1.1构成空间几何体的基本元素&1.2简单多面体一棱柱、棱锥和棱台-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§１．基本立体图形 １．１　构成空间几何体的基本元素 １．２　简单多面体———棱柱、棱锥和棱台 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识棱柱、棱锥、 棱台的结构特征 ２．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 通过棱柱、棱锥、棱台的定义和空间结 构特征的学习,重点培养数学抽象素 养及提升直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　很 多 物 体 虽 有 不 同 的 形 状,但 也 有 一 些 共 同点． 问题　观察上图物体,说出它们 有 什 么 共 同点? [知识梳理] [知识点一]　构成空间几何体的基本元素 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和 曲线)、面(平面和曲面)等． ２．平面 (１)平面的概念 平面是空间最基本的图形．平整的桌面、平静 的 湖 面 都 给 人 平 面 的 印 象．平 面 是 　　　　的． (２)平面的画法 一般地,用平行四边形表示平面．当平面水平 放置时,通常把平行四边形的锐角画成　　 　　,横边长画成邻边长的　　　　． (３)平面的表示方法 平面通常用希腊字母α,β,γ 等来表示,如平面α、平面 β、平面γ等;也可以用表示平行四边形顶点 的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平 行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示． 如图中的平面AC． 当两个平面相交时,把被遮挡的部分画成虚 线或不画． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．平面有大小吗? [知识点二]　多面体 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　由若干个平面多边形围成的几何体称为多面 体．这些多边形称为多面体的面,两个相邻的 面的公共边称为多面体的棱;棱与棱的公共点 称为多面体的顶点． [知识点三]　棱柱 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．棱柱的定义:有两个面是边数相同的多边形, 且它们所在平面平行;其余各面都是平行四边 形,由这些面围成的几何体称为棱柱． ２．相关概念:两个互相　　　　称为棱柱的底 面,简称底,其余各面称为棱柱的侧面;相邻侧 面的公共边称为棱柱的侧棱;侧面与底面的公 共顶点称为棱柱的顶点;既不在同一底面上也 不在同一个侧面上的两个顶点的连线称为棱 柱的对角线．过上底面上 一点O１ 作下底面 的垂 线,这点和垂足O 间的 距离OO１ 称为点O１ 到 下底面的距离,也是两底 面间的 距 离,即 棱 柱 的 高．如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５１􀅰 第六章　立体几何初步 ３．棱柱的表示:棱柱可以用它的两个底面各顶点 的字母来表示,也可以用它的某一条对角线的 两个端点的字母来表示,如图,棱柱可以表示 为棱柱ABCDE－A１B１C１D１E１,也可表示为 棱柱AC１． ４．棱柱的性质 (１)侧棱都相等; (２)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多 边形; (３)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形． ５．棱柱的分类 (１)侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱 柱,其他的棱柱称为斜棱柱．底面是正多边形 的直棱柱称为正棱柱． (２)按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱􀆺􀆺 ６．特殊的四棱柱 底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体(如 图a,b,c,d),侧棱与底面垂直的平行六面体称 为直平行六面体(如图b,c,d);底面是矩形的 直平行六面体是长方体(如图c,d);棱长都相 等的长方体是正方体(如图d)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．棱柱的侧面一定是平行四边形吗? 侧棱长都相等吗? 上下两个底面全等吗? ３．有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形的几何体是棱柱吗? [知识点四]　棱锥 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．棱锥的定义:由平面图形围 成,其中一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共 顶点的　　　　,由这些面 所围成的几何体称为棱锥． 如图: 多边形ABCDEF称为棱锥的底面,简称底;其 余各面称为棱锥的侧面;各个侧面的公共点称 为棱锥的顶点;相邻两个侧面的公共边称为棱 锥的侧棱．顶点到底面的距离称为棱锥的高． ２．棱锥的分类及表示:棱锥可以用表示它的顶点 和 底 面 各 顶 点 的 字 母 来 表 示,如 棱 锥 S－ABCDEF,也可以用顶点和底面一条对角 线端点的字母来表示,如棱锥S－AC根据底 面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、 四棱锥(底面是四边形)􀆺􀆺其中三棱锥又叫 四面体． ３．特殊的棱锥 正棱锥:底面是正多边形, 且它的顶点在过底面中心 且与底面垂直的直线上,那 么这个棱锥称为正棱锥．正 棱锥各侧面都是全等的等 腰三角形,这些等腰三角形 底边上的高都相等,称为正 棱锥的斜高,如图中的SM． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．有一个面是多边形,其余各面都是 三角形的几何体一定是棱锥吗? ５．一个棱锥至少有几个面? ６．一个棱锥的每一个面都可以作为其底面, 这样的棱锥是几棱锥,还可以怎样称呼它? [知识点五]　棱台 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱 锥,截面与底面之间的部分称为棱台．原棱锥 的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底 面,其余各面称为棱台的侧面,相邻两个侧面 的公共边称为棱台的侧棱,上底面、下底面之 间的距离称为棱台的高． ２．棱台的分类及表示: 棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来 表 示,如 上 图 中 的 棱 台 表 示 为 棱 台 ABC－A１B１C１,或者用它的对角线端点字母 来表示,如棱台AC１． 由三棱锥、四棱锥、五棱锥􀆺􀆺所截得的棱台, 分别称为三棱台、四棱台、五棱台􀆺􀆺由正棱 锥截得的棱台称为正棱台．正棱台各侧面都是 全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱 台的斜高． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．用任意一个平面去截棱锥一定能 得到棱台吗? ８．棱台的各侧棱延长线一定交于一点吗? ９．如何判断一个多面体是不是棱台? [预习自测] １．下列不属于构成空间几何体的基本元素的是 (　　) A．点　　　　B．线 C．曲面 D．多边形(不包括内部的点) ２．下列几何体中,柱体有 (　　) A．１个　　　　　　　B．２个 C．３个 D．４个 ３．棱锥的侧面和底面可以都是 (　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对平面概念的理解 [例１]　现有下列命题:①书桌面是平面;②８个 平面重叠起来要比６个平面重叠起来厚;③有 一个平面的长是５０m,宽是２０m;④平面是绝 对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学 概念．其中正确命题的个数为 (　　) A．１　　　　　　B．２ C．３ D．４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　依平面的概念判断． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对平面概念的理解要类比“平面几何中的 直线”,与表示平面的实物区分开． 总结平面的特征:①平整;②无厚度;③无 边界(大小)． 􀳀[变式训练] １．判断下列说法是否正确,并说明理由． (１)平面的形状是平行四边形; (２)矩形可以表示平面; (３)平面ABCD的面积为１０cm２; (４)４个 平 面 重 叠 起 来 比３个 平 面 重 叠 起 来厚． 对多面体概念的理解 [例２]根据下列关于几何体的描述,说出几何体 的名称． (１)由八个面围成,其中两个面是互相平行且 全等的正六边形,其他各面都是矩形; (２)由五个面围成,其中一个面是正方形,其他 各面都是有一个公共顶点的全等三角形; (３)由五个面围成,其中上、下两个面是相似三 角形,其余各面都是梯形,并且这些梯形的腰 延长后能相交于一点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　结合多面体结构特征发挥空 间想象力． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如何判断多面体的名称 由几何体的结构特征,结合多面体的概念, 进行空间想象,从而得出结论．做判断题 时,可举反例进行排除． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５１􀅰 第六章　立体几何初步 􀳀[变式训练] ２．下列说法正确的是　　　　(填序号)． ①有一个面是多边形,其余各面都是三角形的 几何体是棱锥; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间 的那部分几何体是棱台; ③存在一个四棱锥,其四个侧面都是直角三 角形． 棱柱的结构特征 [例３]　下列说法正确的是 (　　) A．有两个面平行,其余各面都是四边形的几 何体叫棱柱 B．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的 几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有９条侧棱,９个侧面,侧面均为平 行四边形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　紧扣棱柱的概念逐一判断． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．棱柱结构特征的辨析方法 (１)扣定义:判定一个几何体是否为棱柱的 关键是棱柱的定义． ①看“面”,即观察这个多面体是否有两 个互相平行的面,其余各面都是平行四 边形; ②看“线”,即观察每相邻两个四边形的 公共边是否平行． (２)举反例:通过举反例,如与常见几何体 或实物模型、图片等不吻合,给予排除． ２．棱柱概念的推广 (１)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 斜棱柱． (２)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直 棱柱． (３)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做 正棱柱． (４)平行六面体:底面是平行四边形的四棱 柱叫做平行六面体,即平行六面体的六 个面都是平行四边形． (５)长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长 方体． (６)正方体:棱长都相等的长方体叫做正方体． 􀳀[变式训练] ３．下列命题中,正确的是 (　　) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行 四边形 D．棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形 棱锥、棱台的结构特征 [例４]　(１)下列三种叙述,正确的有 (　　) ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间 的部分是棱台; ②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多 面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯 形的六面体是棱台． A．０个　　　　　　　　B．１个 C．２个 D．３个 (２)下列说法中,正确的是 (　　) ①棱锥的各个侧面都是三角形; ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的 底面; ③棱锥的侧棱平行． A．①　　B．①②　　C．②　　D．③ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　根据棱台、棱锥的结构特征判断． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (１)举反例法: 结合棱锥、棱台的定义,举反例直接判 断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法 不正确． (２)直接法: 棱锥 棱台 定 底面 只有一个面是多 边形,此 面 即 为 底面 两个互相平行 的 面,即 为 底面 看 侧棱 相交于一点 延长后相交于 一点 􀳀[变式训练] ４．下列关于棱锥、棱台的说法: ①棱台的侧面一定不会是平行四边形; ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥; ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是　　　　． 多面体的表面展开图 [例５]如图是三个几何体的侧面展开图,请问各 是什么几何体? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由题目可获取以下主要信息: (１)都是多面体;(２)①中的折痕是平行线, 是棱柱;②中折痕交于一点,是棱锥;③中侧 面是梯形,是棱台． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解此类问题应结合柱、锥、台的定义和结构 特征,进行空间想象,或亲自动手,制作侧 面展开图进行实践． 􀳀[变式训练] ５．下列图形中,不是三棱柱展开图的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(多选)棱柱的侧面都是 (　　) A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．矩形 ２．观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确 的是 (　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 ３．具备下列条件的多面体是棱台的是 (　　) A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行,侧棱延 长 后 交 于 一 点 的 多 面体 ４．一个五棱台有　　　　条对角线． ５．正三棱锥的底面边长为３,侧棱长为２ ３,求正 三棱锥的高． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．３　简单旋转体———球、圆柱、圆锥和圆台 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 ２．会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征 ３．理解柱、锥、台体的关系 通过圆柱、圆锥、圆台和球的定义和 空间结构特征的学习,重点培养数 学抽象素养及提升直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　空间几何体分为多面体和旋转体两类,我们已 经研究了多面体的结构特征．旋转体有哪些基 本的类型呢? 它们各自有怎样的结构特征呢? 由一些基本的几何体可以构成它们的组合体, 简单组合体的结构特征又如何描述呢? [知识梳理] [知识点一]　球的结构特征 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．定义 以半圆的直径所在的直线为 旋转轴,将半圆旋转一圈所 形成的曲面称为　　．球面 所围成的几何体称为球体, 简称　　．半圆的圆心,称为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６１􀅰 第六章　立体几何初步 或 a＝－１, b＝－１,{ ∴ x＝１＋i, y＝１－i{ 或 x＝１－i, y＝１＋i{ 或 x＝－１＋i, y＝－１－i{ 或 x＝－１－i, y＝－１＋i．{ 变式训练 ２．解:(１)z＝(１＋２i)(－２＋i)－ (３＋i)(１－i) (１＋i)(１－i) ＝－４－３i－４－２i２ ＝－４－３i－ (２－i)＝－６－２i． (２)∵(－６－２i)２＋(２a－１)(－６－２i)－(１－i)b－１６＝０, ∴３２＋２４i－６(２a－１)－２(２a－１)i－b＋bi－１６＝０, ∴２２－１２a－b＋(２６－４a＋b)i＝０, ∴ ２２－１２a－b＝０ , ２６－４a＋b＝０{ 解得 a＝３, b＝－１４．{ [例３]　[解]　|z＋３－ ３i|＝ ３表示以－３ ＋ ３i对应的点 P 为圆心,以 ３为半径的 圆,如图所示, 则|OP|＝|－３＋ ３i|＝ １２＝２ ３,显然 |z|max＝|OA|＝|OP|＋ ３＝３ ３, |z|min＝|OB|＝|OP|－ ３＝ ３． 变式训练 ３．解:因为|z|＝１,所以z􀅰􀭵z＝１, 所以z２－z＋１＝z２－z＋z􀭵z＝z(z＋􀭵z－１), 所以|z２－z＋１|＝|z(z＋􀭵z－１)|＝|z|􀅰|z＋􀭵z－１| ＝|z＋􀭵z－１|． 设z＝x＋yi(x,y∈R),那么|z＋􀭵z－１|＝|２x－１|, 又因为|z|＝１,所以x２＋y２＝１． 所以－１≤x≤１,所以－３≤２x－１≤１, 则０≤|２x－１|≤３． 所以|z２－z＋１|的最小值为０,最大值为３． [例４]　[解]　(１)复平面内A,B,C 对应的点坐标分别为(１, ３),(０,２),(２,１), 设D 的坐标为(x,y),由于AD→＝BC→, ∴(x－１,y－３)＝(２,－１), ∴x－１＝２,y－３＝－１,解得x＝３,y＝２,故D(３,２), 则点D 对应的复数z＝３＋２i． (２)∵３＋２i是关于x的方程２x２－px＋q＝０的一个根, ∴３－２i是关于方程２x２－px＋q＝０的另一个根, 则３＋２i＋３－２i＝p２ ,(３＋２i)􀅰(３－２i)＝q２ , 即p＝１２,q＝２６． 变式训练 ４．解:(１)由题意得z＝z２－z１＝－cos２θ－sin２θ＋(cos２θ－１)i ＝－１＋(－２sin２θ)i． (２)由(１)知,点P 的坐标为(－１,－２sin２θ)． 由点P 在直线y＝１２x 上得－２sin２θ＝－１２ , ∴sin２θ＝１４ ,又θ∈(０,π),∴sinθ＞０, 因此sinθ＝１２ ,∴θ＝π６ 或θ＝５π６． 第六章　立体几何初步 §１．基本立体图形 １．１　构成空间几何体的基本元素 １．２　简单多面体———棱柱、棱锥和棱台 课前预习学案　情境引入 　提示:几何体的表面都是由平面多边形围成的． 知识梳理　知识点一 ２．(１)无限延展　(２)４５°　两倍　 [思考] １．提示:平面向四周是无限延展的,没有大小． 知识点三 ２．平行的面 [思考] ２．提示:棱柱的侧面是平行四边形,侧棱长都相等,且上下两个 底面全等． ３．提示:不一定．如图所示的几何体,不是棱柱． 知识点四 １．三角形 [思考] ４．提示:不一定是．如图所示的几何体不是棱锥． ５．提示:一个棱锥至少有四个面． ６．提示:符合条件的棱锥只有三棱锥,三棱锥也叫四面体． ７．提示:不一定,只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能 得到棱台． ８．提示:棱台的各侧棱延长线一定交于一点． ９．提示:侧棱延长后交于一点,并且上下底面平行． 预习自测 １．D　２．D　３．A 课堂互动学案 [例１]　[解析]　A　[由平面的概念和特征知,平面是平滑、 无厚度、可无限延展的,可以判定命题④正确．其余的命题都 不符合平面的概念和特征,所以命题①②③都不正确,正确 命题只有１个．故选 A．] 变式训练 １．解: 题号 结论及理由 (１) 错误．因为平面是无限延展的． (２) 正确．除了用平行四边形表示平面外,有时也用矩 形、圆等表示平面． (３) 错误．平面是不可度量的,无大小,无面积． (４) 错误．平面不可度量,无厚薄． [例２]　[解]　(１)该几何体有两个面是互相平行且全等的正 六边形,其他各面都是矩形,可使相邻两个面的公共边都相 互平行,故该几何体是正六棱柱． (２)该几何体的一个面是正方形,其他各面都是全等的三角 形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是正四 棱锥． (３)该几何体上、下两个面是相似三角形,其余各面都是梯 形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,因此该几何体 是三棱台． 变式训练 ２．解析:对于①,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共 顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,故①不 正确; 对于②,由棱台的定义,知截面和棱锥的底面平行,故②不 正确; 对于③,如图所示,在正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,四棱锥 A１－ABCD 的四个侧面均为直角三角形,故③正确． 答案:③ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６２􀅰 参考答案 [例３]　[解析]　D　[选项 A,B都不 正确,反例如图所示．选项 C 也不正 确,上、下底面是全等的菱形,各侧面 是全等的正方形的四棱柱不是正方 体．根据棱柱的定义知选项 D正确．] 变式训练 ３．D　[A选项不符合棱柱的侧棱平行 的特点;对 于 B 选 项,如 图 (１),构 造 四 棱 柱 ABCD － A１B１C１D１,令四边形ABCD 是梯形,可知平面ABB１A１∥平 面DCC１D１,但这两个面不能作为棱柱的底面;选项 C中,如 图(２),底面ABCD 可以是平行四边形;D 选项说明了棱柱 的特点,故选 D． ] [例４]　[解析]　(１)①中的截面不一定平 行于底面,故①错误;②③可用反例去检 验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一 点,故②③错,故选 A． (２)由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是 三角形,故①正确;四面体就是由四个三 角形所围成的几何体,因此以四面体的任 何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故 ②正确;棱锥的侧棱交于一点,故③错误． [答案]　(１)A　(２)B 变式训练 ４．解析:①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平 行四边形; ②正确,由 四 个 平 面 围 成 的 封 闭 图 形 只 能 是 三 棱锥; ③错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都 是棱锥． 答案:①② [例５]　[解]　①五棱柱;②五棱锥;③三棱台．如图所示． 变式训练 ５．C　[本题考查三棱柱展开图的形状．显然 C无法将其折成 三棱柱,故选 C．] 随堂步步夯实 １．BC　[由棱柱的性质可知,棱柱的侧面都是四边形,且都是 平行四边形．] ２．B　[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥, ③不是棱锥,④是棱台,故B错误．] ３．D　[棱台是由棱锥截得的,因此一个几何体要成为棱台应 有两个条件:一是上、下底面平行;二是各侧棱延长后必须交 于一点,选项 C只具备一个条件,选项 A、B则两条件都不 具备．] ４．解析:五 棱 台 ABCDE－A１B１C１D１E１ 的 对 角 线 有 AC１, AD１,BD１,BE１,CE１,CA１,DA１,DB１,EB１,EC１ 共１０条． 答案:１０ ５．解:作出正三棱锥如图,SO 为其高,连 接AO,作OD⊥AB 于点D,则点D 为 AB 的中点．在 Rt△ADO 中,AD＝３２ ,∠OAD＝３０°, 故 AO＝ ３ ２ cos∠OAD ＝ ３． 故 SO ＝ SA２－AO２＝３,故三棱锥的高为３． １．３　简单旋转体———球、圆柱、圆锥和圆台 课前预习学案　知识梳理　知识点一 １．球面　球　球心　半径　直径 ３．(１)半径　(２)圆　圆的半径 [思考] １．提示:球还可由圆面绕其一条直径旋转半周得到． ２．提示:截面是一个圆面． ３．提示:经过球心的截面圆面积最大． 知识点二 　矩形的一边所在直线　直角三角形的一条直角边所在直线 　平行于圆锥底面　底面与截面之间的部分　旋转轴　垂直 于轴的边旋转而成的圆面　平行于轴的边旋转而成的曲面　 旋转轴　垂直于轴的边旋转而成的圆面　直角三角形的斜边 绕轴旋转形成的曲面　母线的交点　原圆锥的截面　原圆锥 的底面　上、下底面圆心的连线所在的直线　原圆锥的侧面 被平面截去后剩余的曲面 [思考] ４．提示:如图 矩 形 ABCD 及 各 边 中 点,可 以 绕 直 线 AB,DC, BC,AD,EG,FH 旋转得到圆柱． ５．提示:以等腰三角形底边高所在直线为旋转轴． ６．提示:圆台可以由直角梯形以其垂直底边的腰线为轴旋转而 成,也可以 由 等 腰 梯 形 以 其 上 下 底 边 中 点 连 线 为 轴 旋 转 而成． ７．提示:上下底面相似,其面积比值为相似比的平方． 预习自测 １．C　２．D　 ３．解: 旋转轴 图示 几何特征 边AD 所 在直线 一个圆台． 边AB 所 在直线 由一 个 圆 锥 和 一 个 圆 柱拼接而成的组合体． 边CD 所 在直线 由一 个 圆 柱 挖 去 一 个 同 底 圆 锥 而 成 的 组 合体． 边BC所 在直线 由一 个 圆 台 挖 去 一 个 同底(上 底 面)圆 锥 后 和一 个 同 底(下 底 面) 圆 锥 拼 接 而 成 的 组 合体． 课堂互动学案 [例１]　[解析]　①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰 为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台,是圆锥和圆台的组 合体．②正确．圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直于轴的矩形、 直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆面．③正确．若矩 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册