5.2.2 复数的乘法与除法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦复数的乘法、除法运算及复数范围内方程根问题，前承复数代数形式等基础概念，通过“逐点清”分点梳理定义、运算律、性质、公式，构建从概念到应用的学习支架，配合“微点练明”实现知识内化。 特色在于“逐点理清式”设计，分模块细化乘法（含运算律、i周期性等）、除法（分母实数化方法）及方程根问题，结合高考真题例题，培养数学思维的推理与运算能力，用精确数学语言表述解题步骤，课中助力教师系统教学，课后帮助学生通过练习查漏补缺。

2.2　复数的乘法与除法 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标]　掌握复数代数形式的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 逐点清(一)　复数的乘法 [多维理解] 1.复数乘法的定义 对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R),类比多项式乘法,并利用i2=-1,定义复数的乘法如下:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.乘法的运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1·z2=z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 3.乘方的运算性质 zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=·(其中m,n∈N+). 4.虚数单位i的幂的周期性 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(其中n∈N). 5.常用公式 (1)(a±bi)2=a2±2abi-b2 (a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). 6.共轭复数的性质 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数)模的平方.即若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2=||2=a2+b2. [微点练明] 1.(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 解析:选C　(1+5i)i=i+5i2=i-5,故虚部为1. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选A　因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A. 3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析:选B　因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a).又此点在第二象限,所以解得a<-1. 4.(1+i)20-(1-i)20的值是 (　　) A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512 解析:选C　(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0. 5.已知复数z满足|z|=,且(1-2i)z是实数,则=___________. 解析:设z=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)·(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i.又(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a.又|z|=,所以a2+b2=5,解得或所以当z=1+2i时,=1-2i,当z=-1-2i时,=-1+2i,即=±(1-2i). 答案:±(1-2i) 逐点清(二)　复数的除法 [多维理解] 1.复数的倒数 给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z=1,则称z是z2的倒数,记作z=. 2.复数的除法 对任意的复数 z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复数的除法:=z1·,即=-i. |微|点|助|解| (1)复数的除法与根式的除法类似:根式的除法是分子、分母都乘以分母的“有理化因式”.从而使分母“有理化”;复数的除法是分子、分母都乘以分母的共轭复数,从而使分母“实数化”. (2)复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的,因此,定义本身提供了求两个复数的商的另外一种方法——待定系数法,即设(a+bi)÷(c+di)=x+yi,则a+bi=(c+di)(x+yi),由此依据复数相等的充要条件求出x,y即可. (3)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i;④=(z2≠0);⑤=(≠0). [微点练明] 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知z=1+i,则= (　　) A.-i B.i C.-1 D.1 解析:选A　===-i. 2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z= (　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 解析:选A　∵z(2-i)=11+7i, ∴z====3+5i. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-= (　　) A.-i B.i C.0 D.1 解析:选A　因为z===-,所以=,所以z-=--=-i,故选A. 4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则 (　　) A.a-5b=0 B.3a-5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0 解析:选D　z=+bi=+bi=+i.由题意知,=--b,则3a+5b=0. 5.已知i是虚数单位,则复数(1-i)2--4i2 025=___________.  解析:原式=-2i--4i =-2i--4i=-2i-2i-4i=-8i. 答案:-8i 逐点清(三)　复数范围内方程根问题 [典例]　(1)若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)在复数范围内方程x2-2x+5=0的两根为α,β,则|α|+|β|等于 (　　) A.2 B.2 C. D.5 解析:(1)因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,即2m+n+3+(4+m)i=0.由复数相等的充要条件可得所以m+n=1. (2)因为方程x2-2x+5=0,所以Δ=(-2)2-4×5=-16<0.所以x==1±2i.若令α=1+2i,β=1-2i,则|α|+|β|=|1+2i|+|1-2i|=+=2. 答案:(1)B　(2)B 　　|思|维|建|模| 　　在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法: (1)求根公式法 ①当Δ≥0时,x=. ②当Δ<0时,x=. (2)利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解. 　　[针对训练] 1.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为___________. 解析:因为Δ=32-4×2×4=-23<0, 所以方程2x2+3x+4=0的根为 x==. 答案: 2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是不是方程的根. 解:(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根, ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.∴解得 (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根. 学科网（北京）股份有限公司 $