精品解析：江苏南通市如东实验中学2024-2025学年度第二学期九年级数学一模试卷

2024—2025学年度第一次模拟考试 初三数学试卷 本卷满分：150分 考试时闻：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 计算的结果是 （ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形中， E、F是对角线上两点， 连接、、、，则添加下列哪个条件可以判断四边形是菱形 （ ） A. B. C. D. 5. 由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 10. 因式分解：________． 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 12. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为__________． 13. 方程的解为______． 14. 如图，是的弦，O是圆心，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，， 则的度数是________． 15. 点F是正五边形边的中点，连接 并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 16. 小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围________． 17. 如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为________． 18. 如图， 矩形 中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D 运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解不等式组：，并在数轴上表示解集． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，，，求的长． 22. 某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析，给出了下列部分信息、 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 3.2 a 0.2944 乙品种 3.16 b 3.5 0.1484 甲品种产量：，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示（不完整）． （1）补全如图的折线统计图（图中要写上数据）； （2） ， ； （3）从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由． 23. 中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为__________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率． 24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 25. 如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 26. 某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为： ，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： （1）求日销售量与时间的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 27. 如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 28. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中， ， 分别是，的中点，连接． （1）矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， （2）如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． （3）如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一次模拟考试 初三数学试卷 本卷满分：150分 考试时闻：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 计算的结果是 （ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，熟练掌握和运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算是解决本题的关键． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 3. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，正方形中， E、F是对角线上两点， 连接、、、，则添加下列哪个条件可以判断四边形是菱形 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质，可判定，由全等三角形的性质得出，同理可得出，加上则，故四边形是菱形． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴当，有，则四边形是菱形． 故选A． 5. 由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查三视图，根据左视图的定义画出左视图即可． 【详解】解：组合体的左视图为： 左视图的面积为， 故选：C． 6. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 7. 我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 8. 如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，根据正方形的性质得出，进而求得E的坐标，根据勾股定理求得，即可求得，通过证得，求得，从而求得F的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式和折痕所在直线解析式，联立成方程组，解方程组即可求得点H的坐标． 【详解】解：设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， 由折叠可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 解得或， ∴折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点H的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，求得E、F的坐标是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可知， 故答案为：． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据公式计算即可求解 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为， 故答案为：． 12. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，根据点Q在x轴上，得到，计算即可，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将P点向上平移2个单位到Q点， ∴， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴P点坐标为． 故答案为： 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14. 如图，是的弦，O是圆心，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，， 则的度数是________． 【答案】##78度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质，解本题的关键是根据折叠的性质得出，再利用圆内接四边形的性质即可． 【详解】解：如图，翻折，点A落在处， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为： 15. 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 16. 小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案． 【详解】解：如图，∵且， ∴，， ∴在正方形内，包括边界； 当一次函数过时， ， 解得：， 如图，当一次函数过时， ∴， 解得：， ∵， ∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为： 且； 故答案为：且． 17. 如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 18. 如图， 矩形 中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D 运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接相交于O，取的中点H，连接，由，可知G点在以H为圆心，为直径的圆上运动，求出的长即为的最大值． 【详解】解：连接相交于O，取的中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D运动， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴O是对角线的交点， ∵， ∴， ∴G点在以H为圆心，为直径的圆上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点H作交于M点， ∴， ∴， ∴的值最大为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：，并在数轴上表示解集． 【答案】 解：， 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 数轴表示如下： ∴不等式组的解集为： ． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，再求出其公共解集即可． 【详解】略． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】（1）如图所示：直线是的垂直平分线； （2） 【解析】 【分析】本题考查心规基本作图—作线段垂直平分线、解直角三角形、含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及含30度直角三角形角所对的边是斜边的一半是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据含30度直角三角形的性质和解三角形即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 在中， ∴． 22. 某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析，给出了下列部分信息、 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 3.2 a 0.2944 乙品种 3.16 b 3.5 0.1484 甲品种产量：，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示（不完整）． （1）补全如图的折线统计图（图中要写上数据）； （2） ， ； （3）从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由． 【答案】（1）补全折线统计图如下： ． （2）， （3） 该基地应推广种植乙品种的枸杞，理由如下： ∵甲、乙品种的平均数相同，甲品种的方差为，乙品种的方差为，且， ∴乙品种的产量更稳定， ∴该基地应推广种植乙品种的枸杞． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数与众数、方差、折线统计图等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用平均数公式求出乙品种第七棵的产量，据此补全折线统计图即可得； （2）根据中位数和众数的定义求解即可得； （3）从平均数和方差的角度，平均数相同，选择方差小的品种即可得． 【小问1详解】 解：设乙品种第七棵的产量为千克， 则， 解得． 补全折线统计图如下： ． 【小问2详解】 解：甲品种的10个数据中，数据出现了3次，出现的次数最多， 所以其众数； 将乙品种的10个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∵排在第5位和第6位的数是，， ∴中位数； 故答案为：，． 【小问3详解】 略 23. 中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为__________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式即可求解； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有1种， ∴小明选择的是“竹”的概率为； 【小问2详解】 解：将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有6种， ∴小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为． 24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 【答案】（1）屋顶到横梁的距离为 （2）房屋的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）根据题意得出，，解即可得出答案； （2）过点作于点，设，得出，，得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ， 答：屋顶到横梁的距离为． 【小问2详解】 解：过点作于点， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为． 25. 如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线； （2）连接．解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 26. 某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为： ，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： （1）求日销售量与时间的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，为整数） （2）第天的日销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设日销售量与时间的函数解析式为，根据图象把，代入即可求解； （2）设日销售利润为为元， 则，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：设日销售量与时间的函数解析式为，将，代入，得， ，解得， ∴（，为整数）； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元， 则， ①当时， ， ∵， ∴当时，有最大值元； ②当时， ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∵， ∴第天的日销售利润最大，最大利润为元． 27. 如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P点坐标（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 【解析】 【分析】(1)将A，B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式； (2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理表示出DC，DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标； (3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似时，根据对应边不同进行分类讨论： ①当OC与CD是对应边时，有比例式，能求出DP的值，又因为DE=DC，所以过点P作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG，PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标； ②当OC与DP是对应边时，有比例式，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点G，利用比例式求出DG，PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件的4个P点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）， ∴，解得， 故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）令x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3， 则点C的坐标为（3，0）， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4）， 设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F（如下图）， ∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12， ∵DC=DE， ∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1， ∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3） ∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO=DF=3，DO=EF=1， 根据勾股定理，CD==， 在△COD和△DFE中， ∵， ∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF=∠DCO， 又∵∠DCO+∠CDO=90°， ∴∠EDF+∠CDO=90°， ∴∠CDE=180°﹣90°=90°， ∴CD⊥DE，①当OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴，即=， 解得DP=， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则，即， 解得DG=1，PG=， 当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0， 所以点P（﹣，0）， 当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2， 所以，点P（，﹣2）； ②当OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴，即=， 解得DP=3， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则，即， 解得DG=9，PG=3， 当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8）， 当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10）， 综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 28. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． （1）矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， （2）如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． （3）如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）是 （2）， （3） 解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ． （4）或 【解析】 【分析】（1）先算出矩形的长和宽，再验证长与宽的比； （2）在直角三角形里，用三角函数算出，从而得到旋转角，再用的长度减去的长度，得到； （3）过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （4）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（3）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【小问1详解】 解：， ， 、分别是，的中点， ， ， ∴矩形是标准矩形． 【小问2详解】 解：当恰好经过点时， 中，，， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（3）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $