5.1.1 复数的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦复数的概念、分类及复数相等条件，从数系扩充引入虚数单位i，定义复数代数形式a+bi(a,b∈R)，明确实部虚部，再按b的取值分类为实数、虚数（含纯虚数），最后阐述复数相等的充要条件，构建连贯的学习支架。 资料采用“逐点理清式”设计，通过“多维理解”抽象概念培养数学眼光，“微点助解”强调关键细节发展数学思维，“微点练明”结合例题巩固提升数学语言表达。如复数分类中明确纯虚数需a=0且b≠0，课中助教师系统授课，课后助学生查漏补缺。

　复　数 §1　复数的概念及其几何意义 1.1　复数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标]　 1.在问题情境中了解数系的扩充过程,通过方程的解认识复数. 2.理解复数的代数表示,理解两个复数相等的条件. 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 逐点清(一)　复数的概念 [多维理解] 　　我们通过定义i2=-1引进一个新数i,来扩充数的范围,其中i叫作虚数单位. 形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的实部,记作Re z,b称为复数z的虚部,记作Im z. |微|点|助|解| 1.虚数单位i性质的关注点 i2=-1的理解:并没有规定i=±还是i=或i=-,在今后的学习中,我们将知道=±i,但不能说i=±. 2.复数概念的两个关注点 (1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. [微点练明] 1.若复数z满足z=6i+2i2,则z的虚部是 (　　) A.-2i B.6i C.1 D.6 解析:选D　z=6i+2i2=-2+6i,则z的虚部是6. 2.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0,则b的值为 (　　) A.2 B. C.- D.-2 解析:选A　由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0,得2-b=0,即b=2. 3.以-+7i的虚部为实部,以i+5i2的实部为虚部的复数是 (　　) A.7-5i B.-+i C.5+i D.+i 解析:选A　设所求复数为z=a+bi(a,b∈R),由题意知复数-+7i的虚部为7,所以a=7.复数i+5i2=-5+i的实部为-5,所以b=-5.故z=7-5i. 4.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则a的取值范围为___________. 解析:由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1.因此a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 逐点清(二)　复数的分类 [多维理解] 1.根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下的分类: 复数a+bi(a,b∈R) 全体复数构成的集合称为复数集,记作C. 2.数集之间的包含关系如图所示: 由此可以看出实数集、虚数集都是复数集的真子集. |微|点|助|解| (1)a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. (2)复数集C是目前中学阶段接触到的最大数集,由此可知N+NZQRC. (3)设所给复数为z=a+bi(a,b∈R), ①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. [微点练明] 1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为 (　　) A.1 B.2 C.-1或-2 D.1或2 解析:选B　由得a=2,故选B. 2.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为___________.  解析:由z1>z2,得 即解得a=0. 答案:0 3.实数x分别取什么值时,复数z=+(x2-2x-15)i是①实数?②虚数?③纯虚数? 解:①当x满足即x=5时,是实数. ②当x满足即x≠-3且x≠5时,是虚数. ③当x满足 即x=-2或x=3时,是纯虚数. 逐点清(三)　复数相等 [多维理解] 　　两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d. |微|点|助|解| (1)应用复数相等的充要条件时要注意:应先将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,再应用复数相等的充要条件列方程组求解. (2)a+bi=0,a,b∈R⇔a=0,b=0. [微点练明] 1.若a,b∈R,i是虚数单位,a+2 024i=2-bi,则a2+bi等于 (　　) A.2 024+2i B.2 024+4i C.2+2 024i D.4-2 024i 解析:选D　因为a+2 024i=2-bi,所以a=2,-b=2 024,即a=2,b=-2 024.所以a2+bi=4-2 024i. 2.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于 (　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 解析:选B　由题意知(n2+mn)+2ni=-2-2i,即解得∴z=3-i. 3.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=___________.  解析:易得解得x=2. 答案:2 4.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值. 解:∵M∪P=P,∴M⊆P. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1, 得解得m=1; 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i, 得解得m=2. 综上可知,m=1或m=2. 学科网（北京）股份有限公司 $