精品解析：江苏省南通市张謇第一初级中学2025-2026学年九年级下学期数学第一次学情调研

九年级数学下学期学情调研 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出． 【详解】A.此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B.此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C.此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误； D.此图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误. 故选B. 【点睛】考查中心对称图形以及轴对称图形的识别，掌握它们的定义是解题的关键. 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列计算的结果为的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算的相关公式计算即可 【详解】∵, ∴A选项不符合题意； ∵, ∴B选项不符合题意； ∵, ∴C选项符合题意； ∵, ∴D选项不符合题意； 故选C. 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键. 4. 点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果； 【详解】把代入函数解析式得：， 化简得到：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键． 5. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平行线的性质是解题的关键． 由三角形内角和定理可求，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于的一元一次方程是解题的关键． 7. 如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可； 【详解】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B； ③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A； 对于，其对称轴为：， ∴在，y随x的增大而增大，故排除C； 对于，其对称轴为：， ∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合； 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键． 8. 《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：A． 9. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 10. 当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数值相等得到对称轴，结合对称轴，图形开口得到，由此即可求解． 【详解】解：当x取和时，多项式的值相等， 设， ∴二次函数图象的对称轴为：，且图象开口向上， 当x取和时，该多项式的值分别为和， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， 根据对称性得到，的函数值与时的函数值相等， ∴， ∴B选项符合题意， 故选：B ． 二、填空题（共6小题，11-12每小题3分，13-16每小题4分，共22分．） 11. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 12. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 13. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求平均变化率的方法．三月份的产值=一月份工业产值平均每月增长的百分率，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份工业产值达50亿元，平均每月增长的百分率为x， ∴二月份的工业产值为， ∴三月份的工业产值为， ∴可列方程为， 故答案为：． 14. 如图，学校有一旗杆．为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为．若，则旗杆AB的高度为_______米．（结果保留小数点后一位，，）． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点G，由题意易得，，然后代入求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点G， 由题意可知，即，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 15. 如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，再由圆周角定理即可求得解． 【详解】如图，， 连接，在中，，则， ∵， ∴， 由圆周角定理得到：． 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，点，，，分别在边，，，上．已知，． （1）的值为______； （2）若，则四边形的面积等于______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）通过构造三角形相似，利用相似三角形的性质列比例式求解； （2）设，分别用含的式子表示，代入梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，设与相交于点O， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：①；②． 三、解答题（（共9小题，共98分．） 17. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则以及求不等式组解集的步骤是解题的关键． 18. AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下， 两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7.6 8 8 1.08 八年级 a b 7 1.08 （1）m，a，b的值分别为______，______，______； （2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数； （3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）12，，7 （2）八年级得分不低于8分的人数为人 （3）同意小明的说法，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法进行计算即可； （2）求出八年级得分不低于8分的人数所占的百分比即可解答； （3）比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得， ， 八年级成绩的平均数（分）， 由扇形统计图知八年级成绩中：6分的有人，7分的有人， 中位数是第25,26个数， ∴； 【小问2详解】 解：（人， 答：八年级得分不低于8分的人数为人． 【小问3详解】 解：同意小明的说法，七年级学生的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数和中位数相同，而七年级的众数均高于八年级， 所以七年级学生的成绩更好． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是 （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交y轴于点B，交x轴于点D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握根据点的坐标求反比例函数和一次函数的解析式的方法是解本题的关键， （1）将点的坐标代入表达式用待定系数法求出即可； （2）先求出，用割补法求出面积即可； （3）结合图象写出结论即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为：； 把代入，得： ∴， 把，代入，得： ， 解得： ∴ 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 当时，，解得：， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 根据图象，时x的取值范围为：或． 21. 图1～图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均为格点． （1）观察：如图1， ； （2）探究：如图2，仅仅用无刻度的直尺在上找一点，连接，，使得； 小海说：作点关于的对称点，连接与交于点M．请判断小海的方案是否可行，并说明理由； （3）应用：如图3，在上找一点F（仅借助无刻度的直尺作图），使． 【答案】（1） （2）小海的方案可行，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由可得，即可求解； （2）作点关于的对称点，连接与交于点，则，，由平行线的性质得，从而可得，结合可证； （3）点往左数2格的格点记为点，点往右数3格的格点记为点，连接，与相交于点，点即为所求，在中由勾股定理可得，又由可得，从而得，即可求出，故点F即为所求． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：作图如下： 小海的方案可行， 理由：点与关于对称， ， ， ， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：如图所示，点往左数2格的格点记为点，点往右数3格的格点记为点，连接，与相交于点，点即为所求． 在中，， ， ， ， ． 22. 如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，根据切线得到，证明，再根据平行的性质得到，由于，得到，证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，设半径为，则，根据平行得到，得到，求出，连接，根据圆周角定理以及平行线的判定证明，得到，即，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， 平分； 【小问2详解】 解：， ， 设半径为， 则， ， ， ， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为元，日销售量（）与的函数关系如图所示． （1）求与的函数解析式； （2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？ （3）结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？ 【答案】（1）与的函数解析式为； （2）销售该商品第天时，日销售利润最大 （3）当月有天的日销售利润大于元 【解析】 【分析】（1）待定系数求一次函数解析式即可求解； （2）设日销售利润为，根据题意得，，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意，解不等式，根据二次函数图象的性质求得的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 将点代入解析式，得， ， 解得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为，根据题意得， ∵， 当时，取得最大值， 即销售该商品第天时，日销售利润最大； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，， 答：当月有天的日销售利润大于元． 24. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线与轴交点的坐标； （2）若二次函数的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若点，为该抛物线上的不同两点，，且，判断与的关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）根据对称轴可得，然后代入解析式可得结论； （2）将解析式写成顶点式，根据最小值为，列出方程求解； （3）将坐标代入解析式，得到，，由，得，代入，即可得到． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，由得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：由题意知：， ， ， 解得，（舍）， ． （3）解：． ，都在抛物线上， ，． ∵， ∴， ， ， ∴， 即：， ， ． 25. 平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． （1）过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． （2）在（1）的基础上，求证：． （3）【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． （4）【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形得到，证明四边形是平行四边形，即可得到答案； （2）根据正方形的定义得到，证明，得到，即可得到结论； （3）过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，先证明，根据点P是的中点，，正方形，得到，， 设，则，求出，故，证明，即可得到； （4）过点作交于点，交延长线于点，过点作，分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学下学期学情调研 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算的结果为的是：（ ） A. B. C. D. 4. 点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣4 7. 如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 0 二、填空题（共6小题，11-12每小题3分，13-16每小题4分，共22分．） 11. 计算的结果是_____． 12. 分解因式：=______． 13. 某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为_____． 14. 如图，学校有一旗杆．为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为．若，则旗杆AB的高度为_______米．（结果保留小数点后一位，，）． 15. 如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为_____． 16. 如图，矩形中，，点，，，分别在边，，，上．已知，． （1）的值为______； （2）若，则四边形的面积等于______． 三、解答题（（共9小题，共98分．） 17. （1）计算：； （2）解不等式组： 18. AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下， 两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7.6 8 8 1.08 八年级 a b 7 1.08 （1）m，a，b的值分别为______，______，______； （2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数； （3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由． 19. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交y轴于点B，交x轴于点D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出时x的取值范围． 21. 图1～图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均为格点． （1）观察：如图1， ； （2）探究：如图2，仅仅用无刻度的直尺在上找一点，连接，，使得； 小海说：作点关于的对称点，连接与交于点M．请判断小海的方案是否可行，并说明理由； （3）应用：如图3，在上找一点F（仅借助无刻度的直尺作图），使． 22. 如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径及的长． 23. 某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为元，日销售量（）与的函数关系如图所示． （1）求与的函数解析式； （2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？ （3）结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？ 24. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线与轴交点的坐标； （2）若二次函数的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若点，为该抛物线上的不同两点，，且，判断与的关系，并说明理由． 25. 平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． （1）过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． （2）在（1）的基础上，求证：． （3）【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． （4）【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $