6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

§6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　 [课时目标]　1.了解柱、锥、台的表面积及侧面积公式.　2.能用公式解决简单的实际问题. 逐点清(一)　圆柱、圆锥、圆台的侧面积 [多维理解] 1.侧面积的概念 把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积 几何体 侧面展开 图形状 展开图度量与几 何体度量的关系 侧面积公式 圆柱 矩形的一边长为母线长,另一边长为圆柱底面周长 S圆柱侧=2πrl, r:底面半径, l:母线长 圆锥 扇形的半径为母线长,扇形的弧长为圆锥底面周长 S圆锥侧=πrl, r:底面半径, l:母线长 圆台 扇环的较短的弧长为圆台上底面周长,较长的弧长为圆台下底面周长 S圆台侧=π(r1+r2)l,r1,r2分别为圆台上、下底面半径,l为母线长 |微|点|助|解| (1)表面积:一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和,也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和,也称为全面积. (2)圆柱、圆锥、圆台侧面积公式间的关系 [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和. (　　) (2)圆锥的侧面展开图为扇形,其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长. (　　) (3)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√ 2.圆柱的母线长为5 cm,底面半径为2 cm,则圆柱的侧面积为 (　　) A.20π cm2 B.10π cm2 C.28π cm2 D.14π cm2 解析:选A　圆柱的母线长为5 cm,底面半径为2 cm,则圆柱的侧面积为S侧=2π×2×5=20π(cm2). 3.已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2+2πr·r=4πr2,圆锥的表面积为·2πr·r+πr2=(+1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为=.故选A. 4.如图,圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°. (1)求圆台母线AB的长度; (2)求圆台的表面积. 解:(1)设圆台的上底面周长为c cm,由于扇环的圆心角是180°,则c=π·SA=2π×10,解得SA=20(cm).同理可得SB=40(cm),AB=SB-SA=20(cm). (2)S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). 逐点清(二)　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 [多维理解] 几何体 侧面展开图形状 侧面展开图的构成 侧面积公式 直棱柱 矩形 S直棱柱侧=ch, c为底面周长, h为高 正棱锥 由全等的等腰三角形拼接而成 S正棱锥侧=ch', c为底面周长, h'为斜高 正棱台 由全等的等腰梯形拼接而成 S正棱台侧=(c1+c2)h', c1,c2分别为上、下底面周长, h'为斜高 |微|点|助|解| (1)对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加. (2)对于正棱锥和正棱台,其侧面积可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形. (3)棱锥、棱台的“斜高”与“高”:斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,正棱锥、正棱台的高是几何体的高. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)斜三棱柱的侧面积也可用cl求解,其中c为底面周长,l为侧棱长. (　　) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. (　　) (3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图不一定相同,但展开图的面积相等. (　　) (4)将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周,所得几何体的侧面积为4π. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高夹角的大小为30°,则该四棱锥的侧面积为 (　　) A.32 B.48 C.64 D. 解析:选A　如图所示,在正四棱锥P⁃ABCD中,连接AC,BD交于O点,连接PO,取BC的中点E,连接PE,OE,易知PO为正四棱锥P⁃ABCD的高,PE为斜高,则OE=PE,因为OE=AB=2,所以PE=4,则S侧=4××4×4=32. 3.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为 (　　) A.90+72 B.90+27 C.90+72 D.90+27 解析:选A　如图,由题意可得,上底面的面积为9,下底面的面积为81,侧面的高为=3,所以该正四棱台的表面积为9+81+4×=90+72. 4.如图,底面为菱形的直棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8,则棱柱的侧面积为_________. 解析:设直棱柱的底面边长为x,侧棱长为h, 则有AC=,BD=.∵底面ABCD为菱形, ∴AC与BD互相垂直平分.∴x2=+=, ∴x=.∴S侧=4xh=4××h=20. 答案:20 逐点清(三)　组合体的表面积 [典例]　(1)某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为 (　　) A.20 B.4+12 C.16 D.4+8 (2)如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知,底面圆的直径AB=12 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=4 cm,则这个陀螺的表面积(单位:cm2)是 (　　) A.(144+12)π B.(144+24)π C.(108+12)π D.(108+24)π 解析:(1)由题意,得正四棱锥P-EFGH的斜高为=2,该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4××2×2=20. (2)由题意可得圆锥体的母线长为l==2, 所以圆锥体的侧面积为·12π·2=12π, 圆柱体的侧面积为12π×6=72π, 圆柱的底面面积为π×62=36π. 所以此陀螺的表面积为12π+72π+36π=(108+12)π(cm2).故选C. 答案:(1)A　(2)C 　　|思|维|建|模| 求解组合体表面积的解题思路 　　求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的,将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后,先求这些几何体的表面积,再通过求和或作差,得到所求组合体的表面积.若遇到与旋转体有关的问题,应先根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长,再代入公式求解. 　　[针对训练] 1.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45°之后,表面积增加了 (　　) A.54 B.54-36 C.108-72 D.81-72 解析:选C　如图,转动了45°后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形, 设直角边为x,则斜边为x,则有2x+x=3,解得x=3-.由几何关系得阴影部分的面积为S1==-, 所以增加的面积为S=16S1=16=108-72.故选C. 2.仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器.该盘盘口微撇,弧腹,圈足.足底切削整齐.通体施玫瑰紫釉,釉面棕眼密集,美不胜收.仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体,其口径为15.5 cm,足径为9.2 cm,顶部到底部的高为4.1 cm,底部圆柱高为0.7 cm,则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为(参考数据:π的值取3,≈4.6) (　　) A.143.1 cm2 B.151.53 cm2 C.155.42 cm2 D.170.43 cm2 解析:选D　设该圆台的母线长为l,高为h,两底面圆的半径分别为R,r(其中R>r), 则2R=15.5 cm,2r=9.2 cm, h=4.1-0.7=3.4(cm), 所以l===≈4.6(cm),故圆台部分的侧面积为S=π(R+r)l≈3×(7.75+4.6)×4.6=170.43(cm2).故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $