第15章 分式-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第15章 分式及其基本性 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列是分式的是( m号 4 B. C.3 x+1 D. 2 2.已知分式M满足下列表格中的信息：则分 式M有可能是( ) x的值 0 1 2 3 M的值 P 无意义 0 Q x-2 A B.-1 x-1 “x-2 C.*1 D.-3 x-1 3.若x,y的值均扩大为原来的2倍，则下列分 式的值保持不变的是( 2+x 2+x A. B. C.2 D.- x-Y xy x-Y 4.下列分式中，属于最简分式的是( A.2m m2-n2 B 10mn m+n C.mitn? 2a m+n b 5若已知分式，。二化简后的结果为-1， 则口内的运算符号为( A.+ B.- C.× D.÷ 6.学习情境·墨迹污染小张同学在化简分式 时得到的结果为 ,口部分不小心被 x2-4 x+2 墨水弄脏了，请你推测口部分的代数式应 该是( A.x+2 B.(x-2)2 C.x-2 D.(x+2)2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 分式 质、分式的运算 测试分数：70分 7.已知A=6 ,B=11 x2- ,+33x则1，B的关系 为() A.A=B B.AB=1 C.A+B=0 D.不能确定 8.数学思想·数形结合如图，数轴上有两点 A,B,表示的数分别是m,n.已知m,n是两 个连续的整数，且m+n=-l,则分式m2-2m m-1 m —的值为( 1-m A B A.-1 B.1 C.3 D.-3 二、填空题（每小题3分，共15分） 9.新考法·开放性试题有一个分式，两位同学 分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不 可能为0；乙：当x=-2时，分式的值为1.请 你写出满足上述全部特点的一个分 式： 0分式与b2。的最简公分母 2a'c 是 11.数学思想·整体思想若a+b=2,则代数式 2b 。的值是 +h。”的运算结果是整式，写出 12.若）a 一个“()”内可能的式子： 13.跨学科试题·物理照相机成像应用了一个 重要原理，用公式+刀来表示， 其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体 到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的 距离.已知f,u,则v= 年级下·ZBH·数学第1页 三、解答题（共31分） 5 14.(10分)先化简，再求值：（x2x-2)÷ :6x+9+,再从-1<x<4的范围内选取 一个整数值代入求值， 15.（10分)小明和小华在学完“分式”这一章 后，想用已经学到的知识做游戏.如图所 示，他们各准备三张卡片（互相可以看到 对方的卡片)，两人各自从自己的卡片中 任选两张分别作为分子和分母，组成一个 分式，然后两人均取一个相同的x值，分别 代入计算分式的值，值大者为胜.为了使分 式有意义，他们规定x是大于4的正整数. (1)小明组成的分式中值最大的 是 ,小华组成的分式中值最 大的是 (2)小华经过思考发现了如何组成值最大 的分式的规律，哈哈一笑，说：“虽然我是 三张带减号的卡片.但下一局一定是我获 胜”.小华说的有道理吗？请你通过计算 说明. 小明的卡片：小华的卡片： x+2x+3x+4x-2x-3x-4 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 16.学科素养·应用意识(11分)仔细阅读下 面的材料并解答问题： 例题：当：取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得二>0，则有①-0 或② 2x-1 2x-1>0 20解不等式组①得<1，解不等 1-x<0 式组②得不等式组无解，放)<1当号 <x<1时，分式1x的值为正 2x-1 依照上面的方法解答问题： (1)当x取何值时，分式3a+2的值为负？ x-2 《②)当x取何值时，分式的值 为负？ 年级下·ZBH·数学第2页 可化为一元一次 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分）》 1.下列关于x的方程中，是分式方程 的是() A.3x=2 B. +1x-2 =2 D.x-3y=4 x+1 2解分式方程2+2=4时，去分母 后得() A.3-x=4(x-2) B.3+x=4(x-2) C.3-x=4(2-x) D.3-x=4 3若方程的解为=6，则网的值 是( ) A.0 B.3 Q、3 D.1 4.生活情境·港珠澳大桥粤港澳大湾区拥有 密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通 道、虎门大桥等.一辆跨境货车从珠海前往 香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里）， 若货车的平均速度提高10km/h,则通行时 间可减少0.1小时.设货车原来的平均速度 为xkm/h,则可列方程为( ) A.5555 5+2=0.1 B.555 x-10x x+10x 0.1 C.5555 一十 =0.1 D.5555 -=0.1 xx+10 xx+10 5.学习情境·课堂讨论数学课上，李老师在黑 板上写了关于x的分式方程，51，让同学 们讨论该分式方程的解.A同学说：当m<-5 时，方程的解为负数；B同学说：当m>-5 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·) 方程的分式方程 测试分数：60分 时，方程的解为正数.关于两位同学的说法， 正确的是( ) A.A,B同学都答对 B.A,B同学都答错 C.只有A同学答对 D.只有B同学答对 6.若关于x的分式方程7，+m心-3无解，则 x-11-x m的值为() A.3 B.7 C.±7 D.3或7 二、填空题（每小题3分，共12分） 7.若代数式3与代数式2的值相等，则 x+2 x-1 8.新考法·开放性试题写出一个以x=2为根 且可化为一元一次方程的分式方 程是 9.文化情境·数学文化《九章算术》中有一道 关于古代驿站送信的题目，其白话译文为： 一份文件，若用慢马送到800里远的城市， 所需时间比规定时间多1天；若改为快马派 送，则所需时间比规定时间少2天，已知快 马的速度是慢马的号倍，则规定时间 为 天 10.新定义若关于x的分式方程”=b的解为 b我们就说这个方程是“和解方 1 x=- 程”，比如：2=-4就是一个“和解方程 如果关于x的分式方程”=3-n是一个 “和解方程”，则n= 、年级下·ZBH·数学第3页 三、解答题（共30分） 11.（10分)解分式方程： (1)x-1=2x x+1 3x+3 29 12.（10分)王涵想复习分式方程，由于印刷问 题，有个数9”看不清她：22 (1)她把这个数“？”猜成-2，请你帮王涵解 这个分式方程； (2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x =3是方程的增根，原分式方程无解”，请 你求出原分式方程中“？”代表的数是 多少？ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·) 13.（10分)综合与实践 【问题情景】依托地理品牌与历史记忆，岳 阳着手塑造“洞庭渔火季”文旅品牌，举办 烟花秀、夜市、音乐节等一系列特色活动， 旅游业火爆出圈.某商店老板购进冰箱贴 和手提包两种文创产品进行销售.已知用 750元购进手提包的数量比用500元购进 冰箱贴的数量少20个，且手提包进价是冰 箱贴进价的2.5倍.求冰箱贴和手提包的 进价各是多少元？ 【问题解决】(1)根据题意，小林同学列出 如下方程： .500 小林同学：50025×x,解得x=50,经 检验x=50是原方程的解，且符合题意. 小林同学所列方程中的x表示 【方法迁移】(2)小桂同学有不同的解法， 若他设每个冰箱贴的进价是y元，请你帮 他完成解答 【拓展应用】(3)由于文创产品销售火爆， 该老板再次以同样的价格进购商品.若购 进冰箱贴的数量比手提包的数量的2倍少 3个，且购进冰箱贴、手提包两种文创品的 总资金不超过1320元，则最多可以购进 手提包多少个？ 入年级下·ZBH·数学第4页 零指数幂与 测试时间：25分钟 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.若(x-2)°=1成立，则x的取值范 围是() A.x=-2 B.x=2 C.x≠0 D.x≠2 2.跨学科试题·语文“冲天香阵透长安，满城 尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的 花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们 喜爱.人们能够闻到花香，是花的香味分子 不断挥发向四周扩散的结果.已知菊花香 味分子的平均直径约为0.75纳米，且1纳 米=0.000000001米，将菊花香味分子的 平均直径换算成以“米”为单位后，用科学 记数法表示正确的是() A.0.75×109米 B.7.5×10-9米 C.7.5×10-10米 D.75×10-10米 3.在算式(-3)口(-4)2×1-1中的“口”里 填入一个运算符号，使得它的结果 最小() A.+ B.- C.× D.÷ 4.新定义现定义一种新运算：如果a=N,那 么log。N=x.如由23=8可知1og28=3,由23 -日可知1gg=-3,那么1gm1+e写 =() A.2023 B.0 C.1 D.-1 二、填空题（每小题3分，共9分） 5若(a子)无意义，则。1= 6.若a=(-)2,b=(-1)1,c=(1-7)°，则a, b,c的大小关系由大到小是 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 负整数指数幂 测试分数：40分 m个0 7.某种颗粒物的直径约为0.000314米，该 数值用科学记数法表示为3.14×10”米，则 m+n的值为 三、解答题（共19分）》 8.(10分)计算： （)02024-m°-（分+131+9： (2)4+(m-2)°--5+(-1)20+(3)2 9.跨学科试题·生物(9分)世界上最小的开花 结果植物是无根萍，这种植物长为0.0006m, 宽为0.00033m,它的果实像一粒微小的无花 果，质量只有0.00000005g. (1)用科学记数法表示上述三个数据： (2)一个橘子的质量约为70g,一个橘子的 质量相当于多少粒无根萍果实的质量？ 八年级下·ZBH·数学第5页30 关系式为y,= …(5分) 设直线AC的解析式为y2=kx+b,将C(-5,6),A(0,1)代 人科化的=6解得信三…直线4C的解斩式为% -x+1; …(7分) (2)-20<k<-4 …(9分) 22.解：(1)设A种型号自行车的进货单价是x元，则B种型号 自行车的进货单价是(x+600)元，由题意，得5000.8000 x+600 解得x=1000,经检验，x=1000是原方程的解且符合题意， x+600=1600.答：A种型号自行车的进货单价是1000元，B 种型号自行车的进货单价是1600元. …(4分)》 (2)设购进A种型号自行车m辆，则购进B种型号自行车 (50m)辆，由题意，得50-m≥mm≤100设该商店 3 利润为w元，由题意，得0=(1500-1000)m+(2000-1600) (50-m)=100m+20000. …(7分)》 100 .100>0,.w随m的增大而增大..m≤ 3 且m为正整 数，.当m=33时，0有最大值，0最大=100×33+20000= 23300,50-m=17.答：该商店购进A型自行车33辆，B型 自行车17辆能获得最大利润，此时最大利润是23300元. …(10分) 23.解：(1)②④ …(2分) (2)四边形EFGH为正方形， …(3分)》 理由如下：由题意，得AC=BD,EH=FG=了D,EF=HG: AC,EH/BD,EF∥AC,又AC=BD,EH=FG=EF= 1 HC,四边形EFGH是菱形， …(5分) 又.AC⊥BD,∴.EF⊥EH,∴.∠FEH=90°，∴.四边形EFGH 是正方形： …(8分) (3)1或 …(10分) 4 【解析】分以下两种情况：①当点D在AB的上方时，如图 1,E,F,G,H分别是等角线四边形ABCD四条边CD,AC, AB,BD的中点，对角线AD=BC,且AD⊥BC,由(2)可知 形EFGH为正方形，且EF=EH=FG=6M=)BC 铺 、、号×号=121②当点D在AB的下方时，如图2，同理可 程，B=BH=fG=CM=AB=9号x号=169， 1 22×2=4;综上所 述，以A,B,C,D为顶，点的等角线四边形的中点四边形的 答案 面积为121或16 4 图2 《铺路帮手》答案 第15章分式 分式及其基本性质、分式的运算 1.C2.A3.C 4心【解折】A品品故A不合超意，B四 1 m+n (m+n(m-n）=m-n,故B不合题意；D.20= ,故D不合 m+n a 题意.故选C 5B【得折]A名6品-片B品6日 a-6a6-1,C.6 a-b 追梦之旅铺路卷·八年级 a ab 6(a-6),D. 6a=。故选B. a-b a-b a 6.B 6+1+1 6 7.C【解析】A+B=-)+x+3+3行(x+3)(x-3) 6 。(x+3)(x-3)0,故选C. 8.D 2(答案不唯-）10.60262.11.1 9.- 12.a2+ab(答案不唯一） fu u-f 14解：(0原式三22)÷-3》+。=+3七= ÷x-2+x-3-3x-3 3 -3-20,x-3≠0，x≠2且x≠3，x=0或1，当x 1时原式=高（客案不-） 15解：(1)+4-2 x+2x-4 (2)小华说的有道理，理由如下：子 (x-4)(x+2)”x是大于4的正整数，(+2)(x-4)>0, 12 小中2品。0导子2小华说的有道理 12 16怎：()依题意得子0，则有0或20， 解不等式组①得不等式组无解，解不等式组②得- 3x< 2肖号<2时，分式的值为负 2,故、2 问)版题意得字是020则有 x-3 .x-3 (x-3<0 。(x-3>0 ①x>0或②x<0,解不等式组①得0<x<3且x≠1， (x-1≠0(x-1≠0 解不等式组②得不等式组无解，故0<x<3且x≠1..当0< <3且x≠1时，分式2的值为负. 可化为一元一次方程的分式方程 1.C 【归纳总结】判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方 程的分母中是否含有未知数 2.A 3C【解标方程号3的解为=6，：将x=6代入3 气名高年样m受这C 3 4.D5.C 6.D【解析】分式方程两边同乘以(x-1),得7-mx=-3(x- ,解得x三43该方程无解，“=3 4是增根或m-3= 01=0或m=3,即写=1，解得m=7,综上，m的值为 3或7.故选D. 7.783-6=0(答案不唯-) 9,11【解析】设规定时间为x天，由题意得：800-800×4 x-2x+1X3 解得x=11,经检验，x=11是原方程的解，且符合题意，即规 定时间为11天. 下·ZBH·数学第17页 10.3 【解析]解方程生=3-n得=3”。：关于x的分式方 程”=3-n是一个“和解方程”，3-nn+(3-m 1 ,解得n =4,经检验n=子是方程 3 3 3nn+(3-n的解. 11.解：(1)方程两边都乘以3(x+1),约去分母，得3x-3(x+ 1)=2x解这个整式方程，得：=-子检验：把x=2代入 3 3 3(x+1),得3x(-2+1)≠0.·x=-2是原方程的解； (2)方程两边都乘以x(x-1),约去分母，得(x+5)-6x=3 (x-1).解这个整式方程，得x=1.检验：把x=1代入x(x 1),得1×(1-1)=0..x=1是原方程的增根，∴.原方程无 解 12.解：(1)方程两边都乘以(x-3),约去分母，得x=2(x-3)- (-2).解这个整式方程，得x=4.检验：把x=4代入(x 3),得4-3≠0，∴.x=4是原方程的解； t32、 (2)设原分式方程中“？”代表的数为m,则有 x-3 方程两边同乘以(x-3),得x=2(x-3)-m.x=3是原分 式方程的增根，∴.把x=3代入上面的等式，得m=-3,…原 分式方程中“？”代表的数是-3. 13.解：(1)500元购进冰箱贴的数量 （2)由题意，得每个手提包的进价是2.5y元，列方程，得 500750 =20,解得y=10,经检验，y=10是原方程的解」 y2.5y 且符合题意，∴.2.5y=25.答：每个冰箱贴的进价是10元， 每个手提包的进价是25元： (3)设购进m个手提包，则购进(2m-3)个冰箱贴，根据题 意得25m+10(2m-3)≤1320，解得m≤30，.m的最大值 为30.答：最多可以购进手提包30个. 零指数幂与负整数指数幂 1.D【解析】由题意得x-2≠0，解得x≠2.故选D. 2.C3.D4.D5.3 6.>c>6解桥]a=(-之)产9 4,6=(-1)1=-1,c= (1-7°=1骨>1-1a>e6 9 7.0 8.解：(1)原式=1-4+3+3=3； (2)原式=2+1-5+1+9=8. 9.解：(1)0.0006m=6×104m,0.00033m=3.3×104m, 0.00000005g=5×108g; 70 (2)5x101.4x10(粒)，答：一个橘子的质量相当于1.4 ×10°粒无根萍果实的质量. 第16章函数及其图象 变量与函数 1.D2.C3.B4.35.1026 6.解：(1)所挂物体质量x弹簧的长度y(2)415 (3):每增加10，y增加3，y=3×0+6=03x+6,当)= 30时，0.3x+6=30,解得x=80,∴.当弹簧长度为30厘米时， 所挂物体的质量为80千克. (4)4.2 函数的图象 1.D2.C3.D 4.（5,1)或(-1,1)【解析】·ABx轴，点A的坐标为(2， 1),A、B两点纵坐标都是1.又AB=3,.当B,点在A,点 左边时，B的坐标为(-1,1)；当B,点在A点右边时，B的坐 标为(5,1).综上所述，点B的坐标为(5,1)或(-1,1). 5.2或4或10【解析】由图可知：AB=90km,甲、乙两车3小 时相遇，∴.v甲+vz=90:3=30(km/h).,甲车5小时到达B 地，.甲的速度为90÷5=18(km/h),.乙的速度为30-18= 12(k/h),当两车相遇前相距30千米时，依题意得18x+ 12x=90-30,解得x=2;当两车相遇后甲车未到B地，相距 追梦之旅铺路卷·八年级 30千米时，依题意得18x+12x=90+30,解得x=4;当甲到达 B地掉头后，相距30千米时，依题意得18x-90=12x-30,解 得x=10.综上所述，则两车出发2小时或4小时或10小时 后相距30千米. 6.解：(1)任意实数任意实数 271127 (2)-41622164 (3)函数图象如下： -1--- 3-- 543120】 2 次函数 1.C 2.C【解析】.y=-2x+4,k=-2<0,b=4>0,∴.图象经过第 一、二、四象限，y随x的增大而减小，故AB正确；当y=0 时，-2x+4=0,解得x=2,∴.图象与x轴交于(2,0)，故C不 正确；当x=0时，y=4,∴.图象与y轴交于(0,4)，故D正 确.故选C. 3.D4.B 5.B【解析】.k=3>0,.y随x的增大而增大，又.点(-3， y1),(1,y2),(-1,y3)都在直线y=3x-b上，且-3<-1<1，. Yy1<Jy3<y2·故选B. 6.A 7.B【解析】设一次函数的表达式：y=kx+b,把(0,12)，（2， 16)代入，得16解得化2弹簧总长y关于所 挂物体质量x的函数表达式为y=2x+12,把x=6代入y=2x +12,得y=24.故选B. 8.1 9.-16【解析】小y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象 平行，∴.k=2,:y=x+b的图象经过点A(2,-4),.2×2+b= -4,解得b=-8,.b=2×(-8)=-16. 10.-3≤b≤2【解析】把C(1,3)代入y=x+b得1+b=3,解得 b=2,把B(4,1)代入y=x+b得4+b=1,解得b=-3,所以当 直线y=x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是-3≤b≤ 铺 2. 路 11.5【解析】设秤砣到秤纽的水平距离ycm与所挂物重xkg 之间的函数解析式为y=kx+b,由题意可得，当x=0时，b= 手 25,当=1时，=8化62每将伯=55+ 2.5,当y=30时，30=5.5x+2.5,解得x=5,即当秤砣到秤 案 纽的水平距离为30cm时，秤钩所挂物重为5kg. 12.-1【解析】直线l1:y=-2x+3中，令y=0,则-2x+3=0,解 得x=3 3 A( ,0).S640B= + a=,y=-3,把y=-3代入y=-2x+3得，3=-2公 +3,解得x=3,B(3,-3).直线l2:y=kx(k<0)交直线 11于点B,.-3=3k,解得k=-1. 13.解：(1)把(0,0)代入，得m-3=0,解得m=3; (2)根据这个一次函数y随x的增大而减小说明k<0,即 1 2m+1<0,解得m<-2 (3)若图象经过第一、三象限，则m-3=0,解得m=3.若图 象经过第一、二、三象限，则0，解得m>3,综上所 述，m≥3. 14.解：(1)将C(a,4)代入y=-2x中得-2a=4,解得a=-2, C(-2,4),将A(-6,0),C(-2,4)代入y=x+b得 {仁-办解相化=6直线4的表达式为y=+6: 下·ZBH·数学第18页