴 题型十 四边形与与相似三角形动点综合题 题型四 特殊四边形综合题 题型十一 坐标系中的代数几何综合题 题型五 相似三角形综合题 题型一 多结论问题（共10小题） 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在正方形中， O是对角线与的交点， M是边上的动点（点M 不与B，C重合），过点C作垂直交于点，连结、 、．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（  ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 5．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为 ． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H，连接．若平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 题型二 最值问题（共14小题） 11．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（   ）    A．2 B． C． D．4 12．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点P是直线上的一个动点，以为边在右侧作，使，且，连结、，则周长的最小值为 ． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）若点P、Q是矩形的两个对角顶点，且矩形相邻两边的比值为，我们称P、Q互为“矩形的友好点”，这个矩形被称为关于P、Q的“友好矩形”．如图，点A坐标为，点C在直线上，矩形是关于点A、C的“友好矩形”，顶点B、D到直线的距离分别为m、n，则的最小值为 ． 14．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，D是斜边上一点，且，连接，E为中点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且，则D、P两点间距离最大值为 ． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为4，是等边三角形，点F在边的上方，点E在射线上运动．连接，取的中点M，则线段的长度的最小值为 ． 16．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为 ，线段长度的最小值为 ． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为腰向上作等腰，其中，连接，随着点从点运动到点的过程中，则的最小值为 ． 18．（24-25九年级上·全国·期中）如图，矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是 ． 19．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是边长为5的正方形，点是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．则最小值为 ． 21．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在边长为5的正方形中，点M为线段上一点，且，点P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为 ． 22．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到．连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 24．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为 ． 题型三 多解问题（共6 小题） 25．（24-25九年级上·四川成都·期中）如果三角形的两个内角和满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，在中，，，，点是上一点，连接，若是准互余三角形，则的长为 ． 26．（24-25九年级上·上海静安·期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 27．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图所示，在边长为4的正方形中，对角线与相交于点O，E是的中点，F是边（不与B、C重合）上的一个动点，过点E作，交与G，当为等腰三角形时，的长为 ． 28．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则 ． 29．（24-25九年级上·江西赣州·期中）在中，，，点O是的中点，将绕点O向三角形外部旋转得到，当恰为等腰三角形时，的值为 30．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是等腰三角形时，的长是 ． 题型四 特殊四边形综合题（共7小题） 31．（24-25九年级上·广东韶关·期中）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 32．（24-25九年级上·海南海口·期中）在矩形中，，，分别在，上． (1)若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； (2)如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 33．（24-25九年级上·海南海口·期中）在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题： (1)如图1，在四边形中，，，于E，求证：； 证明：∵，可将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，如图2，请你利用图2完成第（1）题； (2)根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题； ①如图3，在直角中，D为斜边上一点，，，四边形是正方形，设和的面积分别为，，求的值； ②如图4，已知：，，，，求的值． 34．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知正方形，将线段绕点旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点在正方形的内部时，若平分，则°； (2)当点在正方形的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 35．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）在中，，点是的中点，点是直线上一点，连接． (1)【问题解决】 如图①，当，点在线段上时，将射线绕点顺时针方向旋转交于点，连接．求证：； (2)【问题探究】 如图②，当，点在线段延长线上时，将射线绕点顺时针方向旋转交延长线于点，请猜想三条线段之间的关系并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】 如图③，当，点在线段延长线上时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，点恰好落在线段BC的延长线上．若，求线段的长． 36．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 37．（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，连接．将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作，垂足为点，连接． (1)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)若点满足，直接写出一个的值，使得． 题型五 相似三角形综合题（共3小题） 38．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，点D在边上，点E在射线上．直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点E在边上时，如果，求证：； (2)如果， ①如图2，当时，求的值； ②填空：当时，那么的长为______． 39．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在锐角中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，连接．的平分线交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)试探究线段之间的数量关系； (3)若，求的长． 40．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，作于，交于点，作于，交于点Q． (1)求证：； (2)点E在的延长线上，且，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，延长交于F，当时，求的值 题型六 特殊四边形与相似三角形综合题（共5小题） 41．（24-25九年级上·上海·期中）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 42．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图1，平行四边形的面积为，，为锐角．点在边上，过点作边的垂线，交平行四边形的其它边于点，在的右侧作正方形． (1)如图2，若点在对角线上，则正方形的边长为　　　； (2)设与对角线交于点，如果点与点重合，求的值； (3)如果点在边上，且与相似，求的长． 43．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知四边形，点E、F、G、H分别在边、、、上． (1)如图1，四边形是正方形，，求证； (2)如图2，矩形中，，，，求的值； (3)如图3，四边形中，，，，点E、F分别在线段、上，且，求的值． 44．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在正方形中，，点为上一点，过点作，与相交于点． (1)连接，若，求线段的长； (2)连接，过点作，垂足为点，与交于点． 求证：； (3)在（2）的条件下，连接，与相交于点，，求的值． 45．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，四边形中，，，点在上． (1)当，，求证：． (2)如图2，延长及相交于点，延长及相交于点，的周长为2． ①求的值． ②连接，，取的中点，连接，作，连接，求与的数量关系． 题型七 综合实践探究题（共6小题） 46．（24-25九年级上·四川眉山·期中）探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值． 47．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究：在中，，为的中点，的两边分别交直线，于点，，且． 【问题探究】 如图1，若，点在线段上，点在线段上， (1)判断与的数量关系是 ． (2)求证：； 【拓展延伸】 (3)若，，连接，当时，求的长． 48．（24-25九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，天府新区某个班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________； 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________； (2)迁移探究 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明： (3)拓展应用 如图4，在矩形中，，，平分交于点，点为线段上一点，交于点，交矩形的边于点．当为的三等分点时，请求出的长． 49．（24-25九年级上·福建泉州·期中）（1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ， ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 50．（24-25九年级上·河南周口·期中）学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“全等三角形与相似三角形”主题下设计的问题，请你解答． 如图，在矩形中，点E是线段延长线上的一点，连接，过点A作交射线于点F． (1)【知识回顾】如图1，当时，与之间的数量关系是：______； (2)【类比探究】如图2，当（且）时，试判断与之间的数量关系，并说明理由（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】若，连接交于点G，连接，当时，直接写出的长． 51．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）【问题初探】 如图1，在四边形中，，，连接，若四边形的面积为．求的长． ①如图2，小辉同学采用“补”的方式将四边形的面积转化成三角形的面积，进而解决问题； ②如图3，小丽同学采用“割”的方式将四边形分割成两个全等的三角形和一个矩形，进而解决问题． （1）请你选择一名同学的思路写出完整的解答过程； 【类比分析】 李老师发现，两名同学通过“割”或“补”的方式把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，为了帮助学生更好地感悟这种转化思想，李老师对图形进行了变式． （2）如图4，在四边形中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，且，，求的面积； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，为斜边上一点，，，且四边形是正方形，请直接写出与的和． 题型八 四边形与相似三角形旋转综合题（共10小题） 52．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知：在正方形中，M在上，点N在上，把正方形沿翻折，使点B落在边上的点E处，点C的对应点为P，交于F． (1)连，求证：平分； (2)过点B作交于点G，连接交与点H． ①求证：； ②若，求的值． 53．（24-25九年级上·河南周口·期中）【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 54．（24-25九年级上·广东佛山·期中）某学习小组在开展研究等腰直角三角形与一些特殊图形之间关系的活动时，发现它们之间存在角和边的多种关系． 【初步探索】（1）如图1，两个全等的等腰和，，按如图所示的位置摆放图中所有的点、线都在同一平面内，点与点重合，和分别交于点、； ①直接写出图中一对相似而不全等的三角形：______； ②直接写出线段、、存在的数量关系：______； 【迁移探索】（2）如图2，已知等腰中，，将其顶点与正方形的顶点重合，分别交，于点，，分别交，于点，； ①证明； ②猜想线段、、的数量关系，并证明你的猜想； 【运用探索】（3）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，，，求的长．用含的式子表示 55．（24-25九年级上·福建福州·期中）（1）问题提出 如图①，在与中，，，点在边上，连接，点在边上，点为的中点，连接，，，则的形状是 ； （2）问题探究 如图②，将图①中的绕点按逆时针方向旋转，当点在线段上时，求证：； （3）拓展延伸 在图②中，若，，求线段的长． 56．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为________； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 57．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 58．（24-25九年级上·山东济南·期中）和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，． (1)如图1连接，，在绕点A旋转过程中，求的值； (2)如图2，在绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交的延长线于点F，求的长； (3)在绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 59．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平行四边形中，的面积为48． (1)如图1，求边上的高的长； (2)P是边上的一个动点，点C，D同时绕按照逆时针方向旋转得到． i）如图2，当落在射线上时，求的长； ii）当是直角三角形时，求的长． 60．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，，且与分别交于P、Q． (1)如图（1），当A、B、F三点共线时，求的值； (2)当由图（1）位置，绕点A逆时针旋转． ①如图（2），当时，求的值； ②如图（3），当时，求的值． 61．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，，点E在射线上，连接，把绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点F，旋转角，射线与射线交于点P． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，已知点E在线段的延长线上，当时，求线段的长； (3)如图3，连接，当时，求线段的长． 题型九 与相似三角形有关翻折综合题（共5小题） 62．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕，其中，， (1)求证：． (2)你认为和相似吗？如果相似，给出证明，如果不相似，请说明理由． (3)如图（3），沿折叠，使点E落在上为点H，连结交于F，求（已知：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 63．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度匀速运动，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为秒． (1)尺规作图：沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，在图1中作出该折痕； (2)在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点，点，连接，，求四边形的周长； (3)过点作的垂线，是否存在某一时间，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 64．（24-25九年级上·广东佛山·期中）综合与运用 (1)发现：如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．则______； (2)探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，连接，若，求证：，并直接写出面积比的值． (3)拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交直线于点P，求的长． 65．（24-25九年级上·福建·期中）如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得．    (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 66．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，，若，则的值为 ． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，为边上的一点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，将沿翻折，点落在点处，得到，为边上的一点，连接，作交于点，垂足为．已知，，，求的长． 题型十 与相似三角形有关动点综合题（共6小题） 67．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点D是线段的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动，速度为，当点P不与点A、B重合时，作交线段于点E，设点P的运动时间为，的面积为． (1)求的长； (2)当点P在线段上时，求的长（用含t的式子表示）； (3)当P沿运动时，求S与t之间的函数关系式； (4)点E关于直线的对称点为，当点落在的内部时，直接写出t的取值范围． 68．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 69．（24-25九年级上·全国·期中）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． (1)如图，若点在线段上运动，交于． 求证：； 当是等腰三角形时，求的长． (2)如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 70．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，于点，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点不与，B，C重合时，过点作交于点，过点作，使得，点、点在的同侧，连结，设点的运动时间为． (1)线段______； (2)当点在线段上时，______；（用含的代数式表示） (3)当点落在的内部时，求的取值范围； (4)连结，当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 71．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 72．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）问题探究： 如图1，在中，于D，P，Q分别是线段上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，可证，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决． 请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程； （2）类比练习： 如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R是边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长； （3）拓展提升： 如图5，在中，于D，，P，Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 题型十一 坐标系中的代数几何综合题（共5小题） 73．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，移动时间为． (1)求时，求线段的长； (2)移动过程中，是否存在这样的t使得的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)移动过程中，是否存在t值使得以点E，O，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 74．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为：    (1)当“旋似比”为时，直接写出点的坐标； (2)过点作轴，点为垂足，连接，若与相似，求此时点的坐标； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 75．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B． (1)直接写出A，B的坐标； (2)点P在直线上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)平面内一动点满足(a为常数)，过两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求a的值． 76．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）在平面直角坐标系中，如果一点的坐标满足我们称这个点叫一阶升幂点，显然这样一阶升幂点有无数个；同样的满足我们称这个点叫二阶升幂点，也有无数个；满足我们称这个点叫三阶升幂点，……依此类推满足我们称这个点叫阶升幂点（其中为正整数）． (1)请判断下列点中①②③④其中属于三阶升幂点有____________．（填序号） (2)若一次函数图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点，请求出一次函数的表达式． (3)如图，一次函数的图象与轴、轴交点为点和点，若在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点，另外在轴上存在点，面积等于20，设点A、点的横坐标分别为，， ①请求出的值． ②请求出的值． 77．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连接． (1)如图，判断三角形的形状，并说明理由． (2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． (3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图，在菱形中，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若，的最小值为，则长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，将一块直角三角板绕其角的顶点A旋转至，连接、，已知，当以为直角边时，的长为 ． 3．如图四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，求的最小值 ． 4．在矩形中，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒）．过点作于点，在矩形的内部作正方形．当时，若直线将矩形的面积分成两部分，的值为 ． 5．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接交于点Q，对于下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是 ． 三、解答题 6．如图，在中，，，点、分别是边、上的点，且 ，，，动点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒2个单位长度的速度运动，过点作于点，以为边作正方形，使点、始终在同侧．设点的运动时间为， 正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)在点的运动过程中，求与之间的函数关系式． 7．如图①，在菱形中，点O为对角线的中点，将对角线绕点O逆时针旋转到，且旋转角α满足，构造出四边形，连结． (1)四边形是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明． (2)若，设的面积为，的面积为，当时，求的值． (3)如图②，若四边形是正方形，当经过中点时，探究三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $