第6章 4.1 直线与平面平行(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.1　直线与平面平行 1.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（　　） A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，在平面α内 C.有两条，不一定都在平面α内 D.有无数条，不一定都在平面α内 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有（　　） A.2个　　B.3个　　C.4个　　　D.5个 3.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中不正确的是（　　） A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA 5.〔多选〕如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（　　） 6.〔多选〕如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，则下列结论正确的是（　　） A.AD∥EG B.AC∥平面EFG C.BD∥平面EFG D.AD，FG是一对相交直线 7.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是　　　　. 8.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是　　　　. 9.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝　　　　. 10.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1； （2）求PQ的长. 11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的周长为（　　） A.6 B.3＋2 C.6＋2 D.4 12.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则＝（　　） A.1　　 　B.2 C.　　　 D. 13.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝　　　　. 14.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1？ 15.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为　　　　. 16.如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，E，F分别为A'B'，B'C'的中点，点G为线段B'B上一点，且满足B'G＝λB'B. （1）若λ＝，证明：EG∥平面D'AC； （2）点M在线段BD上，且满足D'M∥平面EFG.当λ∈［，1］时，求D'M长度的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §4　平行关系 4.1　直线与平面平行 1.B　如图所示，因为直线l∥平面α，P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的. 2.B　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D. 3.D　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D. 4.D　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故D不正确.故选D. 5.BCD　对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行. 6.BC　A：点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点E∉平面ADC，可知AD，EG是异面直线，A错；B：AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B对；C：BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C对；D：点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点F∉平面ADC，可知AD，FG是异面直线，D错；故选B、C. 7.CD∥平面α　解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥平面α. 8.l⊄α　解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”. 9.　解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.所以＝.所以EF＝＝＝. 10.解： （1）证明：如图所示，连接AC，CD1， 因为ABCD为正方形， 所以AC与BD互相平分，又Q为BD的中点，所以Q为AC的中点， 因为P为AD1的中点，所以PQ∥CD1， 因为CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1. （2）由（1）得，PQ是△ACD1的中位线， 所以PQ＝D1C＝a. 11.C　如图，取DD1的中点G，连接GA，GF，AF.因为E，F分别为棱AA1，CC1的中点，所以AE∥C1F，AE＝C1F，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以EC1∥AF.又EC1⊄平面ABFG，AF⊂平面ABFG，所以EC1∥平面ABFG，所以平面ABFG即为所求的平面α.因为G为棱DD1的中点，所以GF∥DC，GF＝DC.又AB∥DC，AB＝DC，所以AB∥GF，AB＝GF，所以四边形ABFG是平行四边形.又AA1＝AD＝2，AB＝3，所以CF＝DG＝1，所以BF＝＝，所以截面ABFG的周长为3×2＋×2＝6＋2. 12.C　由于AD∥平面PEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面PEF＝FG，根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.由于点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，所以G是△PBC的重心，所以＝.故选C. 13.a　解析：∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PMNQ，∴MN∥PQ，∴DP＝DQ＝a，故PQ＝＝a. 14.解：存在.如图，取AB的中点O，连接OC. 作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D， 则OD∥BB1∥CC1. 因为O是AB的中点， 所以OD＝（AA1＋BB1）＝3＝CC1，则四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D. 又C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1， 所以OC∥平面A1B1C1. 即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 15.3　解析：设AO交BE于点G，连接FG. 因为O，E分别是BD，AD的中点，所以＝，则有＝.因为PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，则＝＝，即λ＝3. 16.解：（1）如图，连接A'B，当λ＝时，B'G＝B'B， 所以G为BB'的中点， 又E为A'B'的中点， 所以EG∥A'B. 又A'D'∥BC且A'D'＝BC，所以四边形A'D'CB为平行四边形， 所以A'B∥D'C，故EG∥D'C， 又EG⊄平面D'AC，D'C⊂平面D'AC， 所以EG∥平面D'AC. （2）法一　连接B'D'交EF于点H，连接GH（图略）， 因为D'M∥平面EFG，D'M⊂平面D'MBB'，平面D'MBB'∩平面EFG＝GH， 所以D'M∥GH，所以∠GHB'＝∠MD'B'， 又∠GHB'＋∠HGB'＝90°，∠MD'B'＋∠MD'D＝90°， 故∠HGB'＝∠MD'D. 由题意可知，B'G＝2λ，DD'＝2，B'H＝， 则tan∠HGB'＝＝， 又tan∠MD'D＝＝， 所以＝，即DM＝， 所以D'M＝＝， 又λ∈［，1］， 所以D'M长度的取值范围为［，］. 法二　连接B'D'，交EF于点H，连接GH，过点B作D'M的平行线交D'H于点Q（图略），则BQ＝D'M. 又D'M∥平面EFG，D'M⊂平面D'MBB'，平面D'MBB'∩平面EFG＝GH，所以D'M∥GH， 又BQ∥D'M，所以GH∥BQ. 在△B'BQ中，随着GH的增大，BQ减小， 当λ＝时，GH最小，BQ最大，当λ＝1时，GH最大，BQ最小. 当λ＝时，G为BB'的中点，△EFG为等边三角形，GH＝×＝， 又＝＝，所以BQ＝D'M＝. 当λ＝1时，点G与点B重合，点Q与点H重合，在Rt△BB'H中，B'H＝，BH＝＝， 此时BH＝BQ＝D'M＝. 综上，当λ∈［，1］时，D'M长度的取值范围为［，］. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $