考点01 条件概率（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点01 条件概率 考点一：条件概率 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 考点二：条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 考点三：全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 题型一：条件概率的理解 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 混淆与，误把条件当结果；随意用独立事件公式；忽略样本空间缩小，直接用总数计算。 1．（多选题）下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙两人投篮命中率分别为，，各投篮一次都投中的概率 B．猎人打猎时，有一猎物在米处，第一次击中的概率是，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到米处，第二次击中的概率 C．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 2．（多选题）下列几种概率是条件概率的是（    ） A．某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，该名女生是高一学生的概率 B．掷一枚骰子，掷出的点数为3的概率 C．在一副扑克牌的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率 D．商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率 3．判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 题型二：利用定义求条件概率 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 未判断独立性，直接约分. 1．已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（   ） A． B． C． D． 3．骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（    ） A． B． C． D． 4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则等于（   ） A． B． C． D． 5．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 题型三：概率的乘法公式 概率的乘法公式 公式反映了知二求一的方程思想． 多事件时漏乘条件，不按顺序分步；未验证是否独立就直接相乘。 1．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机事件发生的概率分别为，，若，则（    ） A．0.5 B． C．0.12 D．0.18 题型四：条件概率的性质及应用 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率． 混淆条件顺序；多步问题不分步；把不独立事件直接相乘，忽略条件限制。 1．已知，，，则______． 2．已知，，，则_______. 3．已知，，，则的值为____________ 4．已知两个随机事件，若，，，则______________. 5．对于随机事件，若，，，则_________. 题型五：全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 与条件概率、乘法公式混用；多步问题不分层讨论，直接用总概率代替条件概率，导致结果错误。 1．采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 2．某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 3．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 4．在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 5．赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是______． 6．春节期间某商场举行购物抽奖活动，活动设置了两种抽奖方式（方式一和方式二），规则如下：凡在商场消费满200元的顾客都可以通过掷一枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式，若掷出5点或6点，则采用方式一抽奖，否则采用方式二抽奖．活动期间顾客甲在该商场多次购物，其中有3次购物消费满200元，均参与抽奖活动． (1)求顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率； (2)方式一：从装有4个红球，6个白球（所有球除颜色外完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸到红球即为中奖；方式二：“大转盘”，中奖的概率为．求顾客甲抽奖一次中奖的概率． 题型六：贝叶斯公式 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 混淆先验概率与后验概率，分子分母写反，不会套用全概率公式，分不清 “由因推果” 和 “由果推因”。 1．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 2．某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 3．某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 4．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 5．某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标准版占比，旗舰版占比．根据历史数据：一是标准版手表的好评率为（好评定义为评分4星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．二是旗舰版手表的好评率为，且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为． (1)随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率； (2)随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结果用分数表示） (3)平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件的概率． 6．某地区某种疾病的患病率为．现有一种检测方法，患者检测阳性的概率为，健康人误诊阳性的概率为． (1)若某人检测阳性，求其真正患病的概率． (2)若连续两次检测均为阳性，求其真正患病的概率． 1．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 2．2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 3．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 4．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 5．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 6．跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 7．某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 8．设为样本空间上的三个随机事件，满足：；事件与相互独立，事件与互斥；已知，则的值为（    ） A．0.87 B．0.85 C．0.89 D．0.90 9．（多选题）在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为，，记，则下列说法正确的是（   ） A．事件“”与“且”是相等事件 B．当时，，的取值有4种情况 C． D． 10．（多选题）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________． 12．已知事件，相互独立，，，则______. 13．某校高二年级举行米接力赛，共有7条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”．赛制规定：由1到7班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回．在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率为___________． 14．2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 15．小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 16．高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 17．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 条件概率 考点一：条件概率 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 考点二：条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 考点三：全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 题型一：条件概率的理解 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 混淆与，误把条件当结果；随意用独立事件公式；忽略样本空间缩小，直接用总数计算。 1．（多选题）下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙两人投篮命中率分别为，，各投篮一次都投中的概率 B．猎人打猎时，有一猎物在米处，第一次击中的概率是，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到米处，第二次击中的概率 C．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【答案】BC 【解析】A、是计算两人同时投篮命中这一普通事件的概率，并没有涉及到一个事件在另一个事件已经发生的条件下的概率，所以它不是条件概率； B、此概率是在“第一次没有击中”这个事件已经发生的条件下，计算第二次击中的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率； C、这是在“有一个小孩是女孩”这个事件已经发生的条件下，去求另一个小孩是男孩的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率； D、这只是在计算小明上学遇到红灯这一普通事件的概率，没有体现出一个事件在另一个事件已发生条件下的概率，所以它不是条件概率. 故选：BC. 2．（多选题）下列几种概率是条件概率的是（    ） A．某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，该名女生是高一学生的概率 B．掷一枚骰子，掷出的点数为3的概率 C．在一副扑克牌的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率 D．商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率 【答案】AC 【解析】由于高一的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件求的概率， 所以所求概率是条件概率,A选项正确； 掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概率， 所以掷出的点数为3的概率不是条件概率，B不正确； 由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的条件下求出的概率， 所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率，C选项正确； 商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率，是随机事件的概率，不是条件概率，D不正确； 故选：AC. 3．判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 【解析】（1）由于高一的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件求的概率， 所以所求概率是条件概率. （2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概率， 所以掷出的点数为3的概率不是条件概率. （3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的条件下求出的概率， 所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率. 题型二：利用定义求条件概率 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 未判断独立性，直接约分. 1．已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件，第1次取2白球为事件. 则， ， 所以. 故第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为. 2．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 3．骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为已知庄家获胜，则点数为豹子或者小， 点数为豹子有6种情况； 点数和为4有，所有排列有3种情况； 点数和为5有，所有排列有种情况； 点数和为6有，所有排列有种情况； 点数和为7有的所有排列，有种； 点数和为8有，所有排列有种情况； 点数和为9有，所有排列有种情况； 点数和为10有，所有排列有种情况； 所以小有种情况； 其中三枚骰子点数最大的是5的情况有：，，，，，，，的所有排列共有种情况； 所以对应概率为. 4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】第一次出现正面的概率是， 第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是， 则． 故选：A. 5．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动， 基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种， 则，事件“表示的四位数不小于5010”， 则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种， 则， 所以， 故选：A． 题型三：概率的乘法公式 概率的乘法公式 公式反映了知二求一的方程思想． 多事件时漏乘条件，不按顺序分步；未验证是否独立就直接相乘。 1．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为. 故选：A． 2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得． 故选：A. 3．随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 又，则. 故选：C 5．设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因， 故． 故选:A． 6．已知随机事件发生的概率分别为，，若，则（    ） A．0.5 B． C．0.12 D．0.18 【答案】C 【解析】由，可得． 故选：C 题型四：条件概率的性质及应用 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率． 混淆条件顺序；多步问题不分步；把不独立事件直接相乘，忽略条件限制。 1．已知，，，则______． 【答案】/0.8 【解析】因为，，，所以． 因为，所以． 故答案为：． 2．已知，，，则_______. 【答案】/ 【解析】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 3．已知，，，则的值为____________ 【答案】/ 【解析】设， 由，， 可得，解得， 所以的值为. 故答案为：. 4．已知两个随机事件，若，，，则______________. 【答案】 【解析】由可得，故, 故答案为：, 5．对于随机事件，若，，，则_________. 【答案】 【解析】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 题型五：全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 与条件概率、乘法公式混用；多步问题不分层讨论，直接用总概率代替条件概率，导致结果错误。 1．采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【答案】 【解析】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则， 则，， 故 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 2．某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【答案】 / / 【解析】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 3．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 【答案】0.285 【解析】设该学生考上硕士研究生，该学生来自理学院，该学生来自工学院，该学生来自商学院}， 则两两互不相容， 故由全概率公式知所求概率为 ． 故答案为：0.285. 4．在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 【答案】0.8/ 【解析】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故答案为：0.8 5．赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是______． 【答案】 【解析】设事件：抽到的是特级脐橙，事件：掷骰子点数小于等于4（从甲筐中抽）；事件：掷骰子点数大于等于5（从乙筐中抽）， 则，甲筐中特级脐橙的概率为，乙筐中特级脐橙的概率为. 所以，. 故答案为：. 6．春节期间某商场举行购物抽奖活动，活动设置了两种抽奖方式（方式一和方式二），规则如下：凡在商场消费满200元的顾客都可以通过掷一枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式，若掷出5点或6点，则采用方式一抽奖，否则采用方式二抽奖．活动期间顾客甲在该商场多次购物，其中有3次购物消费满200元，均参与抽奖活动． (1)求顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率； (2)方式一：从装有4个红球，6个白球（所有球除颜色外完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸到红球即为中奖；方式二：“大转盘”，中奖的概率为．求顾客甲抽奖一次中奖的概率． 【解析】（1）记事件为“顾客甲采用方式一抽奖”，则， 所以顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率为； （2）记事件为“顾客甲中奖”，事件为“顾客甲采用方式二抽奖”， 则，，，， 所以， 所以顾客甲抽奖一次中奖的概率为. 题型六：贝叶斯公式 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 混淆先验概率与后验概率，分子分母写反，不会套用全概率公式，分不清 “由因推果” 和 “由果推因”。 1．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【解析】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 2．某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 【答案】/0.375 【解析】用表示号小球内有获奖信息，用表示主持人打开号小球， 依题意，， 又， 则， 所以所求概率为. 3．某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_____________，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为_____________. 【答案】 【解析】设表示首次选“驿站取件”，则， 表示首次选“上门配送”，则， 表示第二次选“驿站取件”则， 根据全概率公式可得， 第二空根据贝叶斯公式可得. 故答案为：， 4．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 【解析】设第条流水线生产的产品，；抽到不合格品， 则， ． ①． ②． 所以恰好抽到不合格品的概率为，该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为. 5．某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标准版占比，旗舰版占比．根据历史数据：一是标准版手表的好评率为（好评定义为评分4星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．二是旗舰版手表的好评率为，且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为． (1)随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率； (2)随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结果用分数表示） (3)平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件的概率． 【解析】（1）解定义事件：用户购买的是标准版手表，， ：用户购买的是旗舰版手表，， ：用户给出好评，：用户给出非好评，， ：用户申请售后维权，：用户未申请售后维权， 随机用户给出好评的概率 ； （2）售后维权分“好评后维权”和“非好评后维权”，需结合型号拆分： ； 所以； 所以该用户购买的是标准版手表的概率； （3）， 得． 所以符合优惠券发放条件的概率是0.774． 6．某地区某种疾病的患病率为．现有一种检测方法，患者检测阳性的概率为，健康人误诊阳性的概率为． (1)若某人检测阳性，求其真正患病的概率． (2)若连续两次检测均为阳性，求其真正患病的概率． 【解析】（1）设D表示患病，T表示检测阳性． 则,， 患者检测阳性的概率，健康人误诊阳性的概率， . , 所以 （2）设“两次检测均为阳性”记为事件A， 则 所以在连续两次检测均为阳性，真正患病的概率为 . 1．在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 2．2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件表示“第一次去甲影院”，事件表示“第二次去甲影院”，事件表示“第一次去乙影院”，事件表示“第二次去乙影院”， 所以，，，, 由全概率公式得, 由贝叶斯公式得==. 3．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，：是优质品， 则，，，且，，， 所以，由全概率公式可知， ． 故选：B 4．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品， 则，，，从而， 可知； 因此． 故选：D 5．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品， 则，，，， 由贝叶斯公式可知． 故选：B. 6．跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【解析】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得. 故选：C 7．某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 【答案】B 【解析】因为工作日、周末、法定节假日三种模式的时间占比分别为， 又由题知，工作日使用摄像头、红外传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以工作日误报警的概率为， 周末使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以周末误报警的概率为， 法定节假日使用摄像头、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以法定节假日误报警的概率为， 由全概率公式可知，系统发生误报警的概率为， 故选：B. 8．设为样本空间上的三个随机事件，满足：；事件与相互独立，事件与互斥；已知，则的值为（    ） A．0.87 B．0.85 C．0.89 D．0.90 【答案】B 【解析】因为与相互独立，所以， 因为事件与互斥，所以，则， 因为，所以， 则， 故 故选：B 9．（多选题）在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3，4的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为，，记，则下列说法正确的是（   ） A．事件“”与“且”是相等事件 B．当时，，的取值有4种情况 C． D． 【答案】BD 【解析】事件“”表示，有“且”或“且”两种情况，故A错误； 当时，或或或四种情况，故B正确； 从这个盒子中有放回地先后取两个小球，共种情况， 其中的有或或或或或共6种情况， ，故C错误； 的情况有、、、、、、、 、、共10种， 其中且的有、、、、、、共7种， ，故D正确． 10．（多选题）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________． 【答案】 【解析】将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，即抽出的2张钞票中至少有1张假钞， 设事件表示“抽到2张都是假钞”，事件为“2张中至少有一张假钞”， 而，． 所以． 故答案为：. 12．已知事件，相互独立，，，则______. 【答案】/ 【解析】由 相互独立，得 ， 代入 ，，则，即， 因为， 所以 . 故答案为： 13．某校高二年级举行米接力赛，共有7条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”．赛制规定：由1到7班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回．在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率为___________． 【答案】 【解析】记事件A=“1班未抽到‘黄金赛道’”，事件B=“3班抽到‘黄金赛道’”， 由题意知，， 所以. 故答案为：. 14．2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【解析】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 15．小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 【解析】（1）由题意知不迟到就意味着不拥堵， 设事件表示到公司不迟到，则 ； （2）易知； 所以已知到达公司未迟到，选择道路的概率约为0.28． 16．高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 【解析】（1）设“从该班学生中任意抽取1人，其是女生”为事件，则 （2）“该同学是共青团员”为事件，则. 17．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【解析】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. （2）由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $