4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学两角和与差的余弦公式这一核心知识点，先引导学生经历两角差余弦公式的推导过程，再由此推导出两角和的余弦公式，构建公式正用、逆用、变形用的学习支架，明确公式意义、内在联系及求值应用。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”解析公式结构特征，培养学生用数学眼光观察公式本质，题型分层（给角求值、给值求值、给值求角）提升数学思维中的推理与运算能力，如例2中通过角的拆分（β=(α+β)-α）体现数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过基础训练与题型训练帮助学生查漏补缺。

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　[课时目标] 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,了解它们的内在联系. 3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用. 4.能利用两角和与差的余弦公式进行求值、计算. 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的余弦 Cα+β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β α,β∈R 两角差 的余弦 Cα-β cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β α,β∈R |微|点|助|解| 　　两角和与差的余弦公式的结构特征 (1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合. 如cos中的,分别相当于公式中的角α,β. (2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立,但在特殊情况下也可能成立, 例如:当α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°. (3)要掌握公式的逆用,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)·sin β=cos[(α+β)-β]=cos α. 基础落实训练 1.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选B　cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12° =cos(72°-12°)=cos 60°=. 2.cos 75°=__________. 解析:cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=. 答案: 3.cos(x-y)cos y-sin(x-y)sin y=__________. 解析:原式=cos[(x-y)+y]=cos x. 答案:cos x 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值: (1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°; (2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°; (3)cos 15°+sin 15°. 解:(1)原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33° =cos(63°-33°)=cos 30°=. (2)原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35°=-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35° =-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (3)原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=. |思|维|建|模| 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形用公式. 　　[针对训练] 1.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b= (　　) A.cos 110°____________________ B.sin 110° C.1 D.0 解析:选D　a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=cos 90°=0. 2.求值:(1)cos 105°=__________;  (2)cos cos+cossin=__________.  解析:(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=. (2)原式=coscos+sinsin =cos=cos=. 答案:(1)　(2) 题型(二)　给值(式)求值 [例2]　已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β的值. 解:∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π. 由cos(α+β)=-, 得sin(α+β)===.又∵cos α=,∴sin α=. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=. 　　|思|维|建|模| 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β). 　　[针对训练] 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析:选A　法一:因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m, 即cos αcos β=-m,从而sin αsin β=-2m, 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A. 法二:设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t, 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m, 所以==-3=,故t=-3m. 4.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值. 解:因为<α<,0<β<, 所以<2α-β<π,-<α-2β<. 因为cos(2α-β)=-,所以sin(2α-β)=. 因为sin(α-2β)=,所以cos(α-2β)=. 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=0. 题型(三)　给值求角 [例3]　已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值. 解:由cos α=,0<α<, 得sin α===. 由0<β<α<,得0<α-β<. 又∵cos(α-β)=, ∴sin(α-β)===. 由β=α-(α-β), 得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+ sin αsin(α-β)=×+×=. ∵0<β<,∴β=. 　　[变式拓展] 　把例题“cos(α-β)=,且0<β<α<”的条件换为“cos(α+β)=-,且α,β∈”,求β的值. 解:∵α,β∈且cos α=,cos(α+β)=-, ∴α+β∈,sin α==. ∴sin(α+β)==. 又∵β=(α+β)-α, ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=. 又∵β∈,∴β=. 　　|思|维|建|模| 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 　　[针对训练] 5.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值. 解:∵α,β均为锐角,∴sin α=,sin β=, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. 又sin α<sin β,∴0<α<β<,∴-<α-β<0, 故α-β=-. 学科网（北京）股份有限公司 $