6.1 第1课时 构成空间几何体的基本元素 简单多面体-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦立体几何初步，系统梳理构成空间几何体的基本元素（点、线、面）及简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）的结构特征，构建从基础元素到具体几何体定义、性质及计算的学习支架。 资料以“逐点理清式”教学为核心，通过“多维理解”解析概念内涵，“微点练明”设计判断、选择及解答题，培养学生空间观念与推理能力。典例与针对训练联系生活实例，助力学生用数学眼光观察现实，用数学语言表达空间形式，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

　立体几何初步 §1　基本立体图形 第1课时　构成空间几何体的基本元素　简单多面体 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.了解构成空间几何体的基本元素,理解多面体的特点. 2.通过对实物模型的观察,归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述生活中简单物体的结构,并进行有关计算. 逐点清(一)　空间几何体的基本元素 [多维理解] 1.空间几何体的基本元素 空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等. 2.平面的概念与表示 (1)概念与画法 平面是空间最基本的图形,是无限延展的.一般地,用平行四边形表示平面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍. (2)表示 平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等;也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,如平面AC. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面的形状是平行四边形. (　　) (2)任何一个平面图形都可以表示平面. (　　) (3)平面ABCD的面积为100 cm2. (　　) (4)空间图形中,后作的辅助线都是虚线. (　　) (5)8个平面重叠起来要比5个平面重叠起来厚. (　　) (6)平面只能用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2.[多选]如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列说法不正确的是 (　　) A.长方体一共有8个顶点 B.线段AA1所在的直线是长方体的一条棱 C.矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面 D.长方体由六个平面围成 答案:BCD 3.如图为平行四边形ABCD所在平面,有下列表示方法:①平面ABCD;②平面BD;③平面AD; ④平面ABC;⑤AC;⑥平面α.其中正确的有____________个. 答案:4 逐点清(二)　棱柱的结构特征 [多维理解] 1.多面体 多面体 由平面多边形围成的几何体 面 围成多面体的多边形 棱 两个相邻的面的公共边 顶点 棱与棱的公共点 2.棱柱的定义与表示 名称 棱柱 定义 有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面围成的几何体称为棱柱 图形 表示 及相关 名称 棱柱ABCDE⁃A'B'C'D'E'(或棱柱AC') 3.棱柱的性质 (1)侧棱都相等; (2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形; (3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形. 4.棱柱的分类 (1)按底面多边形:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱与底面是否垂直: 侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱,底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱. 底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体. [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.四棱柱的底面一定是平行四边形 C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 D.棱柱的各条棱都相等 解析:选C　棱柱的侧面是平行四边形,不可能是三角形,所以A不正确;四棱柱的底面是四边形,不一定是平行四边形,所以B不正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等,所以D不正确;易知C正确. 2.下列说法正确的是 (　　) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.棱柱的侧棱总与底面垂直 D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形 解析:选D　选项A、B都不正确,反例如图所示;C不正确,棱柱的侧棱可能与底面垂直,也可能不垂直.根据棱柱的定义知D正确. 3.如图所示的直八棱柱,它的底面边长都是5厘米,侧棱长都是6厘米,回答下列问题: (1)这个八棱柱一共有多少面?它们的形状分别是什么图形?哪些面的形状、面积完全相同? (2)这个八棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少? (3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形,这个图形是什么形状?面积是多少? 解:(1)这个八棱柱一共有10个面,其中上、下两个底面,8个侧面;上、下底面是正八边形,侧面都是长方形;上、下底面的形状、面积完全相同,8个侧面的形状、面积完全相同. (2)这个八棱柱一共有24条棱,其中侧棱的长度都是6厘米,其他棱长是5厘米. (3)将其侧面沿一条棱展开,展开图是一个长方形,长为5×8=40(厘米),宽为6厘米,所以面积是40×6=240(平方厘米). 逐点清(三)　棱锥、棱台的结构特征 [多维理解] 1.棱锥、棱台的定义与表示 名称 棱锥 棱台 定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥 用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台 图形 表示 及相关 名称 棱锥S⁃ABCD (或棱锥S⁃AC) 棱台ABC⁃A'B'C' 2.棱锥、棱台的分类及特殊几何体 (1)分类(按底面多边形) 棱锥　棱台 (2)特殊几何体 ①正棱锥:底面是正多边形,顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上. ②正棱台:由正棱锥截得的棱台. [微点练明] 1.下列说法正确的有 (　　) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥; ②仅有两个面互相平行的五面体是棱台; ③两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:选A　由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等,故①错误.三棱柱是只有两个面平行的五面体,故②错误.如图,可知③错误. 2.一个多边形沿垂直于多边形所在平面的方向平移一段距离,且各边长度缩短为原来的,则形成的几何体为 (　　) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体 解析:选C　由题意得,平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行,平移后的多边形与原多边形相似,且相对应的顶点的连线能相交于一点,符合棱台的结构特征,故形成的几何体为棱台,故选C. 3.用一个平面去截一个四棱锥,截面形状不可能是 (　　) A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形 解析:选D　一般情况下,截面与几何体的几个面相交就得到几条交线,截面就是几边形,而四棱锥只有5个面,所以截面形状不可能是六边形,故选D. 4.如图所示,在三棱台A'B'C'⁃ABC中,截去三棱锥A'⁃ABC,则剩余部分是 (　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 解析:选B　由题图知剩余的部分是四棱锥A'⁃BCC'B'. 逐点清(四)　多面体中的有关计算 [典例]　(1)一个正三棱锥的底面边长为3,高为,则它的侧棱长为 (　　) A.2 B.2 C.3 D.4 (2)一个直平行六面体的侧棱长是9,底面相邻的两边的长都是6,夹角是60°,则此直平行六面体的体对角线长是___________. 解析:(1)如图所示,正三棱锥S⁃ABC中,点O为△ABC的中心,SO为正三棱锥的高,则SO=,AB=3,易知OA=,故在Rt△SOA中,SA===3,即侧棱长为3. (2)直平行六面体的体对角线有4条,共2对,分别相等,底面菱形的对角线长分别是6和6,由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线长是=3,=3. 答案:(1)C　(2)3和3 　　|思|维|建|模| 1.正棱锥中直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于点E,则PE为斜高. (1)斜高、侧棱为直角三角形两条边,如图中Rt△PEC; (2)斜高、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POE; (3)侧棱、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POC. 2.正棱台中直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上底面与下底面中心,作O1E1⊥B1C1于点E1,OE⊥BC于点E,则E1E为斜高. (1)斜高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形E1ECC1; (2)斜高、高为直角梯形两条边,如图中梯形O1E1EO; (3)高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形O1OCC1. 　　[针对训练] 1.如图所示,长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少? 解:依题意,长方体ABCD⁃A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图. 展开后,A,C1两点间的距离分别为 =(cm), =4(cm), =3(cm), 三者比较得 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程. 2.如图,已知四棱台ABCD⁃A1B1C1D1的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形,各侧棱长均相等,且侧棱长为,求这个四棱台的高. 解:由题意可知该四棱台为正四棱台,连接AC,A1C1,过A1作A1E⊥AC于点E(图略),易知AC=8,A1C1=4.在△A1EA中,A1A=,AE==2,所以A1E===3,即这个四棱台的高为3. 学科网（北京）股份有限公司 $