重难点专题3.1 条件概率与事件独立性六种题型（高效培优专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

重难点专题3.1 条件概率与事件独立性六种题型 题型一 条件概率的计算 题型二 已知条件概率求其它事件的概率 题型三 事件关系的判断问题 题型四 独立事件概率的计算 题型五 全概率公式的应用 题型六 贝叶斯公式的应用 题型一 条件概率的计算 1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 4．（25-26高三下·江西赣州·期中）某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 5．（江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷）从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 6．（25-26高二下·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 题型二 已知条件概率求其它事件的概率 7．（浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题）若随机事件满足，则的值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.08 8．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 事件关系的判断问题 10．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 11．（25-26高二上·江西上饶·期末）若，，则事件A与B的关系是（   ）. A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥又相互独立 12．（25-26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 13．（多选）（25-26高二上·广东佛山·月考）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 14．（多选）（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（   ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若与互斥，则 15．（多选）（25-26高二上·四川资阳·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（   ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件相互独立 D．事件A与事件B互斥 16．（多选）（25-26高二上·四川南充·期末）甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（    ） A．事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为 B．事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 C．事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件 D．事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件 17．（24-25高一上·贵州遵义·期末）随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. (1)请写出样本空间并求样本点个数； (2)设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 18．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 (1)求两枚骰子点数相同的概率； (2)记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 题型四 独立事件概率的计算 19．（25-26高二上·上海·期末）一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 20．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）假设，且相互独立，则___________________. 21．（25-26高二上·河南南阳·期末）甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局． (1)求甲不参加第三轮比赛的概率； (2)求甲、乙进行第四轮比赛的概率； (3)求甲获得冠军的概率． 22．（25-26高一上·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 23．（25-26高二上·湖北孝感·期末）某奖闯关活动共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为. (1)求甲答题两次并获得奖金的概率； (2)求甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率. 24．（25-26高二上·福建宁德·期末）甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率； (2)若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率. 25．（25-26高二上·四川巴中·期末）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛4局以内（含4局）结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 26．（25-26高二上·四川绵阳·期末）在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. (1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； (2)求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 题型五 全概率公式的应用 27．（25-26高二下·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 28．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 29．（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 30．（25-26高二下·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 31．（安徽合肥市2026届高三第二次教学质量检测数学试卷）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. (1)求该订单乘客接受动态调价的概率； (2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 题型六 贝叶斯公式的应用 32．（25-26高二下·全国·课后作业）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 33．（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 34．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 35．（25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 36．（25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 37．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 38．（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 39．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 40．（25-26高二下·全国·课堂例题）假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题3.1 条件概率与事件独立性六种题型 题型一 条件概率的计算 题型二 已知条件概率求其它事件的概率 题型三 事件关系的判断问题 题型四 独立事件概率的计算 题型五 全概率公式的应用 题型六 贝叶斯公式的应用 题型一 条件概率的计算 1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率 【详解】依题意得，， 故. 2．（多选）（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 3．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】/ 【知识点】概率的基本性质、计算条件概率 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 4．（25-26高三下·江西赣州·期中）某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 【答案】/ 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【详解】评委团中至少要有2名男教练，共有种， 其中评委团有2名女教练有种， 所以评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为. 5．（江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷）从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 【答案】 【知识点】计算条件概率 【详解】记事件“女生甲被选中”，事件“两名男生被选中”， 从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动共有种选法. 女生甲被选中的概率，女生甲被选中且两名男生被选中的概率. 女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率. 6．（25-26高二下·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、计算条件概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【详解】（1）甲被安排两天值班有种情况， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得两人恰有一天共同值班， 甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有种． （2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件．被安排三天值班的情况有种， 则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有种， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班， 故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有种， 所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为． 题型二 已知条件概率求其它事件的概率 7．（浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题）若随机事件满足，则的值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.08 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【详解】根据条件概率公式，可得． 8．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】事件的运算及其含义、计算条件概率 【分析】利用条件概率公式和并事件的概率公式即可求解. 【详解】代入，， . 9．（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 题型三 事件关系的判断问题 10．（25-26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、判断所给事件是否是互斥关系 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 11．（25-26高二上·江西上饶·期末）若，，则事件A与B的关系是（   ）. A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥又相互独立 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断 【分析】先计算，再结合相互独立事件、互斥事件的判定定理即可得出结论. 【详解】因为， ，所以事件A与B相互独立. 又，所以，所以事件A与B不互斥. 故选：C. 12．（25-26高二上·上海·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（    ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的乘法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】A.利用对立事件的定义判断；B.利用相互独立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用互斥事件的定义判断. 【详解】A. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，总事件的基本事件还有等，所以 和不是对立事件，故错误； B. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，而，则，所以与是相互独立事件，故正确； C. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，则，，所以与不为相互独立事件，故错误； D. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，都有基本事件，所以与不为互斥事件，故错误； 故选：B 13．（多选）（25-26高二上·广东佛山·月考）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件发生的概率为 【答案】ACD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题目条件分别求出概率即可判断． 【详解】由题意可得，故A正确； 当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生， 所以事件与事件不互斥，故B错误； 事件与事件同时发生的情况有共4种， 所以，又，所以， 故事件与事件相互独立，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD 14．（多选）（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（   ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若与互斥，则 【答案】ACD 【知识点】独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式，对立事件概率公式计算判断各个选项. 【详解】事件，满足，， 对于A：若，则，A选项正确； 对于B：若与相互独立，则，B选项错误； 对于C：因为，即，则与相互独立，C选项正确； 对于D：若与互斥，则，D选项正确； 故选：ACD. 15．（多选）（25-26高二上·四川资阳·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（   ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件相互独立 D．事件A与事件B互斥 【答案】AC 【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据相互独立事件的概念可判断AC；根据对立事件的概念可判断B；根据互斥事件的概念可判断D. 【详解】由题意可得事件“第二枚硬币正面朝上”， 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，有如下基本事件，正正，正反，反正，反反， 所以，，， 对于A，因为，所以事件A与事件B相互独立，故A正确； 对于B，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是对立事件，故B错误； 对于C，因为，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于D，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，故D错误. 故选：AC 16．（多选）（25-26高二上·四川南充·期末）甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（    ） A．事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为 B．事件“甲投得骰子底面数字是奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件 C．事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件 D．事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件 【答案】ABD 【知识点】计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件、互斥事件以及相互独立事件的定义依次进行分析即可. 【详解】对于A：正四面体骰子质地均匀，每个面朝上（底面数字）的概率相等，均为， 故甲投得数字1的概率为，A正确； 对于B：“甲投得奇数”与“甲投得偶数”的并集为所有可能结果（全集），交集为空集， 即二者不能同时发生，且必有一个发生，因此是对立事件，B正确； 对于C：互斥事件要求不能同时发生，但甲投得1与乙投得2是两个独立事件，可以同时发生， 故不是互斥事件，C错误； 对于D：相互独立事件的定义是,甲投得的概率为，乙投得的概率也为， 且甲乙都投得4的概率为，所以，符合独立事件定义，D正确. 故选：ABD 17．（24-25高一上·贵州遵义·期末）随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. (1)请写出样本空间并求样本点个数； (2)设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 【答案】(1)样本空间为；16个样本点 (2)事件与不相互独立 【知识点】独立事件的乘法公式、写出样本空间、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意列举出符合要求的样本空间及样本点的个数即可； （2）分别列举出事件所包含的样本点，并分别求出各个事件的概率，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立. 【详解】（1）由题意可知，样本空间为， 共16个样本点； （2）由题意知事件包含共6个样本点，所以； 事件包含共3个样本点，所以； 既是奇数又大于40的事件包含共2个样本点，所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 18．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 (1)求两枚骰子点数相同的概率； (2)记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 【答案】(1) (2)（ⅰ）事件与不相互独立 （ⅱ）事件与相互独立 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）列出样本空间由古典概型公式计算即可； （2）由相互独立的定义进行判断即可. 【详解】（1）用表示红色和蓝色两枚均匀的骰子朝上的面的点数， 则样本空间， 记事件为两枚骰子点数相同， 则. （2）（ⅰ）,， , 所以, , , 故事件与不相互独立， （ⅱ）因为, ,所以, , 故事件与相互独立. 题型四 独立事件概率的计算 19．（25-26高二上·上海·期末）一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率． 【详解】由题意可得，当经过这第一道工序出来的产品是正品，且经过这第二道工序出来的产品也是正品时，得到的产品才是正品．经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的． 第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为， 故产品的正品率为， 故答案为：． 20．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）假设，且相互独立，则___________________. 【答案】/0.5 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据条件，利用和事件及相互独立事件同时发生的概率公式即可求出结果. 【详解】因为，且相互独立，则 则， 故答案为： 21．（25-26高二上·河南南阳·期末）甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局． (1)求甲不参加第三轮比赛的概率； (2)求甲、乙进行第四轮比赛的概率； (3)求甲获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、分类加法计数原理 【分析】（1）甲不参加第三轮比赛的情况有两种：甲第一轮和第二轮比赛均获胜、甲第一轮和第二轮比赛均不胜，由相互独立事件的乘法公式求解即可； （2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有两种：甲、乙在第四轮比赛前相遇和甲、乙在第四轮比赛前不相遇，由相互独立事件的乘法公式求解即可； （3）甲获得冠军，需进入第四轮并战胜对手，分决赛对手为乙、丙、丁三种情况讨论计算概率并求和. 【详解】（1）甲不参加第三轮比赛的情况有以下两种： 第一种，甲第一轮和第二轮比赛均获胜，其概率为 第二种，甲第一轮和第二轮比赛均不胜，其概率为 故甲不参加第三轮比赛的概率为． （2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有以下两种： 第一种，甲、乙在第四轮比赛前相遇，其概率为； 第二种，甲、乙在第四轮比赛前不相遇，其概率为． 故甲、乙进行第四轮比赛的概率为． （3）甲获得冠军的情况有以下三种： 第一种，甲、乙进行第四轮比赛，由（2）可知其概率为； 第二种，甲、丙进行第四轮比赛，其概率为； 第三种，甲、丁进行第四轮比赛，其概率为 ． 故甲获得冠军的概率为． 22．（25-26高一上·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）用表示“第场比赛甲获胜”，用表示“打完两场比赛结束”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解； （2）用表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解. 【详解】（1）用表示“第场比赛甲获胜”， 则用表示“打完两场比赛结束”， 则. （2）若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件，则， 所以 . 23．（25-26高二上·湖北孝感·期末）某奖闯关活动共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为. (1)求甲答题两次并获得奖金的概率； (2)求甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）将甲答题两次并获奖的事件拆分为 “第一题正确→选择继续→第二题独立答对并选择放弃答题” 和 “第一题正确→选择继续→第二题独立答错但场外求助答对” 两种互斥情况，再用概率加法公式计算总概率； （2）将甲在后两题使用场外求助并获奖的事件拆分为 “第一题正确→选择继续→第二题独立答错但求助答对” 和 “前两题独立答对→选择继续→第三题独立答错但求助答对” 两种互斥情况，再用概率加法公式计算总概率. 【详解】（1）记甲第一题独自答题正确为事件､第二题独自答题正确为事件､ 第三题独自答题正确为事件，甲选择继续答题为事件， 甲场外求助后答题正确为事件， 则 甲答题两次并获得奖金包含两种情况： ①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题正确且选择放弃答题； ②第一题独自答题正确且选择继续答题，第二题独自答题错误但场外求助后答题正确.故甲答题两次并获得奖金的概率： ； （2）甲在后两题中使用场外求助并获得奖金包含两种情况： ①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题错误 但场外求助后答题正确；②前两次均独自答题正确且均选择继续答题， 同时第三题独自答题错误但场外求助后答题正确. 因为， 所以甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率. 24．（25-26高二上·福建宁德·期末）甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率； (2)若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式，即对立事件发生的概率公式即可求解； （2）先将事件分解，再利用相互独立事件同时发生的概率公式即可求解 【详解】（1）设一轮比赛中，“甲投中”，“乙投中”，“闪电队”投中篮球至少有1次， 由于两人投篮的结果互不影响，所以相互独立，由已知可得，， “至少投中1次”的对立事件是“甲、乙都没投中”， . 因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率是. （2）设分别表示甲两轮投篮投中1次，2次的事件，分别表示乙两轮投篮投中1次，2次的事件， 根据事件独立性，得 ， ， 设表示：“闪电队”在两轮比赛中投中篮球的总数不少于3次， 且两两互斥，与，与，与分别相互独立， ， 因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是. 25．（25-26高二上·四川巴中·期末）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛4局以内（含4局）结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据比赛4局以内（含4局）结束包括：两局结束比赛，和四局结束比赛（前两局各赢一局，后两局一人连胜），求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： ； （2）比赛4局以内（含4局）结束包括：两局结束比赛， 和四局结束比赛（）， （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： . 