第2章 §6 6.1 第1课时 余弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦余弦定理及推论这一核心知识点，通过向量运算推导定理（联系勾股定理），系统梳理其在解三角形（已知两边及一角、三边）、面积计算、形状判断中的应用，构建“推导-应用-拓展”的完整学习支架。 以千岛湖岛屿距离问题导入培养数学眼光，向量推导过程发展数学思维（推理能力），例题与跟踪训练结合实际问题强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后通过改编题和分层练习帮助学生查漏补缺。

§6　平面向量的应用 6．1　余弦定理与正弦定理 第1课时　余弦定理 新课导入 学习目标 　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角的关系． 2．会运用余弦定理及其推论解决两类基本的解三角形问题． 3．理解推广的三角形面积公式． 一　余弦定理及推论 思考1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示：如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C． 思考2　在思考1得到的结果中，若C＝90°，公式会变成什么？是初中所学的什么定理？ 提示：c2＝a2＋b2，即勾股定理． [知识梳理] 公式表达 语言叙述 推论 a2＝b2＋c2－2bc cos A 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 cos A＝ b2＝a2＋c2－2ac cos B cos B＝ c2＝a2＋b2－2ab cos C cos C＝ 角度1　已知两边及一角解三角形 [例1] (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，b＝4，A＝，则a＝(　　) A． B．2 C．5 D．6 (2)在△ABC中，若A＝120°，AB＝，BC＝，则AC＝____________． 【解析】　(1)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝13，所以a＝.故选A． (2)因为A＝120°，AB＝，BC＝，所以由余弦定理的推论可得cos A＝，即－＝，整理得AC2＋AC－14＝0，解得AC＝(负值已舍去). 【答案】　(1)A　(2) 已知两边及一角解三角形的两种思路 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． [跟踪训练1] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c＝(　　) A．4 B． C．3 D． 解析：选D．cos C＝－cos (A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D． 角度2　已知三边(三边关系)解三角形 [例2] (1)已知在△ABC中，AB＝5，BC＝7，CA＝9，则∠CAB的取值范围为(　　) A． B． C． D． (2)若a，a＋1，a＋2是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是(　　) A．1＜a＜3 B．a＞1 C．a＞3 D．0＜a＜1 【解析】　(1)在△ABC中，由AB＝5，BC＝7，CA＝9，得cos ∠CAB＝＝＝，则＜cos ∠CAB＜，又∠CAB∈(0，π)，所以∠CAB∈. (2)因为三角形是锐角三角形，所以最大边长a＋2对应的角为锐角，设该角为θ，所以cos θ＝＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1(舍去).故选C． 【答案】　(1)C　(2)C 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 注意　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题． [跟踪训练2] (1)在△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝3，D为CA的中点，则BD＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．在△ABC中，由余弦定理的推论得cos A＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos A＝，所以BD＝.故选C． (2)(2025·吉安月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC中最大内角为________． 解析：在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC中的最大内角为A，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝－，又0°<A<180°，故A＝120°. 答案：120° 二　△ABC的面积公式 [知识梳理] 1．S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高). 2．S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． [例3] (对接教材例3)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b2＋c2－a2＝bc. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，求△ABC面积的最大值． 【解】　(1)因为b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝＝. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由(1)可得sin A＝sin ＝， 因为bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，当且仅当b＝c时，等号成立，所以bc≤a2， 故S△ABC＝sin A≤·＝， 故△ABC面积的最大值为. (1)利用余弦定理求三角形面积的步骤 ①依据已知条件，先确定应该求出哪个量； ②选择相应的边及相应的角，利用余弦定理求出所需要的量； ③利用面积公式求解． (2)求三角形面积的注意点 一是要注意选择哪个形式的面积公式； 二是要注意三角形内角和定理的应用． [跟踪训练3] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝150°.若a＝c，b＝2，求： (1)△ABC的面积； (2)cos A. 解：(1)由题设及余弦定理，得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°， 解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而得a＝2. 因此△ABC的面积为S＝ac sin B＝×2×2×sin 150°＝. (2)由(1)可得 cos A＝＝＝. 三　判断三角形的形状 [例4] (1)在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【解析】　(1)在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D． (2)因为＝，所以A，B∈(0，)，且a cos B＝b cos A，所以由余弦定理的推论得a·＝b·，整理得a＝b，又C＝，故△ABC是等边三角形． 【答案】　(1)D　(2)B 判断三角形形状的基本思想和两条思路 [跟踪训练4] (1)在△ABC中，若2a cos B＝c，则该三角形一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：选A．因为2a cos B＝c， 所以由余弦定理的推论得2a·＝c，所以a2＋c2－b2＝c2，所以a2＝b2，因为a＞0，b＞0，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a sin C，c＝a cos B，则△ABC的形状为____________________． 解析：由余弦定理的推论知cos B＝，代入c＝a cos B，得c＝a·，所以c2＋b2＝a2，所以△ABC是以A为直角的直角三角形．又b＝a sin C，所以b＝a·，所以b＝c，所以△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形． 答案：等腰直角三角形 1．(教材P116T1改编)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC cos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A． 2．(教材P116T2改编)若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　　) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D．∶∶2 解析：选A．设三角形三边长分别为m，m，2m(m＞0)，最大角为A，则cos A＝＝0，又0°<A<180°，所以A＝90°.设最小角为B，则cos B＝＝，又0°<B<90°，所以B＝30°，所以C＝60°.故三角形三边所对角之比为1∶2∶3.故选A． 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2＝a2－bc，且·＝－4，则A＝________，△ABC的面积为________． 解析：因为b2＋c2＝a2－bc，所以cos A＝＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.又因为·＝bc cos A＝－4，所以bc＝8，所以△ABC的面积S＝bc sin A＝2. 答案：　2 4．(2025·淮北月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos C＋c cos A＝a，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理的推论及a cos C＋c cos A＝a，得a·＋c·＝a，整理得b2＝ab，因为b≠0，所以b＝a，即△ABC的形状为等腰三角形． 1．已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用(判断三角形的形状、求三角形的面积). 2．须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边． 学科网（北京）股份有限公司 $