6.4.1 直线与平面平行-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

§4　平行关系 4.1　直线与平面平行 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握直线与平面平行的性质定理,并会应用线面平行的性质定理证明线线平行. 2.掌握直线与平面平行的判定定理,并会应用线面平行的判定定理证明线面平行. 1.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 符号语言 l∥α,l⊂β,α∩β=a⇒l∥a 图形语言 作用 证明两条直线平行 |微|点|助|解| (1)线面平行的性质定理可简记为“若线面平行,则线线平行”.“线线平行”是“线面平行”的必要条件. (2)线面平行的性质定理中有三个条件:l∥α,l⊂β,α∩β=a.这三个条件缺一不可. (3)直线l平行于平面α,并非直线l和平面α内的所有直线都平行,直线l与平面α内的直线既可能平行,也可能异面,但绝不可能相交(不然直线l和平面α至少有一个交点,导致直线l和平面α相交或直线l在平面α内). 2.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒l∥α 图形语言 作用 证明直线与平面平行 |微|点|助|解| (1)线面平行的判定定理可简记为“若线线平行,则线面平行”.“线线平行”是“线面平行”的充分条件. (2)线面平行的判定定理中有三个条件:l⊄α,a⊂α,l∥a.这三个条件缺一不可. (3)要证明平面外的一条直线与此平面平行,关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行.通过直线间的平行,可以推证直线与平面平行,这是处理空间位置关系的一种常用方法,即把空间问题转化为平面问题. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l∥平面α,直线a⊂平面α,直线l与直线a一定平行. (　　) (2)直线a∥平面α,直线a⊂平面β,平面α∩平面β=直线b,则平面β有2个. (　　) (3)直线a∥平面α,直线a⊂平面β,平面α∩平面β=直线b,则a∥b. (　　) (4)如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行. (　　) (5)过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行. (　　) (6)如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× 2.直线a∥平面α,α内有n条直线相交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有 (　　) A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条 解析:选C　过直线a和n条直线的交点作平面β,设平面β与α交于直线b,则a∥b.若所给n条直线中有1条直线是与b重合的,则此直线与直线a平行;若没有与b重合的直线,则与直线a平行的直线有0条. 3.[多选]若确定直线a与平面α平行,则必须同时具备的条件是 (　　) A.a⊄α B.b∥α C.a∥b D.b⊂α 答案:ACD 题型(一)　直线与平面平行的性质定理及其应用 [例1] 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形. 证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC, 所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN. 同理AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变,求证:=. 证明:由例1知PQ∥AB,∴=. 又QM∥DC,∴=.∴=. 2.若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积. 解:由例1知,四边形MNPQ是平行四边形, ∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM. ∴四边形MNPQ是矩形. 又BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4. ∴四边形MNPQ的面积为5×4=20. 　　|思|维|建|模| 　　线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤: (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面; (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面; (3)确定交线; (4)由性质定理得出线线平行的结论. 　　[针对训练] 1.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于 (　　) A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 解析:选B　因为AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平面α=MN,所以AB∥MN.又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线.故MN=(AB+CD)=5.故选B. 2.如图,在三棱锥P⁃ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则的值为 (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选C　由于AD∥平面PEF,AD⊂平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG, 根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. 因为点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点, 所以G是三角形PBC的重心.所以==.故选C. 题型(二)　直线与平面平行的判定定理及其应用 [例2]　如图,正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ. 求证:PQ∥平面BCE. 证明:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB. 又PM∥AB∥QN, ∴===.∴=. ∴PM∥QN且PM=QN,即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,∴PQ∥平面BCE. 　　|思|维|建|模| 1.利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、基本事实4等. 2.应用判定定理证明线面平行的步骤 　　[针对训练] 3.如图,M,N分别是底面为矩形的四棱锥P⁃ABCD的棱AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD. 证明:如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,因为N是PC的中点, 所以NE∥CD,NE=CD. 又因为在矩形ABCD中,M是AB的中点, 所以AM∥CD且AM=CD. 所以NE∥AM,NE=AM. 所以四边形AMNE是平行四边形. 所以MN∥AE. 又因为AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 题型(三)　直线与平面平行的综合问题 [例3]　如图所示,已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,CD=2AB,M为线段PC上一点. (1)设平面PAB∩平面PDC=l,证明:AB∥l; (2)在棱PC上是否存在点M,使得PA∥平面MBD?若存在,请确定点M的位置;若不存在,请说明理由. 解:(1)证明:因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD, 所以AB∥平面PCD.又因为平面PAB∩平面PDC=l,且AB⊂平面PAB,所以AB∥l. (2)存在点M,使得PA∥平面MBD,此时=.理由如下: 连接AC交BD于点O,连接OM(图略). 因为AB∥CD,所以△AOB∽△COD. 又因为CD=2AB,所以==. 又因为=,PC∩AC=C, 所以PA∥MO. 又因为PA⊄平面MBD,MO⊂平面MBD, 所以PA∥平面MBD. 　　|思|维|建|模| 1.线面平行中的探索性问题经常是在一条直线上确定是否存在某点,使过该点的直线(或平面)与某个平面(或直线)是平行关系,求解此类问题要注意逆向推理,也要注意线面平行的性质定理和判定定理的交替使用. 2.(1)已知线面平行,一般直接考虑应用性质,利用构造法找或“作”出经过直线的平面与已知平面相交的交线. (2)要证线线平行,可把它们转化为线面平行. 　　[针对训练] 4.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点. (1)求证:QN∥平面PAD; (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l,试判断直线l与平面PBD的位置关系,并证明. 解:(1)证明:∵底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点, ∴QN∥BC,BC∥AD.∴QN∥AD. ∵QN⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴QN∥平面PAD. (2)直线l与平面PBD平行,证明如下: ∵M,N分别为PD,PB的中点, ∴MN∥BD. ∵BD⊂平面ABCD,MN⊄平面ABCD, ∴MN∥平面ABCD. ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l, ∴由线面平行的性质得MN∥l. ∵MN∥BD,∴BD∥l. ∵C∈l,C∉平面PBD,且BD⊂平面PBD,l⊄平面PBD,∴l∥平面PBD. 学科网（北京）股份有限公司 $