26．（25-26高二上·四川绵阳·期末）在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）.已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响. (1)求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； (2)求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率. 【答案】(1) (2)． 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲正确识别2个乙正确识别1个，甲正确识别1个乙正确识别2个两互斥事件的和求解. 【详解】（1）设“甲每轮识别成功”为事件A，“乙每轮识别成功”为事件B， 由题意：； ， 由甲，乙的识别结果相互独立，，都相互独立； 甲，乙两人中恰好有一人成功=“”，且互斥， ∴； （2）设A1，A2分别表示甲两轮考核中识别成功1个，2个植物标本，B1，B2分别表示乙两轮识别成功1个，2个植物标本， ， ， 设“在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次”， ∴，且与互斥，与与分别相互独立， ∴ ， 因此，在两轮考核中，“竞赛队”成功识别标本的总次数为3次概率为． 题型五 全概率公式的应用 27．（25-26高二下·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算. 【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为， 则，， 因此， 所以这个人迟到的概率为0.38. 28．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】记棋子在位置时最终获胜的概率为，根据概率之间的关系建立方程组求解即可. 【详解】记棋子在位置时最终获胜的概率为，则， 因为棋子位于0时向左右移动的概率都为，所以， 又因为棋子位于1时向左移动的概率为，向右移动的概率为， 所以，代入可得，解得. 因为棋子初始位于0，所以获胜概率即为. 29．（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 30．（25-26高二下·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【详解】（1）用A表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用B表示系统发出警报， 则，所以， ，， 由全概率公式，得， 即炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率为． （2）由（1）知，， 所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为． 31．（安徽合肥市2026届高三第二次教学质量检测数学试卷）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. (1)求该订单乘客接受动态调价的概率； (2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 【答案】(1) (2). 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【详解】（1）设事件表示“出行目的为工作通勤”，表示“出行目的为接驳交通枢纽”，表示“出行目的为其他”，事件表示“乘客接受动态调价”. 由题意得：，，. ，，. 由全概率公式：.代入计算：. 故该订单乘客接受动态调价的概率为. （2）由贝叶斯公式：.代入计算：. 故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为. 题型六 贝叶斯公式的应用 32．（25-26高二下·全国·课后作业）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】由全概率公式，条件概率公式及贝叶斯公式可得. 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品， 则，，，， 由贝叶斯公式可知． 故选：B. 33．（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 34．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 35．（25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用贝叶斯公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用间接法求解即可得； （2）利用条件概率公式求解即可得； （3）先根据全概率公式求解，再根据贝叶斯公式即可求解得. 【详解】（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； （2）记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； （3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 36．（25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. （2）根据贝叶斯公式，可得： . 37．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 【答案】(1)0.0547 (2)（i）（ii）答案见解析 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【详解】（1）事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”． 由题知：，，，． 由全概率公式： 所以，触发预警的概率为0.0547． （2）（i）由贝叶斯公式： ， 所以，在预警条件下确实患病的概率约为． （ii）含义解释： 由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率， 它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题； 是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率， 反映了该手环识别真实病例的能力； 决策参考分析：对收到预警的个人而言， 的参考价值更大、更直接． 理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号， 用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据． 而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险， 故对个人就诊决策的参考相对间接． 38．（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.915 (2) 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式展开即可求得. 【详解】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. （2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为. 39．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【详解】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 40．（25-26高二下·全国·课堂例题）假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 【答案】当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是；病人患有疾病较为合理． 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】首先根据条件写出事件的概率和条件概率，再根据全概率公式和贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】以表示事件“具有中的某些症状”， 表示事件“患者患有疾病”，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知 ， ， ． 从而 ． 当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是； 由贝叶斯公式得 ， ， ， 从而推测病人患有疾病较为合理． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $