专顶总结突破卷（三、四）平行四边形-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

铺路卷 追之旅 ZBH·(八年级数学下 艹为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（三） 平行四边形的性质与判定、折叠和动点问题 题型一平行四边形的判定与性质 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E在边AB上， 请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选 组作为已知条件，解决下列问题： (1)求证：四边形BCDE为平行四边形； (2)若AD⊥AB,AD=6,AE=√2，求线段BC的长， i 9 南 2.在△ABC中，AB=AC,点D在BC边所在的直线上，过点D作DE ∥AC交直线AB于点E,DFAB交直线AC于点F. (1)当点D在BC边上时，如图1，求证：DE+DF=AC; (2)当点D在BC边的延长线上时，如图2；当点D在BC边反向 延长线上时，如图3，请分别写出图2、图3中DE,DF,AC之间的 爵 数量关系，不需要证明； 郡 (3)若AC=6,DE=2,则DF= 图 图2 图3 题型二平行四边形中的翻折问题 3.如图，将口ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD 于点F,若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数 为() A.40° B.50° C.60° D.80° 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=12,将△ACD沿对角 线AC折叠得到△ACE,AE与BC交于点F,当F恰好为BC的中 点时，则平行四边形BC边上的高为 5.数学思想·分类思想如图，在☐ABCD中，AB=√32，BC=10,∠A =45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到 △FEB,设BF与AD交于点M,当BF与□ABCD的一边垂直时， DM的长为 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC,点E、F分别在AD、BC 上，沿EF折叠平行四边形，使点A、C互相重合，点B落在点G 的位置 (1)连结GF,CE,求证：△CED≌△CFG; (2)若∠BCD=130°，求∠AEF的度数. 题型三探究动点问题 7.如图，口ABCD中，点E在BC上运动，连结AE、DE,以AE、DE为 邻边作口AEDF,当E从B向C运动时，口AEDF的面积 将() A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先增大再减小 D.不变 第7题图 第8题图 8.如图，在平行四边形ABCD中，AD=6,E为AD上一动点，M,N 分别为BE,CE的中点，则MN的长为 9.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,BD⊥CD,AB= 6cm,BC=10cm.点E从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度 匀速运动，到点A时停止运动，连结E0并延长交BC于点F,设 运动时间为ts. (1)当t为何值时，四边形EDCF是平行四边形？并说明理由； (2)当t=3s时，求四边形OFCD的面积 D 。23 铺路卷 恋之方旅 ZBH·八年级数学下 ”为期中、期末铺路艹为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（四） 特殊平行四边形的折叠和动点问题 题型一特殊平行四边形的折叠问题 1.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将菱形 纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C',且DC'是AB的垂 直平分线，则∠DEC的大小为( A.30 B.45° C.60° D.75° 2.如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折 叠至△AB'E处，B'E与AC交于点F,若∠EFC=69°，则∠CAE 的大小为( A.10° ADT0B.12° C.14° D.15° D B E C 第2题图 第3题图 3.如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连结AE.将菱形沿直 线AE折叠，点B与点C重合.若菱形的边长为4，则AE的长 是() A.2 B.4 C.√12 D.√48 4.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动 点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE的长为 。24 5.如图，在正方形ABCD中，AB=12,E是AD边上的一点，将正方 形沿CE折叠，点D的对应点为点F,点G为AB的中点，当点F 恰好落在线段EG上时.求证： (1)∠ECG=45°； (2)AF∥CG. 6.一张矩形纸ABCD,将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕 CE交AB于点E.将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕 AF交DC于点F,折叠出四边形AECF. (1)求证：AF∥CE; (2)当∠BAC= 度时，四边形AECF是菱形？说明理由 D 题型二特殊平行四边形的动点问题 7.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE ⊥BC于点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为10，面积 为12.则PE+PF的值为( 易错 分析 B E 12 24 .5 C.3 D.48 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=24cm,BC=26 cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q 从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个 动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动 (1)从运动开始，运动几秒时，四边形PDCQ是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形APOB是矩形 些 做题 心得 9.如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线BD的中点，点E 为AD边上的动点，点F在CD边上，连结OE,OF,OE⊥OF. (1)求证：0E=0F. (2)当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积是否会发生 变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由5.-4<m≤-2【解析】：一次函数y=(m+4)x+m+2的图象 不经选第二泉限…0解得-4Km≤-2 6.-3【解析】根据题意，特征数为「t,t+3]的一次函数表达 式为y=x+(t+3).此一次函数为正比例函数，t+3=0, 解得t=-3. 7.D8.C9.B 10.8【解析1设A,B两点的坐标分别是A(点，m)、B( 2 m m m）,则SaMc=之·AB·4=2·mm 1 1k1k2 ·m=4,则 1k,-k21=8. 11.解：(1)把点A(4,3)代入反比例函数y=m得m=3×4= 12 12,反比例函数表达式为y= :0A=V32+4=5,0A =OB,∴.OB=5,∴.点B的坐标为(0，-5).把B(0,-5),A （4,3)代入y=+6得3解得信2 {6=-5一次函数 表达式为y=2x-5; (2)点C(0,5),B(0,-5),.0B=0C.PB=PC,点P 在x轴上点P在一次函数y=2x-5上令y=0,则2x -5=0,解得x=号点P的坐标为（子，0） 5 12.解：(1)设“喜洋洋”冰箱贴购进时的单价为m元，“乐融 融”冰箱贴购进时的单价为元，依题意，得 n”20解得0谷：“客洋洋冰箱斯则注时的 m-n=10 单价为50元，“乐融融”冰箱贴购进时的单价为40元； (2)依题意得y=50x+40(60-x)=10x+2400(0≤x≤60)； (3)设销售两种冰箱贴获得的利润为地元，依题意得心= (65-50)x+(50-40)(60-x)=5x+600,.5>0,∴.0随x的 增大而增大，依题意得y≤2900，即10x+2400≤2900，解得 x≤50，：x为非负整数，当x=50时，0取得最大值，w最大 =5×50+600=850(元)，此时60-50=10（枚），即商家购进 “喜洋洋”冰箱贴50枚，“乐融融”冰箱贴10枚时，所获利 润最大，最大利润为850元 追梦专项总结突破卷（三）》 1.解：（1)选择①∠B=∠AED;证明：，∠B=∠AED,∴.DE∥ CB,:AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形； (2).AD⊥AB,AD=6,AE=√2，∴.∠A=90°，在Rt△ADE 中，由勾股定理得：DE=√AE2+AD=√38..四边形BCDE 为平行四边形，∴.BC=DE=√38，.线段BC的长为√38. 2.（1)证明：.DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边 形，∴.DE=AF,∠FDC=∠B.又.AB=AC,.∠B=∠C, ∠FDC=∠C,∴.DF=FC,∴.DE+DF=AF+FC=AC; 解：(2)图2中：AC+DF=DE,图3中：AC+DE=DF (3)4或8 3.C4.√27 5.2或6【解析】如图1，当BF⊥AD时，，四边形ABCD是平 行四边形，.AD∥BC,BF⊥BC,.∠AMB=90°，：将 △AEB沿BE翻折，得到△FEB,∴.∠A=∠F=45°，∴.∠ABM =45°，.AB=√32，.AM=BM=4,.BC=AD=10,.DM= 10-4=6;如图2，当BF⊥AB时，：BF⊥AB,.∠A=∠EFB =45°，∠ABF=90°，.∠AEB=∠FEB,此时F与点M重合， AB=BF=√32，.AF=8,.DM=10-8=2.综合所述DM 的长为2或6. E FM D B B 0 图1 图2 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,∠BAD 追梦之旅铺路卷·八年级 =∠BCD,∠B=∠D,由折叠的性质可得，AB=CG,∠B= ∠G,∠BAD=∠GCE,∴.∠BCD=∠GCE,CD=CG,∠D= ∠G,.∠ECD+∠BCE=∠BCD,∠BCE+∠FCG=∠GCE,. ∠ECD=∠FCG,∴.△CED≌△CFG(ASA); (2)解：∠BCD=130°，四边形ABCD是平行四边形，∴.∠B= 50°，AD∥BC,AB=AC,∴.∠ACB=∠B=50°，∴.∠DAC= ∠ACB=50°，由折叠可知AC⊥EF,∴.∠AOE=90°，∴.∠AEF =180°-∠DAC-∠A0E=40°. 7.D8.3 9.解：(1)当t=2.5s时，四边形EDCF是平行四边形，理由如 下：.'AD∥BC,AD=BC=10cm,B0=D0,.∠ED0=∠FB0, I∠EDO=∠FBO 在△DEO和△BFO中， DO=BO ,.△DE0≌ N∠EOD=∠FOB 大 △BF0(ASA),∴.DE=BF=2.BC=10cm,.CF=(10-2t) cm.:CF∥ED,CF=ED,即10-2t=2t时，解得t=2.5s; 卷 (2)过点O作ON⊥BC于点N,:BD⊥CD,AB=6cm,AD= 案 10cm,由勾股定理，得BD=8cm,:Sac=2×6×8=24 (cm),点0为BD中点，心SAoc=2SABc=12cm.Sad =28C·0N=12cm,∴0N=24cm,当=3s时，DE=BF= 6cm,SAB07×2.4×6=7.2(cm2),Sa边形orcw=24-7 =16.8(cm2). 追梦专项总结突破卷（四） 1.D【解析】设AB与DC的交点为P.连结BD,四边形 ABCD为菱形，.AB=AD,∠A=60°，.△ABD为等边三角 形，∠ADC=120°，∠C=60°，.DC是AB的垂直平分线，∴ P为AB的中点，∴.DP为∠ADB的平分线，即∠ADP= ∠BDP=30°，∴.∠PDC=90°，.由折叠，得∠CDE=∠PDE= 45°，在△DEC中，∠DEC=180°-60°-45°=75.故选D. 2.B3.C 4或10【解析】分两种情况：①如图1，当点D在矩形内 部时，点D'在AB的垂直平分线MW上，.AN=4.AD'= AD=5,由勾股定理得D'N=3,∴.D'M=2.设DE为x,则EM =4-x,D'E=x,在Rt△EMD'中，由勾股定理得x2=(4-x)2+ 2,解得=子，即DB的长为子②加图2，当点D在矩形 外部时，同①的方法可得D'V=3,.D'M=8,设DE为y,则 EM=y-4,D'E=y,在Rt△EMD'中，由勾股定理得y2=(y- 4)2+82,y=10,即DE的长为10.综上所述，点D'刚好落 在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为？或10， D」 D.- B M D 图1 图2 5.证明：(1)由折叠知，CD=CF,∠D=∠CFE=90°，∠DCE= ∠FCE.四边形ABCD是正方形，CB=CD=CF,在Rt △BCG和Rt△PCG中，{CGGG△BCG≌RE△FCG (HL),∴.∠BCG=∠FCG,∴.∠ECG=LFCG+∠FCE= 7∠BCD=45,即LECG=45 (2)由(1)知Rt△BCG≌Rt△FCG,∴.GF=BG=AG,∠CGF= ∠CGB,∴.∠GAF=∠GFA,.∠BGF=∠CGF+∠CGB= ∠GAF+∠GFA,∴.∠CGF=∠CGB=∠GAF=∠GFA,∴.AF∥ 下·ZBH·数学第12页 CG. 6.（1)证明：，四边形ABCD为矩形，∴.AD∥BC,∴.∠DAC= ∠BCM,由翻折知，∠DMF=∠HMF=是∠DMC,∠BGE= LMCE=号LBCA∠HAF=∠MCE,AF/EB; (2)解：30理由如下：，四边形ABCD是矩形，.∠D= ∠BAD=90°，AB∥CD,由(1)得AF∥CE,∴.四边形AECF是 平行四边形，：∠BAC=30°，.∠DAC=60°，∠ACD=30°，由 折叠的性质得∠DAF=∠HAF=30°，∴.∠HAF=∠ACD,AF= CF,.四边形AECF是菱形. 7.B 8.解：(1)设运动t秒，由题意得，AP=tcm,CQ=3tcm,AD= 大 24cm,BC=26cm,..PD=(24-t)cm,BO=(26-3t)cm,.'AD ∥BC,当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.∴.24-t= 3t,解得t=6,则从运动开始，运动6秒时，四边形PDCQ是 案 平行四边形； (2).∠B=90°，APBQ,当AP=BQ时，四边形APQB是矩 形，∴.t=26-3t,解得t=6.5,则运动6.5秒时，四边形APQB 是矩形. 9.解：(1)过点0作OM⊥AD于点M,ON⊥CD于点N,∴ ∠OMD=∠OME=LONF=90°，'：四边形ABCD是正方形 且边长为4，∴AB=BC=CD=AD=4,∠ADB=45°，∠ADC= ∠C=90°，∴.∠OMD=∠ADC=∠0NF=90°，.四边形 OMDN是矩形，.∠OMD=90°，∠ADB=45°，.△OMD是 等腰直角三角形，.OM=DM,∴.矩形OMDN是正方形， OM=ON,∠M0N=90°，，OE⊥OF,.∴.∠E0F=∠MON= 90°，∴.∠EOM+∠MOF=∠MOF+∠FON,∴.∠EOM= I∠OME=∠ONF ∠FON,在△EOM和△FON中，{OM=ON (∠EOM=∠FON △EOM≌△FON(ASA),.∴.OE=OF: (2)四边形OEDF的面积不会发生变化，始终等于4，理由 如下：.∠ONF=∠C=90°，∴.ON∥BC,.点O为对角线BD 的中点，ON是△DBC的中位线，∴ON=)BC=2,.正方 形OMDN的面积为4，由(1)可知：△EOM≌△FON,. S△BOM=S△FON,.S四边形0EDF=S△BOM+S四边形ONDP=S△PON+ S四边形OMDF=S正方形0MDN=4. 追梦专项总结突破卷（五） 1.解：(1)由题可知C(0,2).设直线AC的解析式为y=x+b, y=x+b的图象过点C(0,2)和A(3,0),3+b=0:解 2 得)k=-。.直线AC的解析式为y3+2. (b=2 （2)设点P的坐标为(0，m),Sm=20C.0A,0C=2, 2 OA=3,".SAco=3,SAcAP=- SAcOSAC=2,Sc= 2cP·0A= 2 10 2×1m-21x3=2,解得m=了或m= 3,..P (0,子)或0，号. 10、 2.解：（1).·由旋转，得BC=CD,∠BCD=90°，.∠BC0+ ∠DCE=90°，.DE⊥x轴，∴.∠DEC=90°，∴.∠CDE+∠DCE =90°，∠BC0=∠CDE,又：∠DEC=90°=∠C0B, △BOC≌△CED(AAS); 1 (2):直线y=3+4与x轴、y轴分别交于AB两点，当x =0时，y=4,∴.B(0,4),∴.0B=4,设C(m,0),则0C=m, △B0C≌△CED,∴.CE=OB=4,DE=OC=m,∴.OE=m+4,∴ D(m+4,m),将点D代入直线y=- 3x+4上，m= 追梦之旅铺路卷·八年级 3(m+4)+4,解得m=2,D(6,2)3 (3)存在，点0的坐标为(8，手)或(-4,5)或(4，). 【解折1(2)如m=2.C(2,0),设P(0,p).Q,子+ 4),①当CD为对角线时：2+6=0+，t=8,Q(8,号)；② 当CP为对角线时：02=6+t=-4,Q(-4,);③当 0P为对商线时：610=2+，=4，Q(4,):综上08， 子x0-4,9x04,. 3.解：(1)点A的坐标为(-3,4)，.0A=5,即C点的坐标为 (5,0),设直线AC的解析式为y=x+b,将点A(-3,4),C (5,0)代入解折式y=板+6，得{504，解得 k2 5 \b2 六直线4C的解折式为：=子+子，令=0得：y之，即 1.5 期4 OM=5 (2)设点M到BC的距离为h,由S6c=SAam+SABa,即 ×5x45×+宁×5=①当P在直线上 号：50130@当P题动 运动时S=1 1 55.25 到直线BC上时S=2(-5)×241(5<≤10)，故S （3+15(0≤t5) 4+4 = 525 4t4(5c≤10) (3)当1=1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形， 【解析】①当MB=MP时，点A的坐标为(-3,4)，AB=5, MB=MP,MH⊥AB,.PH=BH,即3-t=2,.t=1;②当BP= BM时，即5-1=人（多）2+2，解得4三)综上所述，当=1 支)时，△PMB为以M为腰的等腰三角形 4.解：(1)26 (2)-6<x<0 (3)作AM⊥y轴，垂足为M,BN⊥AM交 MA的延长线于点N,.四边形OABC为 正方形，OA=AB,∠OAB=90°， ∠OAM+∠MOA=∠OAM+∠BAN=90° ∴.∠MOA=∠NAB,在△OMA和△ANB I∠OMA=∠ANB=90° 中，{∠MOA=∠NAB ,·.△OMA≌ OA=AB △ANB(AAS),∴.0M=AN=3,AM=NB=2,∴.B(5,1)代入反 比例函数y中，当x=5时，y=号≠1点B(5,1）不在 反比例函数图象上. 5.解：(1)四边形ABC0是矩形，∴.∠BA0=90°，0A=BC=6, OCAB,C2BABC3N1 6,1),点N在反比例函数y=兰（(s>0)上，1名，解 6 得k=6,.反比例函数的表达式为y=一； 下·ZBH·数学第13页