第6章 4.1 直线与平面平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦直线与平面平行的判定定理和性质定理，通过门扇转动、矩形纸板转动等情境引入，引导学生直观感知后归纳定理，再结合例题与题型训练，构建从具体到抽象、从理解到应用的学习支架。 资料以情境化设计培养数学抽象能力，如通过门扇转动问题引导学生归纳定理，借助判定与性质定理应用例题提升逻辑推理。课中辅助教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§4　平行关系 4.1　直线与平面平行 【基础落实】 知识点一 平行　交线　l⊂β　α∩β＝a 想一想 　提示：不一定平行，平行于同一平面的两条直线可能平行也可能相交或异面. 知识点二 此平面内的一条直线平行 想一想 　提示：不一定，直线l有可能在平面α内. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）× 2.B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B. 3.①②⇒③（或①③⇒②）　解析：若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α. 【典例研析】 【例1】　D　由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；经过直线外一点可作一直线与已知直线平行，故可作无数个平面与已知直线平行，故③错误.故选D. 【例2】　证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面四边形MNPQ是平行四边形. 跟踪训练 1.平行　解析：⇒a∥b，⇒c∥b，∴a∥c. 2.解：因为EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC， 所以EF∥AC， 因为E是AD的中点， 所以EF＝AC＝×2＝. 【例3】　②③④　解析：①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α. 【例4】　证明：连接BC1（图略）， 在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1， 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G， ∴EF∥平面AD1G. 跟踪训练 1.C　如图所示，四面体的棱中与平面EFGH平行的直线有AC与BD. 2.证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD， ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1. ∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D. 【例5】　证明：连接AC， A1C1，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 跟踪训练 　证明：（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，故MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. （2）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD＝l， 所以BC∥l. 随堂检测 1.A　因为a∥α，a⊂β，α∩β＝b，所以a∥b. 2.A　在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BC⊄α，DE⊂α，所以BC∥α. 3.ABC 4.平面A1B1C1D1与平面ADD1A1　平面ADD1A1　CD 解析：观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1；与BC1平行的平面是平面ADD1A1；与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是CD. 5.证明：∵E，F分别为PC，PB的中点， ∴BC∥EF， 又∵EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC∥平面AEF， 又∵BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1　直线与平面平行 课标要求 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理（数学抽象）. 2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 情境一：如图①，门扇的两边是平行的. 情境二：如图②，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动. 【问题】　（1）当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？ （2）在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面　　　　，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与　　　　平行 符号语言 l∥α，　　　　，　　　　　⇒l∥a 图形语言 【想一想】 　平行于同一平面的两条直线是否平行？ 知识点二　直线与平面平行的判定定理 图形语言 文字语言 符号语言 如果平面外一条直线与　　　　　　，那么该直线与此平面平行 ⇒l∥α 【想一想】 　若l与平面α内的一条直线平行，那么直线l与平面α平行吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l∥平面α，则存在直线b⊂α，使得l∥b.（　　） （2）若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.（　　） （3）若l与平面α内的无数条直线平行，那么l∥α.（　　） （4）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（　　） 2.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　） A.EF与BC相交 B.EF∥BC C.EF与BC异面 D.以上均有可能 3.已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断： ①m∥n； ②m∥α； ③n∥α， 以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个　　　　　. 题型一｜线面平行的性质定理的理解及应用 角度1　线面平行性质定理的理解 【例1】　下列说法中正确的是（　　） ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行； ④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内. A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①②④ 尝试解答 通性通法 线面平行的相关结论 （1）一条直线和一个平面平行，则它和平面内无数条直线平行，这无数条直线相互平行； （2）一条直线和一个平面平行，则它和平面内的直线平行或异面； （3）过直线外一点有无数个平面与已知直线平行，这些平面的交线与已知直线平行； （4）过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这些直线共面，且和已知平面平行. 角度2　线面平行性质定理的应用 【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 尝试解答 通性通法 利用线面平行的性质定理解题的步骤 【跟踪训练】 1.若直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c的位置关系是　　　　. 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 题型二｜线面平行的判定定理的理解及应用 角度1　线面平行判定定理的理解 【例3】　已知直线b，平面α，有以下条件： ①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行. 其中能推出b∥α的条件有　　　　.（把你认为正确的序号都填上） 尝试解答 通性通法 　　解决此类问题要注意：（1）把握住判定定理；（2）借助于常见几何模型（如正方体）进行分析. 角度2　线面平行判定定理的应用 【例4】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 尝试解答 通性通法 利用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： （1）空间直线平行关系的传递性法； （2）三角形中位线法； （3）平行四边形法； （4）线段成比例法. 提醒：线面平行判定定理的应用误区：①条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到两平行直线. 【跟踪训练】 1.点E，F，G，H分别是四面体A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是（　　） A.0　　　B.1 C.2　　　D.3 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D. 题型三｜线面平行性质定理与判定定理的综合应用 【例5】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD. 尝试解答 通性通法 线面平行的判定与性质综合应用的策略 　　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行线面平行线线平行. 【跟踪训练】 如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN∥平面PAD； （2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC. 1.已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a与b的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 2.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是（　　） A.平行　 B.相交　 C.异面　 D.BC⊂α 3.〔多选〕已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出b∥α的是（　　） A.b与α内的一条直线不相交 B.b与α内的两条直线不相交 C.b与α内的无数条直线不相交 D.b与α内的所有直线不相交 4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC平行的平面是　　　；与BC1平行的平面是　　　；与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是　　　　. 5.如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分別为PC和PB的中点，平面ABC∩平面AEF＝l.证明：直线l∥BC. 提示：完成课后作业　第六章　§4　4.1 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $