2.6.1 第1课时 余弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦余弦定理这一核心知识点，通过向量运算探索三角形边长与角度关系，系统梳理定理公式、变形及适用范围，关联勾股定理特例与面积公式，构建从原理推导到实际应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“已知两边及一角”“已知三边”等题型分类与思维建模培养数学思维，结合灯塔距离计算等实例提升应用意识。课中助力教师分层教学，课后辅助学生巩固练习，有效查漏补缺。

§6　平面向量的应用 6.1　余弦定理与正弦定理 第1课时　余弦定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.通过向量的运算探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理. 2.能利用余弦定理解决简单的实际问题. 　　余弦定理及变形 公式表达 a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 变形 cos A=;cos B=; cos C= |微|点|助|解| 1.余弦定理的特点 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. 2.余弦定理的特例(勾股定理) 在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2<a2+b2⇔C为锐角. 3.△ABC的面积公式 (1)S△ABC=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别为边a,b,c上的高); (2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A. 基础落实训练 1.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则c等于 (　　) A. B.8 C.10 D.7 解析:选D　由余弦定理得c===7. 2.在△ABC中,若a=,b=3,c=2,则A= (　　) A.30° B.60° C.45° D.90° 解析:选B　因为a=,b=3,c=2,所以由余弦定理得cos A===. 又0°<A<180°,则A=60°.故选B. 3. 在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cos C=__________.  解析:∵a2-c2+b2=ab,∴c2=a2+b2-ab.又∵c2=a2+b2-2abcos C,∴2cos C=1.∴cos C=. 答案: 4.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则△ABC的面积为__________.  解析:由面积公式得S△ABC=absin C=×9×2sin 150°=. 答案: 题型(一)　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a的值; (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,解这个三角形. 解:(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3.所以a=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.当a=3时,A=B=30°,C=120°;当a=6时,由余弦定理得cos A==0,又0°<A<180°,所以A=90°,C=60°.综上,当a=3时,A=30°,C=120°;当a=6时,A=90°,C=60°. 　　|思|维|建|模| 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 　　[针对训练] 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=,B=60°,则c= (　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析:选C　由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得7=4+c2-2c,即(c-3)(c+1)=0,解得c=3.故选C. 2.△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若cos B=,c=5,a=3,则b= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由cos B=,c=5,a=3以及余弦定理得b===,故选D. 题型(二)　已知三边(三边关系)解三角形 [例2]　(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,b=2,c=,则C= (　　) A.120° B.90° C.60° D.45° (2)在△ABC中,B=60°,最大边与最小边之比为(+1)∶2,则最大角为 (　　) A.45° B.60° C.75° D.90° 解析:(1)由余弦定理可得cos C===-,由于0°<C<180°,故C=120°,故选A. (2)由题意可知c<b<a或a<b<c,不妨设c=2x,则a=(+1)x,∴cos B=,即=,整理得b2=6x2.∴cos C===.∴C=45°.∴A=180°-60°-45°=75°. 答案:(1)A　(2)C |思|维|建|模| 已知三角形的三边求角的基本步骤 求第一个角 求第二个角 求第三个角 　　[针对训练] 3.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析:选A　法一:∵BC<AC,BC<AB,三边相等时,A=,∴A<,结合选项可知A正确. 法二:∵cos A= ===, 且A∈(0,π),∴A=. 4.已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC中各角的度数. 解:已知a∶b∶c=2∶∶(+1),可令a=2,b=,c=+1,由余弦定理的推论,得 cos A===, ∵0°<A<180°,∴A=45°. cos B===, ∵0°<B<180°,∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 题型(三)　余弦定理的综合应用 [例3]　(1)两座灯塔A和B与观察站C的距离分别为3 km,5 km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与B之间的距离为 (　　) A.6 km　　B.4 km 　C.7 km　　D.5 km (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2=a2-bc,且·=-4,则角A=__________,△ABC的面积为__________. 解析:(1)作出示意图如图,由题意可得∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC中,由余弦定理可知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,解得AB=7 km,故灯塔A与B之间的距离为7 km. (2)∵b2+c2=a2-bc,∴cos A==-.又A∈(0,π),∴A=.又∵·=bc·cos A=-4,∴bc=8.∴△ABC的面积S=bc·sin A=2. 答案:(1)C　(2)　2 　　|思|维|建|模| (1)余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式. (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同,在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. (3)因为余弦函数y=cos x在(0,π)上单调递减,此时,由cos α=m(-1<m<1)来确定α是唯一的,因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分情况讨论了. 　　[针对训练] 5.在△ABC中,bcos A=acos B,则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 解析:选B　因为bcos A=acos B,所以b·=a·. 所以b2+c2-a2=a2+c2-b2.所以a2=b2.所以a=b.故此三角形是等腰三角形. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=,c=2,则△ABC面积的最大值为__________.  解析:由C=及c=2可得4=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b2≥2ab可得2ab-ab≤4,即ab≤4,当且仅当a=b=2时取等号.所以S=absin C=ab≤×4=,故△ABC面积的最大值为. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $