专题01 特殊的平行四边形中的八类最值模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题01 特殊的平行四边形中的八类最值模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马、过桥模型 题型三：特殊的平行四边形中的胡不归模型 题型四：特殊的平行四边形中的费马点模型 题型五：特殊的平行四边形中的逆等线模型 题型六：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 题型七：特殊的平行四边形中的几何转化模型 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 2.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 3.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 4.（2025陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马、过桥模型 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 7.（2025·西安·校考二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？ （即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 8.（2025·江苏·校考一模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 9.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 10.（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    题型三：特殊的平行四边形中的胡不归模型 11.（2025·江苏·校考二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 12.（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 13．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 14．（25-26上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    15.（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    题型四：特殊的平行四边形中的费马点模型 16.（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 17.（2025·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 18．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是 ． 19．（2025九年级上·成都·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 20.（24-25九年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 题型五：特殊的平行四边形中的逆等线模型 21．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为8的菱形中，点为边上的动点，且，连接，若菱形面积为，则的最小值为 ． 22．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ． 23．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程． 24．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 25．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 ． 题型六：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 26．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，，E为延长线上一点，以为边向左侧作等边三角形，连接，当取最小值时，的长为 ． 27.（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 29．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 30.（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 题型七：特殊的平行四边形中的几何转化模型 31．（2023·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，连接，则的最小值为 ． 33．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 34．（2023·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    35．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是 ． 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 36．（2025·山东东营·校考一模）如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 37．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，点、分别是轴正半轴与轴正半轴上的动点，以为边在第一象限作矩形，已知，矩形的面积为24，则的最大值为 ． 38．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将沿所在直线翻折得到，则的最大值为 ． 39．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊的平行四边形中的八类最值模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马、过桥模型 题型三：特殊的平行四边形中的胡不归模型 题型四：特殊的平行四边形中的费马点模型 题型五：特殊的平行四边形中的逆等线模型 题型六：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 题型七：特殊的平行四边形中的几何转化模型 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 题型一：特殊的平行四边形中的将军饮马模型 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，， ∵为线段上的动点，∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，，∴，，， 由题可得，∴由对称性可得，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，， ∴，即的最小值为，故答案为：． 2.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：连接，∵，∴，， ∵，∴，∴，是等腰三角形，点Q是边的中点， ，，解得， 是线段的垂直平分线，点B关于直线的对称点为点， ∴，的长为的最小值，∴的最小值．故答案为：6． 3.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： 4.（2025陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，，∴， ∵，于点，∴在中，， ∴，则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图： 当三点共线，则有最大值，且为 ∴∴是等边三角形， 过作 则在中， 则 ∴则的最大值为 故答案为： 5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，，∴ ∴周长最小为；故答案为：． 题型二：特殊的平行四边形中的将军遛马、过桥模型 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵关于的对称点是，是的中点，∴是的中点，即 在中，，∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，，∴，∴在中，，∴，∴．故答案为：1． 7.（2025·西安·校考二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 8.（2025·江苏·校考一模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，， ，，四边形是平行四边形， ，的最小值的最小值，点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，，， ，，，， ，，作， 过点D作垂足为G 在中， ．故选：． 9.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点，∴∴ 在中，，∴故答案为：． 10.（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．       ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型三：特殊的平行四边形中的胡不归模型 11.（2025·江苏·校考二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，故答案为：． 12.（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 13．（24-25下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长，过点B作交于点P， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴，则，则， 同理可得：，∴， ∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小， ∵，∴．故选：A．    14．（25-26上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 15.（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：即， ∴在中，，∴的最小值为． 题型四：特殊的平行四边形中的费马点模型 16.（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴，∴，，∴是等边三角形，∴， ∴，当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，，∴，∴， ∴，∴的最小值是，故答案为： ． 17.（2025·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 18．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，，∴，，，都是等边三角形， ∴，，∴， ∴的最小值即为的长， ∵，，∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，，∴是，的垂直平分线，∴，， ∴，，四边形是长方形， 19．（2025九年级上·成都·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．则． 由旋转的性质，得，．， 连接，当且仅当，，，四点共线时，取得最小值．过点作的延长线于点．，，， ，．，． ，．，， 即的最小值为．故答案为：． ∴，∴， ∴的最小值为；故答案为：． 20.（24-25九年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24(2)见解析(3) 【详解】（1）解：设，则， ∵中，，∴，即解得（负值舍去） ∴，∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵，∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示：∵，∴， ∴，根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∴即的最小值为． 题型五：特殊的平行四边形中的逆等线模型 21．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为8的菱形中，点为边上的动点，且，连接，若菱形面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，，， 则，，，∵，∴， ∵，，∴，解得：， ∴，， 在和中，∴（），∴， ∴，∴当点E在线段上时，取得最小值．故答案为：． 22．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在正方形中，P，Q分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ． 【答案】3 【详解】解：如图所示，设正方形的边长为a，在正方形中，， 则．延长至E，使得，连接， ∵，∴，∴， ∴，当点Q在上时，取最小值． ∵的最小值为，即，在中，， 即，解得（负值舍去）．故答案为：3． 23．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程． 【答案】9 【详解】如图，分别取，中点E、F，连接，以为边构造，连接，， ∵点E、F分别是，中点，，，∴， 当点O、M、P在同一直线上时值最小，∴最小值为， ∵四边形为边长为6的正方形，∴，且，∴， 在中，，在中，，则的最小值为9． 24．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴，∴， ∴此时，即的最小值为．故答案为：． 25．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：如图，连接，在矩形中，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵，∴是的垂直平分线，∴，∴， 连接，则，∵， ∴．∴的最小值为5．故答案为：5． 题型六：特殊的平行四边形中的瓜豆模型 26．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，四边形为正方形，，E为延长线上一点，以为边向左侧作等边三角形，连接，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将逆时针旋转得到，作直线交于点M， 则，，为等边三角形，，， ，，， 在四边形中，，点F在直线上运动， 当时，最小，如图，过作于，交于，则， 在中，，，，，， 在中，，，，， 在中，，，， ；故答案为： 27.（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即，，， 菱形的边长为4，，，， E是的中点，，，， ，， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为．故选：A． 28．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴， ∵都是等边三角形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动，∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动，∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3．故选D． 29．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形，∴，∴，∴四边形和都是矩形， ∴，由旋转的性质得，， ∴，∴，∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，∵，，∴，故选：B． 30.（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，，∴， ∴，∴，∴．由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值，此时， ∵，∴，∴最小值为，∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵，∴，∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作．∵，，∴，， ∴，∴， ∴有最大值，最大值为，∴的最大值为．故答案为：；． 题型七：特殊的平行四边形中的几何转化模型 31．（2023·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过作于， ，，是等腰直角三角形，， 四边形是平行四边形，， 当时，的最小值等于的长，对角线的最小值为，故答案为：． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，∴，，， ∵于E，于F，∴， ∴四边形为矩形，∴，当时，MC取得最小值， ∵是等腰直角三角形，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴的最小值为，故答案为：， 33．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形，∴，∴，∵是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵分别是，的中点，∴，∴要使有最小值， 即最小，∴当时，最小，过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，，∵点是的中点，∴， ∴，∴，∴．∴的最小值是．故答案为：． 34．（2023·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    【答案】； 【详解】解：连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点M，取的中点R，连接，如图：    ∵，，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴的最小值为，∴的最大值为， 故答案为：； 35．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图①，连接， ∵四边形和四边形均是正方形，∴， ∴，∴，当最大时，最大，此时B、P、N三点共线， 如图②，过作于，∴，∴，， 由勾股定理得，，故答案为：． 题型八：特殊的平行四边形中的梯子模型 36．（2025·山东东营·校考一模）如图，点是轴正半轴上的动点，点在轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∵点是的中点，， 在中，，∴当点在上时，有最大值，最大值为，故答案为：． 37．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，点、分别是轴正半轴与轴正半轴上的动点，以为边在第一象限作矩形，已知，矩形的面积为24，则的最大值为 ． 【答案】9 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵，矩形的面积为24，∴， ∵点是的中点，∴， ∴在中，，在中，， ∴当点在同一直线上时，有最大值，最大值为，．故答案为：9． 38．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将沿所在直线翻折得到，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，交延长线于点F，取的中点E，连接，，， ∵等边三角形的边长为2，∴，， 由翻折可知：，，， ，，，，， ∵E是的中点，，∴， ∴∴， ∴当D、E、O三点共线时最大，最大值为．故答案为：． 39．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 【答案】 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是等边三角形，，， ∵在平行四边形中，，，， ，是等边三角形，， ，是等边三角形，为中点， ，为中点，， ，， 当点在线段上时，此时最短，即的最小值为，故答案为：． 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点O为菱形对角线的交点；连接，则过点O，取中点M，连接，， ∵菱形的边长为4，，∴，，， ∴是等边三角形，∴，∴，∴， ∵M是的中点，∴，在中，， 在中，，∵， 当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为，故选：B． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $