2.5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平面向量数量积的运算及应用这一核心知识点，承接数量积定义与运算律，系统梳理数量积运算、向量模、夹角与垂直问题的解决方法，构建从基础到应用的学习支架。 资料采用“题型+例题+思维建模+针对训练”设计，融入高考真题实例，通过思维建模提炼方法，培养数学思维（推理、运算）与数学语言表达（模型、应用）能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第2课时　平面向量数量积及其运算性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　　[课时目标]　进一步掌握平面向量数量积的运算.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题. 题型(一)　数量积的运算　 [例1]　(1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　　) A. B.3 C.2 D.5 (2)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=__________. 解析:(1)由题意知,=+=+,=+=-+, 所以·=·=||2-||2=4-1=3,故选B. (2)法一:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0⇒2(a·b+b·c+c·a)+9=0⇒a·b+b·c+c·a=-. 法二:由a+b=-c⇒a2+b2+2a·b=c2⇒a·b=-. 由a+c=-b⇒a2+c2+2a·c=b2⇒a·c=-. 由b+c=-a⇒b2+c2+2b·c=a2⇒b·c=-. ∴a·b+b·c+c·a=-. 答案:(1)B　(2)- 　　|思|维|建|模| 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π]; (2)分别求|a|和|b|; (3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去. 　　[针对训练] 1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·= (　　) A.2 B.4 C.3 D. 解析:选B　根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·,由AD⊥AB,可知·=0,又因为= ,||=2,所以·=·=||·||·cos∠ADB=×2×||× =4.故选B. 2.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=__________.  解析:(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos<a,b>+|b|2=2×1×3×+32=11. 答案:11 题型(二)　向量的模 [例2]　已知向量a与b夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. 解:因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10, 整理得|b|2+2|b|-6=0, 解得|b|=或|b|=-3(舍去). 　　|思|维|建|模| 求向量模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等. 　　[针对训练] 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足:|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　) A. B. C. D.1 解析:选B　因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=. 4.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则|a||b|的最大值是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选C　∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2=20.∴|a|2+|b|2=10.∵(a-b)2≥0,∴|a|2+|b|2≥2|a||b|. ∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5,故选C. 题型(三)　向量的夹角与垂直 [例3]　已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b夹角的大小. 解:因为a,b都是非零向量,由a+3b与7a-5b垂直, 则(a+3b)·(7a-5b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0.　① 由a-4b与7a-2b垂直,则(a-4b)·(7a-2b)=0, 即7a2-30a·b+8b2=0.　② ①-②,得2a·b=b2=|b|2,　③ ③代入①,得|a|=|b|. 设a与b夹角为θ,则cos θ===, 因为θ∈[0,π],所以θ=.所以a与b的夹角为. 　　|思|维|建|模| 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cos θ=求解. (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|,代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. 2.求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0,π].当cos θ>0时,θ∈;当cos θ<0时,θ∈;当cos θ=0时,θ=. 　　[针对训练] 5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角大小为__________.  解析:∵e1,e2是夹角为60°的两个单位向量, 则e1·e2=|e1||e2|cos 60°=, ∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6++2=-, |a|== ==, |b|= ===. ∴cos<a,b>==-. ∵0°≤<a,b>≤180°, ∴<a,b>=120°. 答案:120° 6.已知a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若有两个不同时为零的实数k,t,使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直,则k的最小值为__________.  解析:∵a⊥b,∴a·b=0. 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, ∴-ka2+t(t-3)b2=0. ∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t(t-3)=0. ∴k=(t2-3t)=-(t≠0). 故当t=时,k取得最小值,最小值为-. 答案:- 7.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,当向量a+λb与λa+b的夹角为钝角时,实数λ的取值范围为__________.  解析:因为|a|=1,|b|=2,a与b夹角的大小为120°, 所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×=-1. 因为向量a+λb与λa+b的夹角为钝角,所以(a+λb)·(λa+b)<0,且两向量不共线.则(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2=λ-(λ2+1)+4λ<0,解得λ<或λ>.当(a+λb)∥(λa+b)时,则a+λb=k(λa+b)=kλa+kb(k∈R), 可得解得k=λ=±1.所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪∪. 答案:(-∞,-1)∪∪ 学科网（北京）股份有限公司 $