专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题06. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 例3（24-25·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    例4（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 例5（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：；(2)①当点在何处时，的值最小；②当点在何处时，的值最小，并说明理由；(3)当的最小值为时，求正方形的边长． 例6（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 例3（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　） A． B． C． D． 3．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 4．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 5．（25-26·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 6．（25-26上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 8．（2025·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 12．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长；(2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：；(3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 13．（25-26·江苏·八年级专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究：(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决：(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______． 学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．    15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 16．（25-26·陕西·九年级开学考试）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 14 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 【答案】 5 【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点 5 ②如图：.；； ；；将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：； 是等边三角形， P为的费马点；即四点共线时候， =；故答案为：①5，② （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，，∴， ∴，∴、、共线时最短， 由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴，∴，，∴是等边三角形，∴， ∴，当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，，∴，∴， ∴，∴的最小值是，故答案为： ． 例3（24-25·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，    ∴，，∴是等边三角形 ∴∴ ∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度， ∵菱形的边长为4∴ ∵，∴∴ ∴的最小值为．故答案为：． 例4（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，，∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上， 同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 例5（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：；(2)①当点在何处时，的值最小；②当点在何处时，的值最小，并说明理由；(3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析(2)①点在上时，的值最小；②点在上时，的值最小，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， ∵，正方形中，，∴， ∵，∴； （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小； ②如图，连接，当M点位于上时，的值最小． 理由如下：连接，由（1）知，，∴，， ∵，，∴是等边三角形． ∴．∴，最短， ∴当M点位于上时，的值最小，即等于的长． （3）解：过E点作交的延长线于F，则． 设正方形的边长为x，则，， 在中，∵，且， ∴，解得，． 例6（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，，， ，， ，，，， ，故答案为：； （2）如图，连接，将绕点C逆时针旋转得， ，，，∴是等边三角形，∴， ，当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E，，边长为， ，，， ，，， ，的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，∴都是等边三角形， ∴，∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G，在矩形中，，∴，∴，∴； ∵，∴四边形是矩形，∴，∴． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，，∴， 在中，点是的中点，∴，且， ∴，∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点，∵点是的中点，∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，∴， ∴，，∴， 在中，， ∴的最小值为． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图：由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 例3（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24(2)见解析(3) 【详解】（1）解：设，则， ∵中，，∴，即解得（负值舍去） ∴，∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵，∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示：∵，∴， ∴，根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∴即的最小值为． 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作于E点，连接，∵菱形中，，    ∴，为等边三角形，，互相平分， ∴，，∴，∴， 根据垂线段最短，此时最短，当A，P，E三点共线时，即最小， ∵菱形的边长为8，为等边三角形，∴，∴， ∴，∴最小值为，故答案为：D． 2．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°， ∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D． 3．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE． 当A、M、N、E四点共线时取最小值AE． ∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 4．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 【答案】 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴， ∴当共线时，值最小，即的值最小， 连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴， ，∴ ， ∴的最小值为，故答案为：． 5．（25-26·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、， 根据旋转的性质有：，，， 为等边三角形，同理为等边三角形， ，，， 当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F， 最小值为：，在矩形中，于点E， 即可知四边形是矩形，，即， 为等边三角形，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 6．（25-26上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形，∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上，同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 【答案】 【详解】如图，以A为中心，逆时针旋转△APD至△AP´D´，则△PAP´为等边三角形，则PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，∴当点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD´长.作直线D´M⊥AB交BA延长线于M点， ∵AD´=AD=4，∠D´AM=30°，∴D´M=2，∴根据勾股定理得，AM=，∴BM=4+， ∴根据勾股定理得，BD´= == . ∴的最小值为.故答案为： 8．（2025·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，，作于H，交于G，     ∵，，∴是等边三角形，同理，是等边三角形， ∴ ∵，，，∴， 又∵，，， 故的最小值为．故答案为：． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，将以为中心，顺时针旋转，得到，连接，， 由旋转得，，，， 是等边三角形，，， 当，，，共线时，的值最小，即等于的值，， 过点作的垂线，交延长线于点，设， ，四边形是矩形，，， ，， ，，，， ，，解得， ，，，故答案为：． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    【答案】（1）的最小值是5；（2）三条小路的长度之和的最小值是 【详解】（1）解：由题意可得，∴，∴的最小值是5． （2）解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．    由旋转的性质可知，是等边三角形，∴， ∵，∴， 当四点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长． 四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴；∴三条小路的长度之和的最小值是． 11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析(2)正方形的边长为 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，．由旋转的性质可得， ．即，． （2）解：连接，由（1）知，，， ，，是等边三角形．．． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于， ．设正方形的边长为，则，． 在中，，． 解得，（舍去负值）．正方形的边长为． 12．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长；(2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：；(3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，，， ，，，； （2）证明：如图，在线段上取一点，使， 于点，，，，， ，，，， ，，， 四边形是平行四边形，，，， ，，，，，； （3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， 连接，则， 当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长度， 作交的延长线于点， ，， ，，，， ，， ，的最小值为． 13．（25-26·江苏·八年级专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究：(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决：(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析 【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求． （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等边三角形，，， ，，，， ；故； （3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，，，，， 、是等边三角形，，， 根据两点间线段距离最短得：当时最短， 是等边三角形，以为一边作等边三角形， 最小值为的长，此时点在线段上，点为、的交点． 若点与点重合，即在对角线 上，则点为与的交点，此时点（E）与点重合， 显然不符合题意，故点不在对角线上， 即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小． 14．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______． 学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．    【答案】； 【详解】解：问题解决：将绕点逆时针旋转至，连接、，          ，，， 为腰长为，顶角为的等腰三角形，如下图，在中，过点作，垂足为， ，， ，， ，，是等边三角形，， ， 当、、、共线时，有最小值，最小值为，故答案为：； 学以致用：如图，将绕点逆时针旋转，得到， ，，，为等边三角形，为等边三角形，， 作于点，交于点，，，， ，当点、、、四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值为． 15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 【答案】（1）（2）（3）点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为 【详解】解：∵为等边三角形，∴，将绕点B逆时针旋转得， 连接，如图，∴，，， ∴为等边三角形，∴，， 在中，，，，∴， ∴为直角三角形，且，∴．故答案为：． （2）∵四边形为正方形，∴， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，，∴， ∴，∴． （3）如图，过点作，将绕点旋转，得到，连接，设交于点，则：，，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴∴， ∴当四点共线时，， ∵点在上，∴当时，最小，此时最小，此时， ∵为等边三角形，，，∴，， ∵四点共线∴，∴，关于对称，， ∴，∵矩形，∴，，， ∴四边形，都是矩形，∵，∴， ∴，∴，∵，∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 综上，点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为． 16．（25-26·陕西·九年级开学考试）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'，∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $